考点26 椭圆的标准方程及几何意义-2019年江苏高考数学五年真题与三年模拟试题考点分类解读 Word版含解析

考点26 椭圆的标准方程及几何意义
1. 掌握椭圆定义和几何图形.
2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程.
3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法.
4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离.
近 5 年的江苏高考圆锥曲线的考试要求非常稳定,椭圆的标准方程与几何性质为B 级要求, .在命题方式上,大致为两道填空题、一道解答题. 填空题重点考查标准方程与几何性质,涉及双曲线与抛物线的填空题属于容易题,涉及椭圆的填空题属于中档题. 解答题主要考查直线与椭圆,不涉及双曲线,抛物线如果考查的话,会在理科附加题中出现,属于中档题. 另外,若在填空题中考查了直线与圆的知识,则解答题中考查直线与椭圆的知识,反之,若在填空题中考查了直线与椭圆的知识,则解答题中考查直线与圆的知识.涉及椭圆的解答题会重点考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定
点、定值问题等等. 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力.
回顾江苏省 5 年高考的椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解答题中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不
大,属于中档题.在复习中也要提别注意求椭圆的离心率等性质。

1、（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C 交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为
（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为
【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.
详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由（*）得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P 的坐标为．
综上，直线l 的方程为
．
2、（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，离心率为1
2，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，
过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.
(1) 求椭圆E 的标准方程；
(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
思路分析 (2) 设P (x 0，y 0)，易得PF 1，PF 2的斜率，得l 1，l 2的方程，求出点Q 的坐标用(x 0，y 0)表示．再利用P ，Q 均在椭圆上，求出x 0，y 0.
解：(1) 设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2
c ＝8，
解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 2
3＝1.
(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．
设P (x 0，y 0)，由于P 为第一象限内的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．
当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0
x 0－1
.
因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1
y 0，
从而直线l 1的方程为y ＝－
x 0＋1
y 0
(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1
y 0
(x －1)．②
由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝
⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由点P ，Q 的对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 2
0＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 20
3
＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
0－y 2
0＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
0＋y 20＝1，x 204＋y 20
3＝1，无解． 因此点P 的坐标为⎝⎛
⎭
⎫
477，377.
解后反思 用直线方程解题时，分注意斜率是否存在，必须讨论．
若用向量来处理，就没有这些麻烦．请对比上面的解法，体会下面的解法． 设Q (x 1，y 1)．由PF 1⊥QF 1，得F 1P →·F 1Q →
＝0， 即(x 0＋1)(x 1＋1)＋y 0y 1＝0. 同理可得(x 0－1)(x 1－1)＋y 0y 1＝0. 两式相减，得x 1＝－x 0，所以x 20－y 0y 1＝1. 以下略．
3、（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b 2
与椭
圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【答案】：.
6
3
【解析】：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32
a ，b
2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝
90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝
⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 2
4＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63. 4、（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，且
右焦点F 到左准线l 的距离为3.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．
规范解答 (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2
c ＝3，
解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，故C 的坐标为2k 2
1＋2k 2，－k 1＋2k 2，且
AB ＝(x 2－x 1)2
＋(y 2－y 1)2
＝(1＋k 2
)(x 2－x 1)2
＝22(1＋k 2)
1＋2k 2
.
若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为
y ＋k 1＋2k 2
＝－1k x －2k 2
1＋2k 2，
则P 点的坐标为－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2
|k |(1＋2k 2)
.
因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)
1＋2k 2，解得k ＝±1.
此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.
解后反思 本题考查了【解析】几何的基本解题策略，即通过联立曲线的方程，通过方程组来研究曲线的性质，体现了江苏高考命题在【解析】几何中命题的“回归”，由此来突出【解析】几何的两个研究核心问题：一是研究曲线的方程；二是通过方程来研究曲线的性质．
5、（2014年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，
顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .
(1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫
4
3，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．
规范解答 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1) 因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.
因为点C 43，1
3在椭圆上，所以169a 2＋1
9b 2＝1.解得b 2＝1.
故所求椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2) 解法1 因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y
b
＝1.
