北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知方程
2234-+=-kx k x 有两个不同的解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24
⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
B ．
53
,124
C ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．53,124⎛⎫
⎪⎝
⎭ 2．圆()()2
2
211x y r -++=上有且仅有四个点到直线43110x y +-=的距离等于3
2
，则半径r 的取值范围为（ ） A ．72
r >
B ．72
r <
C ．12
r >
D ．
1722
r << 3．已知实数x ，y 满足()2
2
21x y +-=，则
2
2
32x y x y
++的最大值为（ ）
A ．
1
2
B ．
3 C ．1
D ．
27
4．已知直线:20l x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=所截的弦长为4，则实数a 为（ ） A ．2- B ．4-
C ．2
D ．4
5．直线3y x m =-+与圆22
1x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．(3,2)
B ．(3,3)
C ．323,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．231,⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
6．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．4
3
-
B ．54
-
C ．
35
D ．53
-
7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，
PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．
A ．
25
B 5
C 15
D 10
8．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）
A ．
567
3
B ．
5273 C ．497
3
D ．1473
9．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值
为
16
3
，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．16π
C ．24π
D ．32π
10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接
AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）
A ．
32
B 3
C ．
102
D ．2
11．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为
22 ） A ．4π B ．8π
C ．12π
D ．24π
12．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月
20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）
（参考数据）π 3.14≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈． A ．101g
B ．182g
C ．519g
D ．731g
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足53
44
OC OA OB =
+，则r 的值为________． 14．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．
15．经过两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点，且与()3,2A -，()1,6B -等距离的直线的方程是______．
16．已知直线l 斜率的取值范围是()
，则l 的倾斜角的取值范围是______．
17．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2
2221
10y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆
盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．
18．已知圆2
2
1:10C x y +=与圆2
2
2:22140C x y x y +++-=相交，则两圆的公共弦长为__________.
19．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.
20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AA O ，
已知三棱锥O ABC -O 表面积的最小值为______.
21．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥．平面
PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________．
22．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，P 是11A B 的中点，过点1A 作与平面
1PBC 平行的截面，则此截面的面积是_______________．
23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．
24．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形
PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.
三、解答题
25．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD//QA ，
1
12
QA AB PD ==
=.
（1）证明：直线PQ ⊥平面DCQ ； （2）求二面角D QB A --的余弦值.
26．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，
2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.
（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .
27．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是梯形，
,//AB CD AB AD ⊥，22CD AB AD ==．
（1）求证：BD ⊥平面1BCC ；
（2）在线段11C D 上是否存在一点E ，使//AE 面1BC D ．若存在，确定点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．
28．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．
（1）证明：AC PB ⊥；
（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
如图，当直线在AC 位置时，斜率303
224
k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22
0023
21
k k --+=
+解得k 值，即得实数k 的取值范围．
【详解】 由题意得，半圆24y x =
-与直线32y kx k =+-有两个交点，
又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，
又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303
224
k -==+. 当直线和半圆相切时，由半径20023
21
k k --+=+解得512
k =
， 故实数k 的取值范围为53(,]124
故选：B 【点睛】
关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
圆()()2
2
2
11x y r -++=上有且仅有四个点到直线43110x y +-=的距离等于
3
2
，先求圆心到直线的距离，再根据题意求半径的范围即可. 【详解】
由()()2
2
2
11x y r -++=可知圆心为()1,1-，圆心到直线43110x y +-=的距离为
22
431123+4--=，因为圆上有且仅有四个点到直线43110x y +-=的距离等于3
2
，所以
3
22->
r
，解得72
r >. 故选：A 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
设(),P x y 为圆()2
2
21x y +-=上的任意一点，构造直线:30l x y +=，过点p 作
PM l ⊥，将
2
2
32x y x y
++转化为点p 到直线30x y +=的距离和到原点的距离的比，即
22
3sin 2x y PM
POM OP
x y +=
=∠+，然后利用数形结合法求得POM ∠的范围求解. 【详解】 如图所示：
设(),P x y 为圆()2
2
21x y +-=上的任意一点，
则点P 30x y +=的距离为3x y PM +=
点P 到原点的距离为22OP x y =+
22
3sin 2x y PM
POM OP
x y +=
=∠+，
设圆()2
2
21x y +-=与直线y kx =相切
1=
，解得k =
所以POM ∠的最小值为0，最大值为60，
所以0sin POM ≤∠≤
即0≤
≤
故选：B 【点睛】
本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
根据圆的标准方程确定圆心和半径，由距离公式得出圆心到直线:20l x y ++=的距离
d ，最后由弦长公式得出实数a .
