(江苏专用)2021高考数学二轮复习专题五第1讲基本初等函数、函数的图象与性质课件理

【训练2】 (1)f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).假设当x∈[－3，0]时， f(x)＝6－x，那么f(919)＝________. (2)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，假设存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，那 么实数a的取值范围是________. 解析 (1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即 f(x＋6)＝f(x)，∴f(919) ＝f(153×6＋1)＝f(1)，又 f(x)在 R 上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即 f(919)＝ 6.
图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x D 部分，且 x＝
1 处(lg x)′＝xln110，因ln110<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数 为 8 个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝0|x，2－04＜|－x≤2，1，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0， ∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝ －f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝ f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋ f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.
热点二 函数图象与性质的应用
【例 2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷改编)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1 －x)＝f(1＋x).若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________. (2)(2017·南京、盐城调研)已知函数 f(x)＝－ ln（x2＋x＋21x，）x，≤x0>，0. 若|f(x)|≥ax，则实数 a 的 取值范围是________.
【训练1】 (1)(2021·苏北四市调研)函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如下图， 那么a＋b的值是________.
解析 由图象可得ff（ （－ 0）3） ＝＝ loglaobg＝a（－－23，＋b）＝0，解得ab＝ ＝124， ，则 a＋b＝92.
答案
9 2
(2)已知函数 f(x)＝13ax2－4x＋3. ①若 a＝－1，求 f(x)的单调区间； ②若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； ③若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值. 解 ①当 a＝－1 时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令 μ＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， μ 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝13μ在 R 上单调递减， 所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间 是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
y＝1 的图象如图所示. 由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1 的实根个数为 4.
答案 4
考点整合
1.根本初等函数
(1)幂函数的概念及
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x及
1
y＝x2的图象及性质；
(2)有理数指数幂、对数的含义及运算；指数函数、对数函数的概念、图象与性质.
2.函数的性质 (1)单调性 (ⅰ)用来比较大小、求函数最值、解不等式和证明方程根的唯一性. (ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的 方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减〞 的原那么；④导数法. (2)奇偶性 ①假设f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②假设f(x)是奇函数，0在其定义域内，那么 f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有一样的单调性，偶函数在关于原点对 称的区间内有相反的单调性.
根的个数为________. 解析 令 h(x)＝f(x)＋g(x)，则
h(x)＝－－xln2＋x，ln0x＜＋x2≤，11，＜x＜2，当
1＜x＜2
时，h′(x)＝
x2＋ln x－6，x≥2，
－2x＋1x＝1－x2x2＜0，故当 1＜x＜2 时 h(x)单调递减，在同一坐标系中画出 y＝|h(x)|和
π4＝
2 2.
答案
2 2
3.(2017·江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝ xx， 2，xx∈DD，，其中集合 D＝xx＝n－n 1，n∈N*，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数是
________.
解析 由于 f(x)∈[0，1)，则只需考虑 1≤x<10 的情况，在此范围内，x∈Q，且 x Z 时，设 x＝qp，p，q∈N*，p≥2 且 p，q 互质.若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0，1)，可设 lg x ＝mn ，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质.因此 10mn＝qp，10n＝qpm，此时左边为整数，右边 为非整数，矛盾.因此 lg x Q，因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等， 只考虑 lg x 与每个周期 x D 部分交点，画出函数草图如图.
法二
取一个符合题意的函数
f(x) ＝ 2sin
πx 2
，
则
结
合
该
函
数
的图象来自易知数
列
{f(n)}(n∈N*)是以 4 为周期的周期数列.故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，当a＞0时，与y＝|f(x)|在y轴右 侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)即y＝x2－ 2x相切的情况，即y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a ＝－2，综上，a∈[－2，0].
cxo＋s 12π2x，，－0<2x<≤x≤2，0，则 f(f(15))的值为________. 解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区
间(－2，2]上，f(x)＝cxo＋s 12π2x，，－0<2x<≤x≤2，0，所以 f(f(15))＝f(f(－1))＝f12＝cos
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定定理或数形结 合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点 问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[考法2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例 3－2】 (1)(2018·南京、盐城一模)设函数 f(x)是偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝ x－（3x3＋－1x，）x，＞03≤，x≤3，若函数 y＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围 是________. (2)已知函数 f(x)＝2（－x－|x|，2）x≤2，2x，＞2，函数 g(x)＝b－f(2－x)，其中 b∈R，若函数 y＝ f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是________.
