人教A版高中数学必修五模块综合测试(二).docx

必修五模块综合测试（二）
一、 选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）
1.不等式2
01
x x -+≤的解集是 （ ）
A 、(1)(12]-∞--U ，，
B 、[12]-，
C 、(1)[2)-∞-+∞U ，，
D 、(12]-，
2.等比数列{}n a 的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{}n a 的首项为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2
－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )
A ．8
B ．－8
C ．±8
D ．以上都不对 4、已知实数n m 、满足22=+n m ，其中0>mn ，则
n
m 2
1+的最小值为 （ ） A 、4 B 、6 C 、8 D 、12 5、若11<β<α<-，则下面各式中恒成立的是（ ）．
（A ）02<β-α<- （B ）12-<β-α<- （C ）01<β-α<- （D ）11<β-α<-
6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量
(),,m b c c a =--u r (),n b c a =+r
，若向量m n ⊥u r r ，则角A 的大小为
（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
3
2π 7、已知函数c ax x f -=2
)(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 应满足（ ）
（A ）26)3(7≤≤-f （B ）15)3(4≤≤-f （C ）20)3(1≤≤-f （D ）3
35)3(328≤≤-
f 8. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的
值为( )
A.1 B ．4
9．如果02>++c bx ax 的解集为{}
42>-<x x x 或，则对于函数c bx ax x f ++=2
)(应有 （ ）
A. )1()2()5(-<<f f f
B.)1()5()2(-<<f f f
C.)5()2()1(f f f <<-
D. )5()1()2(f f f <-<
10.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21=a ，若数列{
}n a +1也是等比数列，则n S 等于（ ） A. n 2 B. n 3 C. 221-+n D. 13-n
11．下列不等式组中，同解的是 （ ） A ．6>x 与22)5(6)5(->-x x x B ．3
2
31332-->
-++-x x x x x 与0232>+-x x C ．
0)
1)(1(22
>+--x x x 与0232
>+-x x D ．012)2(≥+-x x 与2≥x
12、若实数n m y x ,,,满足2
2
2
2
2,1x y m n +=+=，则ny mx +的最大值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2
二、 填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）
13函数1
4
3++
=x x y )1(->x 的最小值是___________. 14. 数列{}n a 中，)(,1111+++∈=-=N n a a a a a n n n n ，则{}n a 的通项=n a .
15．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列{}a n 是等积数列且a 12=，公积为10，那么这个数列前21项和S 21的值为_____________.
16．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，
其中,i j a 表示表格中第i 行第j 列的数，则4,5a = ，,i j a = .
三．解答题（共6小题，共计70分）
17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin
2
A ＋B
2－cos 2C ＝7
2
. (1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．
18.已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式.
19．已知)(x f 是二次函数，对任意x R ∈都满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(0)1f =. （1）求)(x f 的解析式；
（2）当[2,1]x ∈-时，()y f x =的图像恒在y x m =-+的图像上方，求实数m 的取值范围. 20．已知△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的
对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，
且.3
4
cos cos ==a b B A （1）求证：△ABC 是直角三角形；
（2）设圆O 过A 、B 、C 三点，点
P 位于劣弧
»AC 上，∠PAB =60°.
求四边形ABCP 的面积.
21.某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为300002m 的宿舍楼（每层的建筑面积相同）.已知土地的征用费为2250元/2m ，土地的征用面积为第一层的1.5倍.经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/2m 元，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/2m .试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
22、(12分) 已知函数2
()1f x x ax =++，()f x 在[3,1)x ∈-上恒有()3f x ≥-成立，求实数a 的取值
范围. .
综合测试（二）答案
1. D 解(2)(1)01x x x -+≤≠-原不等式可化为且所以(12]x ∈-，
2.C 解析： 6060)(31424=+⇒=+-a a a a S ，∴.6,313
14
2==++=
a a a a a q
3.A 解析：a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 2
4＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2
>0，∴a 4＝8.
12112144.=2+22m n
D m n m n m n n m
+++=≥解析：（）（2++2）4
5A 解析： 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即
11<α<-，11<β<-和β<α，根据不等式的性质，可得11<β-<-，0<β-α，继而得到
22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ．
6．B 解析：m n ⊥u r r ⇒m ⋅n 0=⇒2221
()()()0cos 2
b c b c a c a b c a bc A -+-+=⇒+-=⇒=
3
A π⇒=.
7 C 解析：∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-=∴)]1(4)2([3
1
)],1()2([31f f c f f a -=-=
故)]1(4)2([31)]1()2([39)3(f f f f c a f ---=-=)1(3
5
)2(38f f -=
由不等式的基本性质，得
.20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4≤≤-⇒⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬⎫
≤
≤-⇒≤≤-≤-≤⇒
-≤≤-f f f f f
8.A 解析：由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝3
16
，故a ＋b ＋c ＝1.