【详解】
由22(1)(1)2x y a ++-=-可知，圆心为(1,1)-
，半径2r a < 圆心到直线:20l x y ++=
的距离d =
=∣
242r =
r ∴=4a ∴=-
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由直线与圆相交的弦长求参数的值，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 【详解】 解：如图所示：
当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =，即2
13
13=⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭，
解得：233m =
或23
3
m =-（舍去）， 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m 的范围为23
1m <<． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合法是解本题的关键，属于中档题．
6．A
解析：A 【分析】
化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可． 【详解】 解：
圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)
为圆心，1为半径的圆；
又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，
∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．
设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ， 则2
21d k
=+，即234k k -，
4
03
k ∴-
． k ∴的最小值是43
-
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．
7．D
解析：D 【分析】
先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】
连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，
因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与
DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，
由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=11
22222
OD BD =
=⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，
210sin 5
OD OED DE ∠=
==
故选：D. 【点睛】 方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
8．A
解析：A 【分析】
求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】
如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，
由214AB AC ==，27BC =
，得72
cos 214
ACB ∠=
=，则14
sin 4
ACB ∠=
， 214
28
sin 14
4
AB AM CB =
==∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，
又1114sin 2142777224
ABC S AC BC ACB =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的1567
77833
P ABC V -=⨯⨯=
． 故选：A ．
【点睛】
本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．
9．C
解析：C 【分析】
分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、
P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体
对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】
取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则
P E AD '⊥，
设AD x =，则1122
P E AD x '=
=， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1
sin 2
h x θ=， 当90
θ
=时，max 1
2
h x =
， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233
P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =.
将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为
22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=
+=，则6R =，
因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
10．C
解析：C 【分析】
先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】
根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,
在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3∴222BD AB AD =+=
所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，
则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13
,2BM AM ==
同理，在直角三角形CBD 中，13,2DN CN ==
. ∴MN =BD -BM -DN =11
2122
-
-=, ∴222237(
)122
CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，2
2227310
()22AC CM AM ⎛⎫=+=+
⎪ ⎪⎝⎭
故选：C 【点睛】
(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.
(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.
11．C
解析：C 【分析】
将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积. 【详解】
设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所
示：
则正方体AEBF GCHD -的棱长为
2
2222
⨯=，该正方体的体对角线长为23 所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为223R =3R 该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
12．B
解析：B 【分析】
由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果. 【详解】
由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体， 所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，
设正四面体的棱长为a 2
223632a
a a ⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
设正四面体外接球半径为R ，则222
623()()3a R R =+，解得R =6a 所以3D 打印的体积为：3
233
46113662343223812V a a a a ππ⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
又336216a ==，
所以276182207.71125.38182.331182V π=-≈-=≈， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【详解】即整理化简得cos ∠AOB ＝－过点O 作AB 的垂线交AB 于D 则cos ∠AOB ＝2cos2∠AOD －1＝－得cos2∠AOD ＝又圆心到直线的距离为OD ＝所以cos2∠AOD ＝＝＝所以r2＝10r ＝ 解析：10
【详解】
2
2225325
539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭
即2
22225159r r r cos AOB r 16816=
+∠+，整理化简得cos ∠AOB ＝－3
5
，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－
3
5，得cos 2∠AOD ＝15
.又圆心到直线的距离为OD ＝22=，所以cos 2∠AOD ＝15＝22
OD r
＝22r ，所以r 2＝10，r ＝10. 14．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<
【详解】
∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于
，
由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)
，当46r <<时满足题意.
考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.
15．或【分析】直接求两直线的交点与等距离的直线一条过AB 的中点一条平行AB 【详解】两直线和的交点为的中点为因为所求直线过且与等距离故所求直线过的中点或与直线平行当直线过的中点时直线方程为即当直线与直线平
解析：790x y +-=或210x y ++= 【分析】
直接求两直线的交点，与(3,2),(1,6)A B --等距离的直线，一条过AB 的中点，一条平行AB . 【详解】
两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点为(2,5)-，
(3,2),(1,6)A B --的中点为(1,2)，
因为所求直线过(2,5)-且与()3,2A -，()1,6B -等距离， 故所求直线过AB 的中点或与直线AB 平行， 当直线过AB 的中点时，2(5)
712
k --=
=--， 直线方程为27(1)y x -=--，即790x y +-=， 当直线与直线AB 平行时，268
23(1)4
k ---=
==---，
直线方程为52(2)y x +=--，即210x y ++=. 故答案为：790x y +-=或210x y ++= 【点睛】
本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题.