函数 f(x)的定义域为(1， 10]. (2)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即 x2－x－2＜0，解得－1<x<2.∴原不等式的解集为
(－1，2). 答案 (1)(1， 10] (2)(－1，2)
探究提高 (1)考察指数、对数的定义及运算性质，注意化为“同指〞或“同底〞，再 运用运算法那么化简合并. (2)考察指数函数、对数函数及幂函数的概念及性质，用以解决定义域、值域、最值、 解不等式等问题，注意指数函数与对数函数互为反函数.
答案 (1)2 (2)[－2，0]
探究提高 1.(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式 的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴). 2.(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范 围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质确实定与应用及一些方程、不 等式的求解常与图象数形结合研究.
真题感悟
1.(2018·江苏卷)函数 f(x)＝ log2x－1的定义域为________. 解析 要使函数 f(x)有意义，则 log2x－1≥0，即 x≥2，则函数 f(x)的定义域是[2，＋∞). 答案 [2，＋∞)
2.(2018·江 苏 卷 ) 函 数 f(x) 满 足 f(x ＋ 4) ＝ f(x)(x∈R) ， 且 在 区 间 ( － 2 ， 2] 上 ， f(x) ＝
②令 h(x)＝ax2－4x＋3，y＝13h（x），由于 f(x)有最大值 3， a＞0，
所以 h(x)应有最小值－1，因此必有12a4－a 16＝－1，解得 a＝1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. ③由 f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3 的值域为 R，则必有 a＝0.
(2)设 g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数 x0，使得 g(x0)＜h(x0)，因 为 g′(x)＝ex(2x＋1)，可知 g(x)在－∞，－12上单调递减，在－12，＋∞上单调递增， 作出 g(x)与 h(x)的大致图象如图所示，故hh（ （0－）1＞ ）g≤（g0（）－，1），即a－＜21a， ≤－3e，所以23e ≤a<1.
(3)周期性 常见结论有①若 y＝f(x)对 x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或 f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则 y ＝f(x)是周期为 2a 的周期函数；②若 y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x＝a 对称， 则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；③若 y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线 x＝a 对称， 则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数；④若 f(x＋a)＝－f(x)或f（x＋a）＝f（1x），则 y＝f(x) 是周期为 2|a|的周期函数.
第1讲 根本初等函数、函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考察主要有：(1)函数的概念和函数的根本性质是B级要 求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是 考察热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等根本函 数的图象和性质综合起来考察，是重要考点.
答案 (1)6 (2)23e，1
热点三 函数与方程问题 [考法1] 函数零点个数的求解 【例 3－1】 (2017·常州模拟)函数 f(x)＝4cos22x·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数
为________.
解析 f(x)＝4cos22xsin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·2cos22x－1－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x ＋1)|，令 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数 y＝sin 2x 与函数 y ＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函数 f(x) 有 2 个零点.
热点一 根本初等函数的概念及运算 【例 1】(1)(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)函数 f(x)＝ lg1x－2的定义域为________.
(2)(2015·江苏卷)不等式 2x2－x＜4 的解集为________. 解析 (1)由题意得lg1x－2≥0，即1－l2glgx x ≥0，从而 0＜lg x≤12，故 1＜x≤ 10，从而
3.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种根本方法：一是描点 法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
4.函数的零点问题 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y ＝g(x)的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结 合，利用两个函数图象的交点求解.