解方程组⎩⎨⎧
x c ＋y
b
＝1，x 2
a 2
＋y
2b 2
＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2a 2c a 2＋c
2，
y 1
＝b (c 2
－a 2
)
a 2
＋c 2
，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，y 2＝b .
所以点A 的坐标为2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2
)
a 2＋c
2.
又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2
)
a 2＋c
2.
因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)
a 2＋c 2－0
2a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c
3，直线AB 的斜率为－b
c ，且F 1C ⊥AB ， 所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·－b
c
＝－1.
又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝5
5.
解法2 由题意知B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 设C (x 0，y 0)，则A (x 0，－y 0)． 因为F 1C ⊥AB ，所以F 1C ⊥BF 2.所以
y 0x 0＋c ·b
－c
＝－1. ① 因为点A 在直线BF 2上，所以x 0c ＋－y 0
b
＝1. ②
联立①②解得⎩⎨⎧
x 0＝ca 2
b 2－c
2，
y 0
＝
2bc
2
b 2
－c 2
.
所以点C ⎝⎛⎭
⎫ca 2b 2－c 2，2bc 2
b 2－
c 2. 又因为点C ⎝⎛⎭⎫ca 2
b 2－
c 2，2bc
2
b 2－
c 2在椭圆上，代入椭圆的方程并整理得c 2a 2＋4c 4＝(a 2－2c 2)2，所以a 2＝5c 2，
所以椭圆的离心率e ＝
5
5
.
题型一 椭圆的方程与离心率
1、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝
1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是
________．
【答案】：.
5－1
2
【解析】：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →
＝(a ，b )．因为FB 2⊥
AB 1，
所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋5
2
(负值舍去)．
2、(2016扬州期末）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1
上，且满足F 1M →＝λMP →
(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．
(1) 若椭圆方程为x 28＋y 2
4＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；
(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．
思路分析 求离心率的范围，本质就是要建立一个关于a ，b ，c 的不等量关系，注意到点P 是椭圆上的点，所以考虑建立a ，b ，c 与点P 的横坐标或纵坐标的关系，利用点P 的坐标的取值范围来得到不等式．为此，就要建立点P 的坐标与a ，b ，c 的关系，由F 1M →＝2MP →
、PO ⊥F 2M 及点P 在椭圆上不难得到这样的关系．
规范解答 (1) 因为x 28＋y 24＝1，所以F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝2
4.
所以直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝2
4
(x ＋2)．(4分) 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65，所以点M 的横坐标为6
5.(6分) (2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )．
因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以M 23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝2
3x 0－43c ，23y 0.
因为PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，所以23x 0－43cx 0＋23
y 20＝0，即x 2
0＋y 20＝2cx 0.(9分) 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
0＋y 2
0＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c .(12分)
因为－a <x 0<a ，所以x 0＝a (a －c )c ∈(0，a )，所以0<a 2－ac <ac ，解得e >12.
综上，椭圆离心率e 的取值范围为（1
2
，1.）(15分)
易错警示 本题中求出点P 的横坐标x 0与a ，b ，c 的关系后，建立不等式关系时，极易得到错误的关系－a ≤x 0≤a ，
而导致出错．
3、(2017扬州期末）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的
直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q ，设AP →＝λPQ →
.
