数列的概念与简单表示法-高考数学复习

当 k≥5 时,a2k+1-a2k-1>0,数列{a2k-1}为递增数列.故此时{an}有最小项 a9.
综上,{an}既有最大项,又有最小项.
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14.斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且a1=a2=1.若此
1
9
9
因为 a1+a2+a3+a4=1+2+2+1=2,所以 S20=5× 2=22.5,故 D 正确.
故选 AD.
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12.(2024·山东潍坊模拟)若数列{an}的前n项积Tn=1-
2
15
n,则an的最大值与
最小值的和为( C )
所以 an=2n(n-1)+8.

8
所以 =2n+ -2≥2
8
2· -2=6,当且仅当
n=2 时,等号成立.
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综合提升练
11.(多选题)(2024·浙江嘉兴八校联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足
2 ,为奇数,
解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+10.
9, = 1,
又 a1=S1=9≠-2×1+10,所以 an=
-2 + 10, ≥ 2,
则{an}是递减数列,故 A 正确,B 错误;
当 n>5 时,an=10-2n<0,故 C 正确;

1
1

1
当 n≥2 时, =-n+ +9,又 1 =9 满足上式,所以 =-n+ +9,
10 2k-1
10 2k+1
*
当 n=2k-1(k∈N )时,an<0,a2k-1=-2k·
( ) ,a2(k+1)-1=-(2k+2)·
( ) ,
42-200
a2k+1-a2k-1= 121
10 2k-1
·(11 ) ,
11
11
所以当 k≤4 时,a2k+1-a2k-1<0,数列{a2k-1}为递减数列;
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8.若数列{an}中的前n项和Sn=n2-3n(n为正整数),则数列{an}的通项公式
an=
2n-4
.
解析 由Sn=n2-3n,得Sn-1=(n-1)2-3(n-1)=n2-5n+4(n≥2),
故an=Sn-Sn-1=n2-3n-(n2-5n+4)=2n-4(n≥2).
λ<1+2=3,即λ的取值范围是(-∞,3).
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7.(2024·河南郑州模拟)现有一货物堆,从上向下查,第一层有1个货物,第二
层比第一层多2个,第三层比第二层多3个,以此类推,记第n层货物的个数为
an,则使得an>2n+2成立的n的最小值是( C )
数列的概念与简单表示法
基础巩固练
1.已知数列 1, 2,2,2 2,4,…,根据该数列的规律,16 是该数列的( C )
A.第 7 项
B.第 8 项
C.第 9 项
D.第 10 项
解析 根据规律可得 an=( 2)n-1,
令( 2)n-1=16,可得 n=9,故 16 是该数列的第 9 项.
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D.an=(-2)n+1
2
解析 令 n=1,则 a1= a1+1,解得 a1=3.当
3
2
2
则 an=Sn-Sn-1=3an-3an-1,即 an=-2an-1,n≥2.
n≥2
2
时,Sn-1= an-1+1,
3
所以数列{an}是以 3 为首项,-2 为公比的等比数列,所以 an=3×(-2)n-1.
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2
13
解析 ∵数列{an}的前 n 项积 Tn=1-15 n,∴当 n=1 时,a1=15 ;
2
1
2

2-15
2
15
当 n≥2 时,Tn-1=1-15 (n-1),an= = 2
= 2-17=1+2-17 .
1- (-1)
-1
15
13
2
∵a1=15也适合上式,∴an=1+2-17.
A.3
B.4
C.5
D.6
1 = 1,
2 -1 = 2,
- = 3,
解析 由题意 3 2
…
--1 = ,
≥ 2,
(+1)
累加可得 an-a1=2+3+…+n,所以 an=1+2+…+n= 2 ,n≥2.
(+1)
令
>2n+2,得
2
n>4.当 n=1 时,a1=1 不满足题意,故 nmin=5.
∴数列{bn}是以6为周期的周期数列,
2 022
∴数列{bn}的前2 024项和S2 024= 6 ×(1+1+2+3+1+0)+1+1=2 698.
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15.(2024·湖北襄阳模拟)数列{an}满足
16, = 1,
an=
12 , ≥ 2
3.在数列{an}中,a1=7,a2=24,对所有的正整数n都有an+1=an+an+2,则a2 024=
( B )
A.-7
B.24
C.-13
D.25
解析 由an+1=an+an+2得an+2=an+1+an+3,两式相加得an+3=-an,
∴an+6=-an+3=an,∴{an}是以6为周期的周期数列,
当n=1时,a1=S1=1-3=-2也符合上式,故an=2n-4.
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1
9.在数列{an}中,若 a1=2,an+1=2(1+ )an,则{an}的通项公式为
1
+1
1 2(+1)
解析 由题意知 an+1=2(1+ )an,an≠0,故 =2(1+ )= ,
∴当n≤8时,数列{an}为递减数列,且an<1,
当n≥9时,数列{an}为递减数列,且an>1,
故an的最大值为a9=3,最小值为a8=-1,
∴an的最大值与最小值之和为2.
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13.已知数列an=(n+1)(-
10 n
)
,下列说法正确的是(
a1=1,an+1= 1
则下列说法正确的有( AD )
,为偶数,

