人教版数学高二B版选修2-1学业测评 3.距离(选学)

学业分层测评
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一、选择题
1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )
A ．10
B ．3
C ．8
3
D ．103
【解析】 由题意可知PA →＝(1,2，－4)．设点P 到α的距离为h ，
则h ＝|PA →·n ||n |＝103. 【答案】 D
2．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A ，B ，C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )
A ．13
B ．11
C ．9
D ．7
【解析】 作PO ⊥α于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∴PA ＝PB ＝PC ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴O 是△ABC 的外心．∴OA ＝
AB 2sin ∠BCA
＝15
2sin 120°＝53，
∴PO ＝
PA 2－OA 2＝11即为所求．
【答案】 B
3．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )
A.6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4
D ．6a 3
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，
a,0)，A 1(a,0，a )，
∴DM
→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，0，a 2， DB →＝(a ，a,0)，DA 1
→＝(a,0，a )．
设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨
⎧
ax ＋a
2z ＝0，
ax ＋ay ＝0，
令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a .
【答案】 A
4．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )
【导学号：15460082】
A.33 B ．1 C ． 2
D ． 3
【解析】 如图，A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1，所以BB 1＝3，即点A 1到平面ABCD 的距离为 3.
【答案】 D
5．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )
A ．2
B ．2
C ．2 3
D ．4
【解析】 作PM ⊥β，QN ⊥α，垂足分别为M ，N .
分别在平面α，β内作PE ⊥l ，QF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，如图所示， 连接ME ，NF ，则ME ⊥l ，
∴∠PEM 为二面角α-l -β的平面角，∴∠PEM ＝60°. 在Rt △PME 中，|PE →
|＝|PM →|
sin 60°＝3sin 60°＝2， 同理|QF
→|＝4. 又PQ
→＝PE →＋EF →＋FQ →， ∴|PQ →|2＝4＋|EF →|2＋16＋2PE →·EF →＋2PE →·FQ →＋2EF →·FQ →＝20＋|EF →|2＋2×2×4cos 120°＝12＋|EF
→|2. ∴当|EF →|2取最小值0时，|PQ →|2最小，
此时|PQ →|＝2 3. 【答案】 C 二、填空题
6．如图3-2-42，已知在60°的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.
图3-2-42
【解析】∵AC⊥l，BD⊥l，α-l-β为60°的二面角，
∴〈CA→，DB→〉＝60°.
∵AB→＝AC→＋CD→＋DB→，
∴AB→2＝AC→2＋CD→2＋DB→2＋2AC→·CD→＋2AC→·DB→＋2CD→·DB→，
∴52＝12＋CD→2＋4＋2·|AC→||DB→|×cos 〈AC→，DB→〉，
∴CD→2＝20－2×1×2×cos 120°＝22，
∴|CD→|＝22.
【答案】22
7．在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．
【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，∴PC→＝(2,2，－2)，BC→＝(0,2,0)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧
n ·
PC →
＝0，n ·BC →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －z ＝0，
y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,0,1)． 又BD
→＝(－2,1,0)， ∴点D 到平面PBC 的距离为|BD →·n |
|n |＝ 2. 【答案】
2
8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．
【解析】 建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2，F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，a 2，0，如图所示．
设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·A 1E →
＝0， 即⎩⎨⎧
(x ，y ，z )·(－a ，0，0)＝0，(x ，y ，z )·⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，a ，－a 2＝0，
∴－ax ＝0，ay －a
2z ＝0，
∴⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝z 2，
令z ＝2，得n ＝(0,1,2)．
又FD 1→＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，－a 2，
a ，
∴所求距离d ＝|FD 1→
·n ||n |＝3
2a 5＝
35
10a .
【答案】 35
10a 三、解答题
9．在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，E ，F 分别为PC ，AD 的中点．
图3-2-43
(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．
【解】 (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的坐标系，
则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)． FP
→＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)， DE
→＝(0,1,1)． ∴DE
→＝12FP →＋12FB →. ∴DE
→∥平面PFB .
又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB . (2)令平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧
n ·FP →＝0，n ·
FB →＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋2z ＝0，
x ＋2y ＝0，
令x ＝2， 则⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1，
z ＝1，
∴法向量n ＝(2，－1,1)． 又∵PE
→＝(0,1，－1)， ∴d ＝|PE →·n ||n |＝|0×2－1×1－1×1|6＝63.
∴点E 到平面PFB 的距离为6
3.
10．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．
(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．
【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →分别为x 轴，y 轴，z 轴正
方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P (0,0,1)，A (1,0,0)， C (0,1,0)，E ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，12，0，
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，12，－1，
DE →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，12，0，
设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧
n ·EF →＝0，n ·
PE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－12x ＋12y ＝0，x ＋1
2y －z ＝0.
令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)， 所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝|DE →·n ||n |＝
|2＋1|4＋4＋9
＝3
1717，
因此，点D 到平面PEF 的距离为3
1717. (2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·
n ||n |＝117＝17
17，
所以AC 到平面PEF 的距离为17
17.
1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 分AC 1→的比为12，N 为BB 1
的中
点，则|MN |为( )
A.216a B ．66a C ．156a
D ．153a
【解析】 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1
→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直
角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，a ，a 2.又∵M 分AC 1→
的比为12，
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3a ，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A
2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离为( )
A ．3
B ． 3
C ．33
D ．13
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，
则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)， ∴EF
→＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，
GA
→＝(0，－1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量， 则 ⎩⎨⎧
n ·
EF →＝0，n ·
EG →＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋z ＝0，
2x －y －z ＝0，
∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)，∴d ＝|GA →·
n ||n |＝13＝3
3，
即点A 到平面EFG 的距离为3
3.
【答案】 C
3．如图3-2-44，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，则点A 到平面SND 的距离为________.
【导学号：15460083】
图3-2-44
【解析】 建立如图的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (4,1,0)，
∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(4,1，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∵n ·NS →＝0， n ·SD
→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2y ＋2＝0，4x ＋y －2＝0，∴⎩⎨⎧
x ＝14，y ＝1.
∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，1.∵AS →＝(0,0,2)．
∴A 到平面SND 的距离为 |n ·AS →||n |＝233
4＝833
33. 【答案】
83333
4．如图3-2-45，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点，问：线段AD 上是否存在一点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，说明理由．
图3-2-45
【解】 在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，∴PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD .
建立如图所示空间直角坐标系，易得A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，
CP
→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)． 假设存在点Q ，使它到平面PCD 的距离为32，设Q (0，y,0)(－1≤y ≤1)，CQ
→＝(－1，y,0)．
设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，
则⎩⎨⎧ n ·CP →＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x 0＋z 0＝0，－x 0＋y 0＝0， 即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，则
平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．
∴点Q到平面PCD的距离为
d＝|CQ
→
·n|
|n|
＝
|－1＋y|
3
＝3
2
，
∴y＝－1
2或y＝5
2(舍去)．此时|AQ
→
|＝
1
2
，|QD→|＝3
2.
∴存在点Q满足题意，此时AQ
QD ＝1 3.。