(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C 的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．
规范解答 (1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b ＝3. 又点Q 在椭圆C 上，得(－4)2a 2＋(－1)2
32＝1，解得a 2＝18，
所以椭圆C 的方程是x 218＋y 2
9
＝1.(5分)
(2) 解法1 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb
1＋k 2.(7分)
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2
a 2k 2＋
b 2.(9分)
因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34
AQ →
，
所以2kba 2a 2k 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k
2，所以k 2＝3a 2－4b 2
a 2＝4e 2－1. 因为k 2＞0，所以4e 2＞1，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以1
2＜e ＜1.(16分)
解法2 A (0，b )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有
x 21＋y 21＝b 2
①，x 22a 2＋y 22
b
2＝1 ②.(7分)
又因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →
，即(x 1，y 1－b )＝34(x 2，y 2－b )．解得x 2＝43x 1，y 2＝43y 1－13
b ，代
入②得16x 219a 2＋16y 21－8by 1＋b 2
9b 2
＝1.(9分)
又x 21＝b 2－y 21，消去x 21整理得2(a 2－b 2)y 21－a 2by 1－b 2(a 2－2b 2)＝0，
即[2(a 2
－b 2
)y 1＋b (a 2
－2b 2
)](y 1－b )＝0，解得，y 1＝b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)
或y 1＝b (舍去)，因为－b ＜y 1＜b ，所以－
b ＜b (2b 2－a 2)2(a 2－b 2)
＜b ，解得b 2a 2＜34.(14分)
而e 2
＝1－b 2a 2＞1－34＝14，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以1
2
＜e ＜1.(16分)
解后反思 【解析】几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，【解析】几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．
4、(2018常州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F ，点A 是椭
圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点(M 在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.已知AM ⊥MN ，且OA →·OM →＝43
b 2
.
(1) 求椭圆C 的离心率e ； (2) 若S △AMN ＋S △POF ＝
10
3
a ，求椭圆C 的标准方程．
规范解答 (1) 由题意可知M 在以OA 为直径的圆上．
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2
＝⎝⎛⎭⎫a 22，
消去y 得c 2a 2x 2
＋ax ＋b 2
＝0，解得x 1
＝－a ，x 2
＝－ab
2
c 2
，(4分) 所以x M ＝－ab 2c 2∈(－a ，0)，OA →·OM →
＝x M x A ＝ab 2c 2a ＝43b 2，c 2a 2＝34，所以e ＝c a ＝32，此时x M ＝－ab 2c 2＝－
a 3∈(－a ，0)，符合题意．(8分)
(2) 由(1)可得a ＝2b ，c ＝3b ，右准线方程为x ＝433b ，M ⎝⎛⎭⎫
－23b ，－223b ， 直线MN 的方程为y ＝2x ，所以P ⎝⎛
⎭
⎫
433b ，463b .(10分)
S △POF ＝12OF·y P ＝32b·463b ＝22b 2，S △AMN ＝2S △AOM ＝OA·||y M ＝2b×223b ＝423b 2
，
所以22b 2＋423b 2＝103a ，1023b 2＝20
3
b ，所以b ＝2，a ＝22，(14分)
故椭圆C 的标准方程为x 28＋y 2
2
＝1.(16分)
解后反思 点M 的确定有多种办法：利用k AM ·k OM ＝－1或AM →·OM →＝0或AO 2＝AM 2＋OM 2，或者像上述解法中的M 在以OA 为直径的圆上．
5、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的
右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．
（1）若椭圆的离心率为
1
2
，短轴长为
① 求椭圆的方程；
② 若直线OQ PQ ，的斜率分别为12k k ，， 求12k k ⋅的值．
（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使
四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程；
（2）设出00(,)Q x y ，抓到FQ FP ^,用直线方程或者向量数量积的方法求出P 点坐标，代入坐标，计算
12
k k ×，
结合椭圆方程，把
代入，就能求出定值；（3）设出
00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点
确定以
PQ为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O坐
标代入圆方程，思路2，OF的中垂线经过圆心，求出
2
a
x c
c
=-
，根据
点P，Q均在x
轴上方，得到
，转化为e的不等式，求出范围.