A.a6=2
1
C.a2 022=
2
B.数列{an}为递增数列
D.S20=22.5
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解析 由题意,数列{an}满足 a1=1,an+1=
当 n=1
当 n=4
2 ,为奇数,
通项公式为
.
2
a1+
3
+
3

n+1
+…+
=4
,则数列{an}的
32
3 -1
2
3

解析 由题意 a1+ + 2 +…+ -1 =4n+1,①
3
3
3
2
3

+1
∴a1+ 3 + 32 +…+ -1 + 3 =4n+2.②
3
+1
②-①得 3 =4n+2-4n+1=3×4n+1,an+1=3n+1×4n+1=12n+1,
数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 024项和
为 2 698
.
解析 ∵an+2=an+1+an,且a1=a2=1,
∴数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,
此数列各项除以4的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,
则当 n≥2 时,an=12n.
当 n=1 时,a1=16 不适合上式.
16, = 1,
∴an=
12 , ≥ 2.
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11
A.{an}有最大项,但没有最小项
B.{an}没有最大项,但有最小项
C.{an}既有最大项,又有最小项
D.{an}既没有最大项,也没有最小项
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C )
10 n
an=(n+1)(- ) ,
11
解析 数列
当 n=2k(k∈N*)时,an>0,
10 2(k+1)
10 2k -42+179
a2(k+1)-a2k=[2(k+1)+1](- )
-(2k+1)·
(- ) =
11
11
121
10 2k
·( ) ,
11
所以当 k≤4 时,a2(k+1)-a2k>0,数列{a2k}为递增数列;
当 k≥5 时,a2(k+1)-a2k<0,数列{a2k}为递减数列.故此时{an}有最大项 a10.
5.(多选题)(2024·甘肃兰州一中校考)数列{an}的前n项和为Sn,已知
Sn=-n2+9n+1,则下列说法正确的有(ACD)
A.数列{an}是递减数列
B.数列{an}是等差数列
C.当n>5时,an<0
D.数列{


}有最大项,没有最小项
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而2 024=337×6+2,∴a2 024=a2=24.
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4.(2024·湖北黄石模拟)若数列{an}的前n项和
2
Sn=3an+1
,则{an}的通项公式
是( B )
A.an=(-2)n-1
B.an=3×(-2)n-1
C.an=3×(-3)n-1
C.(-∞,1+log2e]
D.(-∞,3)
解析 因为数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·
2n(n=1,2,…),且{an}是递增数列,
所以an<an+1对于∀n∈N*都成立,所以(n-λ)·
2n<(n+1-λ)·
2n+1对于∀n∈N*都成
立,即n-λ<2(n+1-λ)对于∀n∈N*都成立,所以λ<n+2对于∀n∈N*都成立,所以

所以数列{ }是递减数列,故

D 正确.故选 ACD.
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6.(2024·北京怀柔模拟)数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),若{an}
是递增数列,则实数λ的取值范围是( D )
A.[1,+∞)
B.(1+log2e,3)
6
为
.

a1=8,an+1-an=4n,则 的最小值
解析 由已知得 a2-a1=4,a3-a2=8,…,an-an-1=4(n-1),n≥2,
累加得
(-1)[4+4(-1)]
an-a1=
=2n(n-1),n≥2.又
2
a1=8,
则 an=2n(n-1)+8,n≥2.
当 n=1 时,a1=8 也符合上式,
1
,为偶数,

1
1
时,a2=2a1=2;当 n=2 时,a3= = 2;当 n=3 时,a4=2a3=1;
2
1
1
1
时,a5= =1;当 n=5 时,a6=2a5=2;当 n=6 时,a7= = 2;…….
4
6
所以数列{an}是以 4 为周期的周期数列,故 A 正确,B 不正确;
又由 a2 022=a505×4+2=a2=2,故 C 不正确;
2.(2024·辽宁抚顺模拟)在数列{an}中,a1=3,an=
3
A.5
解析 由题意可得
1
-1 -2
3
1
B.C.7
3
1
1
1
1
a2= -2=1,a3= -2=-1,a4= -2=-3.
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
,则 a4=( C )
1
D.5

2 3

2×2
2×3
2
故 an=a1· · ·…· =2×
×
×…× =n·
2n,n≥2.
1 2
-1
1
2
-1
a1=2 也适合上式,所以 an=n·
2n.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
an=n·2n
.
10.(2024·河南新乡模拟)已知数列{an}满足