16．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题
解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫
⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
【分析】
根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】
因为直线l 斜率的取值范围是()
， 所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04
π
α≤<，
当斜率0k <时，倾斜角23
π
απ<<， 综上倾斜角的取值范围20,
,43πππ⎡⎫⎛⎫
⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
， 故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.
17．【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结合思想以
【分析】
先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】
2
222222(1)1,11
1,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，
所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===
【点睛】
本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.
18．【分析】求出公共弦的方程再利用垂径定理求解即可【详解】由题圆与圆
的公共弦方程为化简得又圆圆心到弦的距离故弦长为故答案为：【点睛】本题主要考查了求相交圆的公共弦长问题需要利用两个圆的方程相减求出公共弦
解析：【分析】
求出公共弦的方程,再利用垂径定理求解即可. 【详解】
由题, 圆2
2
1:10C x y +=与圆2
2
2:22140C x y x y +++-=的公共弦方程为
()()2
2222214100x
y x y x y +++--+-=,化简得20x y +-=.
又圆1C 圆心()0,0到弦20x y +-=的距离d ==
故弦长为=
故答案为：【点睛】
本题主要考查了求相交圆的公共弦长问题,需要利用两个圆的方程相减求出公共弦的方程,再利用垂径定理求解.属于中档题.
19．【分析】根据正方体的表面积可得正方体边长然后计算外接球的半径利用球的体积的公式可得结果【详解】设正方体边长正方体外接球的半径为R 由正方体的表面积为24所以则又所以所以外接球的体积为：故答案为：【点睛
解析：
【分析】
根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径R =，利用球的体积的公式，可得结果. 【详解】
设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ， 由正方体的表面积为24，所以2624a =，
则2a =，又R =，所以R =
所以外接球的体积为：3
3
4433
R ππ==.
故答案为：. 【点睛】
方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，
球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
20．【分析】设球的半径为连接交于点取中点连接即为三棱柱外接球球心根据三棱锥体积可得间关系表示出根据基本不等式可求得的最小值从而得到球的表面积的最小值【详解】如图因为三棱柱是且设球的半径为连接交于点取中点 解析：27π
【分析】 设AB
a ，BC
b =，球的半径为r ，连接1AC ，1AC 交于点O ，取AC 中点D ，连接
BD ，即O 为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得a b ，间关系，表示出r ，根据基本
不等式可求得r 的最小值，从而得到球的表面积的最小值.
【详解】
如图，因为三棱柱111ABC A B C -是 ，且90ABC ∠=︒， 设AB
a ，BC
b =，球的半径为r ，连接1AC ，1AC 交于点O ，取AC 中点D ，连接
BD ，
则O 到三棱柱六个定点的距离相等，即O 为三棱柱外接球球心，
113
22
OD AA =
=
， 又因为三棱锥O ABC -3 即1133322
ab ⨯
⨯=12ab =， 所以2
2
22
22
31333
22242a b r AD OD ab ⎛⎫⎛⎫+=+=+≥+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 当且仅当a b =时等号成立，
所以球O 的表面积最小值为2427S r ππ==， 故答案为：27π. 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
21．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径
解析：4 【分析】
取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算
4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）
【详解】
解：因为BC =8AC =，AB BC ⊥，
所以AB =4PA PB ==， 所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，
因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面
ABC ，
所以BC ⊥平面PAB ，
取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP
所以//DE BC ，DE =DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，
此时，1
42
EB AC EA EC =
===， 4EP =， 所以4EA EB EC EP ====，
即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =. 故答案为：4.
【点睛】
本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.
22．【分析】取的中点分别为连接先证明四边形是平行四边形再利用面面平行的判断定理证明平面平面可得平行四边形即为所求的截面再计算其面积即可
【详解】取的中点分别为连接因为所以四边形是平行四边形所以因为所以四边 解析：26
【分析】
取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，先证明四边形1A MCN 是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面1//PBC 平面1A MCN ，可得平行四边形1A MCN 即为所求的截面，再计算其面积即可.