规范解答（1）①设椭圆的焦距为2c，
由题意，得…………………………………………………… 2分
所以
2
a
b
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，
．所以椭圆的方程为
2
2
1
43
y
x+=．…………………………… 4分
②由①得，焦点(10)
F，，准线为4
x=，
解法1 设(4)
P t，，00
()
Q x y
，，则
22
001
43
x y
+=，所以22
00
3
3
4
y x
=-．
所以，
因为FP⊥FQ ，所以，
所以．………………………………………………………… 6分
所以
2
00
2
00
4
y ty
x x
-
=
-
3
4
=-．………………………… 10分
解法2 设
00
()
Q x y
，，则
22
001
43
x y
+=，所以22
00
3
3
4
y x
=-，
当
1
x≠时，直线FQ存在斜率，则0
1
FQ
y
k
x
=
-
，
又FP⊥FQ，所以直线FP 的方程为，
所以点P 的坐标为．………………………………………… 6分
所以；
当01x =时，点Q 的坐标为3(1)2±，，点P 的坐标为(40)，，也满足1234k k ⋅=-，
所以12k k ⋅的值为34-． …………………………………………………… 10分
（2）解法1 设2
()a P t c
，，00()Q x y ，，
因为FP ⊥FQ ，
则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆
．
………………………………………………… 12分
由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以
消去0ty 得
，
所以2
0a x c c =-，…………………………………………………………… 14分
因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以，即
，
所以210e e +->，又因为01e <<，
1e <<．………………………………………………………… 16分
解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，
所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2
c x =上，
所以圆心M 的横坐标为2M c x =， ……………………………………… 12分
所以点Q 的横坐标为
．（以下同方法1）……… 14分
【易错警示】用到直线方程时，需要考虑斜率是否存在，如本题考虑01x =的情形.
6、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别
为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →
.
(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，3
2，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦
⎤12，2
2，求实数λ的取值范围．
思路分析 第1问，求椭圆的标准方程，本质就是要求a ，b 的值，为此，要找到两个关于a ，b 的方程，根据点P 在椭圆上，以及椭圆的定义知△PF 2Q 的周长为4a ，从而可求得椭圆的方程；第2问的本质就是找到实数λ与离心率e 的关系，根据PF 2⊥x 轴，可得点P 的坐标，根据条件PF 1→＝λF 1Q →
可求得点Q 的坐标，利用点Q 在椭圆上，得到λ与a ，b ，c 的关系，进而求得λ与e 的关系，利用这一关系，求出λ的范围．
规范解答 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，
从而△PQF 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.(2分) 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋9
4b 2＝1，解得b 2＝3.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.(5分)
(2) 解法1 因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，y 0＞0，Q (x 1，y 1)．
因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2
b
2＝1，
解得y 0＝b 2a
，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)
因为F 1(－c,0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．
由PF 1→＝λF 1Q →
，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以
Q ⎝
⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b
2
λa .(11分)
因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b 2
λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，
从而λ＝3e 2＋11－e 2＝4
1－e 2
－3.(14分) 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，2
2，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.
所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤
73，5.(16分)
解法2 由于PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.
因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2
0b 2＝1，解得y 0＝b 2a
，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)
因为F 1(－c,0)，所以直线PF 1的方程为y ＝b 2
2ac
(x ＋c )．
联立⎩⎨⎧
y ＝b 2
2ac
(x ＋c )，x 2
a 2
＋y
2b 2
＝1，
得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.
因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2
a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2
b 2
c
4c 2＋b 2，(11分) 因为PF 1→＝λF 1Q →
，所以λ＝－2c c ＋x 1＝4c 2＋b 2b 2
＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 以下同解法1.