9. D 解析：由02>++c bx ax 的解集为{}
42>-<x x x 或可得0>a ，对称轴为1=x ，所以
)5()1()2(f f f <-<
10.A 解析：Θ数列{
}n a +1是等比数列，∴1)21(3)21(2
2
=⇒+=+q q q ，.2n S n = 11．D 解析：分别解出每组不等式的解，易得答案D 组的不等式解集一样.
12.B 解析：三角换元，设
2,2;sin ,cos ,
x y m n ααββ====2sin 2cos 2)mx ny αβαβαβ+=+=-所以最大值为2
13. 433解析：44
33(1)343311
y x x x x x =+=++-≥++. 14..1
2n a n =
解析： 由11++=-n n n n a a a a ，得1111=-+n
n a a
∴
n n a n
=-⋅+=)1(111，∴.12n a n =
15. 72解析：由定义及已知，该数列为{2，5，2，5，……}，所以7221=S .要理解好题意，分项数为偶数和奇数的情况进行计算，先计项数为偶数的情况，将项数为奇数的转化偶数情况即可． 16． 49,2ij i j ++ 解析：
1,54(51)316a =+-⨯=,2,57(51)527a =+-⨯=,
∴4,516(41)1149a =+-⨯=．
1,4(1)331j a j j =+-⨯=+,2,7(1)552j a j j =+-⨯=+
∴第j 列的公差为(52)(31)21j j j +-+=+， 故,(31)(1)(21)2i j a j i j ij i j =++-⨯+=++
17.解：(1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin
2
A ＋B
2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72
，
∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2
C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12
，
∵0°<C <180°，∴C ＝60°.
(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2
－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2.
18、解析：⑴证明：2132,n n n a a a ++=-Q
∴)(2112n n n n a a a a -=-+++,Θ3,121==a a ,∴
)(211
2++++∈=--N n a a a a n
n n n
{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列.
⑵解：由（I ）得*
12(),n n n a a n N +-=∈
112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
12*
22...2121().
n n n n N --=++++=-∈
⑶证明：12111
44
...4(1),n n b b b b n a ---=+Q 12(...)42,n n b b b n nb +++-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即，1(1)20.n n n b nb +--+= ③
21(1)20.n n nb n b ++-++= ④
④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即，2120,n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列.
19解：（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠，(0)11f c =∴=Q ，
又(1)()221f x f x ax a b x +-=++=-+，1,2a b ∴=-=，所以2
()21f x x x =-++
（2）由题意2
21x x x m -++≥-+在[2,1]x ∈-上恒成立，即2
31m x x ≤-++在[2,1]x ∈-上恒成立.
令2
()31g x x x =-++易知()g x 在[2,1]x ∈-上为增函数，则min ()(2)9g x g =-=-，所以9m ≤-.
20. 解：（1）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos A B B A =整理为，sin A cos A=sin B cos B ，即sin 2A=sin 2B.
∴2A=2B 或2A+2B=π，∴2
π=+=B A B A 或.Q
,34
=a b ∴舍去A=B.∴2A B π+=即2
π=C .
故△ABC 是直角三角形.
（2）解：由（1）可得：a =6，b =8.在R t △ACB 中，.5
4cos ,5
3sin =∠==∠CAB AB
BC CAB
∴)60sin(sin CAB PAC ∠-︒=∠=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10
153215423-=⨯-⨯
连结PB ，在R t △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5.
∴四边形ABCP 的面积PAC AC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2
12
1四边形=24+386-=18+38.
21.解：设楼高为n 层，总费用为y 万元，则征地面积为21.530000()m n ⨯，征地费用为 1.53
2250n
⨯⨯
万元，各楼层建筑费用和为(1)3
400302n n n n
-⎡
⎤+
⨯⨯⎢⎥⎣⎦万元.总费用为，
(1)3
1.5367540030225015(377)1577)25052n n y n n n n n -⨯⎡⎤=+⨯⨯+⨯=⨯++≥⨯=⎢⎥⎣⎦
当且仅当675
3n n
=
即15n =时上式取等号.所以这幢宿舍楼高层数为15时，总费用最少为2505万元. 22解：由于2
2
2()1()124
a a f x x ax x =++=++-
(i)当32
a -<-即6a >时，易知()f x 为[3,1)x ∈-上的增函数，
则min 13()(3)10333
f x f a a =-=-≥-⇒≤，此时a 无解；
(ii)当312a -≤-<即26a -<≤时，则2
min ()()134424a a f x f a =-=-≥-⇒-≤≤，此时24a -<≤；
(iii)当12
a
-
≥即2a ≤-时，易知()f x 为[3,1)x ∈-上的减函数， 则min ()(1)235f x f a a ==+≥-⇒≥-，此时52a -≤≤-. 综上所述，a 的取值范围{|54}a a -≤≤.。