【详解】
取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，
因为11A P NC ，所以四边形11A PC N 是平行四边形，所以11A N PC ，
因为1PM CC 所以四边形1PMCC 是平行四边形，所以1MC PC ， 所以1A N MC ，所以四边形1A MCN 是平行四边形，
因为11//PC A N ，1PC ⊄平面1A MCN ，1A N ⊂平面1A
MCN ， 所以1//PC 平面1A MCN ，
同理可证//PB 平面1A MCN ，
因为1PC PB P ⋂=，
所以平面1//PBC 平面1A MCN ，
因此过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，即是平行四边形1A
MCN ， 连接MN ，作1A H MN ⊥于点H ，
由1
1AM A N ==，MN =
可得1A H =
=
所以111122A MN S MN A H =⨯⨯=⨯=
所以平行四边形1A MCN 的面积为12A MN S
=
故答案为：【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是找出过点1A 与平面1PBC 平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形1A MCN ，先求四边形一半的面积，乘以2即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.
23．【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥再根据锥体的体积计算公式求解即可【详解】利用正方体法还原三视图如图所示根据三视图可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形高为2的三棱锥 解析：43
. 【分析】
先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可.
【详解】
利用正方体法还原三视图，如图所示，
根据三视图，可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥S-ABC ，故其体积114222323V =
⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：
43
. 【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，锥体的体积公式，考查考生的观察分析能力与空间想象能力及运算能力，属于中档题. 24．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积
【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析：163
π 【分析】
由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积.
【详解】
设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，
在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即()22213R R =+
-，解得3R =， 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅
=. 故答案为：
163
π. 【点睛】 本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.
三、解答题
25．（1）证明见解析（2）
3 【分析】
（1）由CD PQ ⊥，PQ DQ ⊥可证得结论成立；
（2）取BQ 的中点E ，连DE 、AE ，则AED ∠是二面角D QB A --的平面角，在Rt ADE △中，通过计算可得结果.
【详解】
（1）因为QA ⊥平面ABCD ，∴QA CD ⊥，
又四边形ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥，
又因为QA AD A =，∴CD ⊥平面AQPD ，则CD PQ ⊥，
因为1AQ AD ==，AQ AD ⊥，∴2DQ =，
因为4PDQ π∠=
，2PD =，∴2DQP π∠=，即PQ DQ ⊥， 因为CD DQ D =，所以PQ ⊥平面DCQ .
（2）取BQ 的中点E ，连DE 、AE ，如图：
因为2BD DQ =BE EQ =，∴DE BQ ⊥，AE BQ ⊥，
所以AED ∠是二面角D QB A --的平面角，
因为QA ⊥平面ABCD ，所以QA AD ⊥，又AD AB ⊥，AB AQ A =，
∴AD ⊥平面BAQ ，∴AD AE ⊥，
因为1AB AQ ==，所以2BQ =，所以2AE =，
在Rt ADE △中，221612DE AD AE =+=+=， 所以2
32cos 6
AE ADE DE ∠===. 所以二面角D QB A --的余弦值为
3. 【点睛】
关键点点睛：根据二面角的平面角的定义作出平面角是本题解题关键.
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到
21
BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；
（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD .
【详解】
证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，
在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =，
∴G 为ABD △的重心∴
21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BE GM EC
=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，
∴//GE 平面ACD ；
（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，2AB AD ==
∴AO BD ⊥∴221AO AB BO -=，
在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则OC = 又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥
由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC
BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，
得AO ⊥平面BCD ，
又AO ⊂平面ABD ，
∴平面ABD ⊥平面BCD .
【点睛】
思路点睛：
证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．
27．(1)证明见解析（2）存在，点E 是11C D 的中点，证明见解析
【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理即可证明BD ⊥平面1BDC ；
（2）存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC ，由线面平行的判定定理进行证明即可得到结论．
【详解】
（1）因为1AA ⊥底面ABCD ，所以1CC ⊥底面ABCD ，
因为BD ⊂底面ABCD ，
所以1CC BD ⊥，
因为底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90BAD ∠=︒， 22CD AB AD ==，
设1AB =，则1AD =，2CD =
所以BD =，BC
所以在BCD ∆中，222BD BC CD +=，
所以90CBD ∠=︒，
所以BD BC ⊥，
又因为1CC BD ⊥，且1CC BC C ⋂=
所以BD ⊥平面1BCC .
(2)存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC
证明如下：取线段11C D 的中点为点E ，连结AE ，如图，。