解后反思 本题考查【解析】几何中的范围问题，由于题中已知离心率e 的范围，因此我们可以把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标(这里点P 是确定的，否则设出点P 的坐标)，由向量的运算求得点Q 的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a ，b ，c 的等式，利用e ＝c
a ，a 2＝
b 2＋
c 2可化此等式为关于e ，λ的方
程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是【解析】几何中的基本计算，考查了学生的运算能力．
题型二 椭圆中的定点与定值问题
1、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2
＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、
下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围．
思路分析 第(2)问中有两个动点，点M 和点P ，思路1，把点P 作为主动点，点M 作为被动点，故可设P(m ，－2)，且m≠0，进而求出点M 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →
后运算即可；思路2，把点M 作为主动点，点P 作为被动点，故可设M(x 0，y 0)(x 0≠0)，进而求出点P 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →后运算即可．
规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)， 当直线PM 过椭圆的右焦点F 时， 则直线PM 的方程为
x 3＋y －1
＝1，即y ＝3
3x －1，
联立⎩⎨⎧x 24
＋y 2
＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫
837，17.(2分)
连结BF ，则直线BF ：
x 3＋y
1
＝1，即x ＋3y －3＝0， 而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2
＝
23
7
2
＝
3
7
. 故S △MBF ＝12·BF·d ＝12×2×37＝3
7
.(4分)
(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1
m ，
则直线PM 的方程为y ＝－1
m
x －1，
联立⎩
⎨⎧y ＝－1
m x －1，
x 24
＋y 2
＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8
m x ＝0， 解得M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－8m m 2＋4，4－m 2
m 2＋4，(6分)
所以k 1＝4－m 2
m 2＋4－1－8m m 2
＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3
m ，(8分)
所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－3
4
为定值．(10分)
②由①知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4，
所以PB →·PM →＝(－m ，3)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4＝
m 4＋15m 2＋36m 2＋4，(12分) 令m 2
＋4＝t>4，故PB →·PM →＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t 2
＋7t －8
t ＝t －8t
＋7，(14分)
因为y ＝t －8
t
＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，
所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，即PB →·PM →
的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
解法2(点M 为主动点) ①设点M(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1
x 0
x －1， 令y ＝－2，得P ⎝⎛⎭
⎫－x 0
y 0＋1，－2.(6分)
所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－
x 0y 0＋1
＝3（y 0＋1）
x 0
，(8分)
所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3（y 0＋1）x 0＝3（y 20－1）
x 20＝3（y 2
0－1）4（1－y 2
0）
＝－34(定值)．(10分) ②由①知，PB →
＝⎝
⎛⎭
⎫x 0y 0
＋1，3，
PM →
＝⎝
⎛⎭
⎫x 0＋x 0y 0
＋1，y 0＋2，(12分)
所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1＋3(y 0＋2)＝x 20（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝4（1－y 2
0）（y 0＋2）（y 0＋1）2
＋3(y 0＋2)＝（7－y 0）（y 0＋2）
y 0＋1
.(14分)
令t ＝y 0＋1∈(0，2)，
则PB →·PM →＝（8－t ）（t ＋1）
t ＝－t ＋8t ＋7，
因为y ＝－t ＋8
t
＋7在t ∈(0，2)上单调递减，
所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，即PB →·PM →
的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
2、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2
2，椭圆上动点P
到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
思路分析 (1) 椭圆上动点P(x 0，y 0)到左、右焦点的距离的最小值为a －c.
(2) 先根据直径AB 竖直和水平两种情况，猜出定点可能为D(0，3)，再考虑DA →·DB →
是否为零． 规范解答 (1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a －c ＝3（2－1），解得⎩⎨⎧a ＝32，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.(4分)
椭圆C 的标准方程是x 218＋y 2
9
＝1.(6分)
(2) 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9；(7分) 当直线l 的斜率为零时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.(8分)
这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(9分) 证明如下：
证法1(向量法) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．只要证DA →·DB →
＝x 1x 2＋(y 1－3)(y 2
－3)＝x 1x 2＋(kx 1－4)(kx 2－4)＝0即可．
即要证DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝0.(11分)
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2
＝18，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，Δ＝16k 2＋64(1＋2k 2)>0，此方程总有两个不等实根x 1，x 2.
x 1，2＝2k±29k 2＋41＋2k 2，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2
.(14分) 所以DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（1＋k 2）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝0.
所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)
证法2(斜率法) 若设DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，只要证k 1k 2＝－1即可． 设直线l 的斜率为λ，则y A ＋1
x A
＝λ.
由点A 在椭圆x 2＋2y 2＝18上，得x 2
A ＋2y 2A ＝18，变形得
y A －3x A ·y A ＋3x A ＝－12，即k 1·y A ＋3x A ＝－1
2
. 设y A ＋3＝m(y A －3)＋n(y A ＋1)，可得m ＝－12，n ＝3
2，得y A ＋3x A ＝32λ－12k 1.
从而k 1(3λ－k 1)＝－1，即k 21－3λk 1－1＝0.
同理k 22－3λk 2－1＝0，所以k 1，k 2是关于k 的方程k 2
－3λk －1＝0的两实根．
由根与系数关系，得k 1k 2＝－1.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分) 3、(2018镇江期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，
左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．
思路分析 第(2)问要求圆P 的方程，就是要求得t 的值，为此，由圆P 过点M ，可得MA ⊥MB ，可用向量或斜率关系转化为坐标表示，通过解方程，可得t 的值；第(3)问的本质就是求点C ，D 的纵坐标，由于点C ，D 随着点M 的变化而变化，因此以点M 的坐标为参数，通过设出点M 的坐标，进而表示出点C ，D 的纵坐标，通过计算得OC·OD 为定值．
规范解答 (1) 因为e ＝c a ＝2
2，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)
所以椭圆方程为x 28＋y 2
4
＝1.(4分)
(2)设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8 ①.
因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →
＝0，(5分) 又MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →
＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0 ②.(6分) 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M(－6，－1)，所以t>0)，所以s 2＝70
9.(7分)
又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB
2＝|s|，(8分)
所以圆P 的标准方程为x 2
＋⎝⎛⎭⎫y －132
＝70
9
.(9分) (3)设M(x 0，y 0)，则l MA 的方程为y －y 0＝
t －y 0
s －x 0
(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0
－s －x 0
，(11分)
所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝|－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
t 2x 20－s 2y 2
0x 20－s 2.(13分)
因为s 2＋2t
2＝8，x 20＋2y 20＝8，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 2
02t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 4、(2017苏州暑假测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.
(1) ①求椭圆C 的标准方程；
②若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3
，求QF 1·QF 2的值. (2) 设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．
思路分析 第(1)问的第1小题，求椭圆的标准方程，只需找到关于a ，b ，c 的另外两个方程，根据点P 在椭圆上，以及△PF 1F 2的面积为22不难求得；第2小题，所研究的对象为焦点三角形，由于已知一条边
与它的对角，因此，应用余弦定理研究即可．第(2)问，注意到以AB 为直径的圆过坐标原点等价于OA →·OB
→＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，因此，只需联立直线与椭圆的方程，求出交点的坐标并代入上式即可求出k 的值．
规范解答 (1) ①因为椭圆过点P (3,1)，所以9a 2＋1b 2＝1. 又S △PF 1F 2＝12
×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.(2分) 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝12，b 2＝4，
所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24
＝1.(4分) ②当∠F 1QF 2＝π3
时， 有⎩⎨⎧
QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－QF 1·
QF 2＝(2c )2＝32，(6分) 所以QF 1·QF 2＝163
.(8分) (2) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，(10分)
故x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124
.(12分) 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6，此时Δ＝120
＞0，满足条件．
因此k ＝±6.(14分)
5.(2017南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2
经过椭圆E ：x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)的焦点．
(1) 求椭圆E 的标准方程；
(2) 设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1，0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值．
思路分析 注意到T 为P ，Q 的中点，因此，就有两种处理方式，一是利用直线与椭圆方程联立，借助于方程的根与系数的关系，将中点T 表示为直线中的特征量k ，m 的形式；二是利用点差法，将中点T 表示为k ，m 的形式．
规范解答 (1) 因为0＜b ＜2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，
又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，(3分)
所以2b 2＝4，即b 2
＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(6分) (2) 解法1 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，
消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m ，(10分) 则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·1
2m －k m
－1＝14k 2－4m 2＝1－2(2m 2－2k 2)＝－12.(14分) 解法2 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0), 则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，
两式作差，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2
＝0， 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 0(x 1－x 2)2＋y 0(y 1－y 2)＝0，即x 02＋y 0(y 1－y 2)x 1－x 2
＝0，
又P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上，所以y 1－y 2x 1－x 2
＝k ，所以x 0＋2ky 0＝0，① 又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，故y 0＝kx 0＋m ，②
由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m 1＋2k 2
.(10分) 以下同解法1.
解后反思 对于中点弦问题，通常有两种常见的处理方法，一是通过将直线与曲线方程联立，应用根与系数的关系来处理；二是应用点差法，找到直线的斜率与中点的坐标间的关系来处理．。