讲克莱姆法则上课用

例1 设 求 AB .
2 3 1 1
A 1 2 1 , B 0
0 3 1
2
解
2
1
0
3 2 3
1 1
1 0
1
2
21 30 11 2 0 01 3 0
1 2 (1) 2 1 2
4
1
2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1 a2
,
B b1 b2
18
7. 计算行列式: (xi ai )
x1 a2 a3 a4
D a1 x2 a3 a4
a1 a2 x3 a4 a1 a2 a3 x4
19
解 用加边法
1 a1 a2 a3 a4 0 x1 a2 a3 a4 D 0 a1 x2 a3 a4 0 a1 a2 x3 a4 0 a1 a2 a3 x4
xn m
16
n
m xi x2 i 1 n
解 D m xi x2 m i 1
n
m xi x2
i 1
(m
n
1 xi ) 1
x2 x2 m
i 1
1
x2
17
xn xn
xn m xn xn
xn m
(m
n
1 xi ) 0
x2 m
xn 0
i1 0 0
m
n
(m xi )(m)n1 i 1
有非零解,则系数行列式等于零,即 a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
6
例1 求解线性方程组
x1 x2 x1 2x2
x3 x3
1 0
3x1 5x2 x3 3
解 线性方程组的系数行列式
11 1 D 1 2 1 2 0
35 1
所以方程组有唯一解.
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
例3
设
1 A 1
1 1 ,
1 B 1
1
1
则
AB
0 0
0 0
,
BA
2 2
2 2
注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
xx 2 2 x 1 3 (x 1)(x 2)(x 3) 3 3 x1
xx 2 证 令 f (x) 2 x 1 3
3 3 x 1
11
由于 f (x) 是 x的三次多项式,且
112
222
f (1) 2 2 3 0, f (2) 2 3 3 0
332
333
3 3 2 f (3) 2 2 3 0
方阵的行列式: | A || aij |nn 或 det Α .
2.特殊矩阵
零矩阵: 0mn, 0
a11
对角矩阵:
a22
ann
1
单位矩阵: E ,I 或
En
1
1
k
数(标)量矩阵:
Α
k
k
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2n
ann
a11
下三角矩阵:
A 0且 B 0 AB 0
如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换. 学习矩阵理论,尤其要注意反常性质!
预 习2.2---- 2.3
46
!
预 习 2.2-2.3
47
矩阵理论引言
历史 ★ 矩阵思想源于求解线性方程组 ★ 矩阵思想产生于中国 (朱世杰等) ★ Matrix概念产生于英国 (Sylvester)
27
1 x1 x12
xn1 1
1
D
x2
x22
xn1 2
1 xn xn2
xn1 n
(xi xj ) 0
1 jin
所以方程组只有唯一零解,即
a0 a1 a2 an1 0
故
f (x) 0
28
《线性代数与空间解析几何》
第二章 矩阵
本章的主要内容
矩阵的概念及运算 可逆矩阵* 矩阵的初等变换与初等阵* 矩阵的秩 分块矩阵
运算性质: (A是mn的矩阵) (1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C ) AB + AC (B + C )A = BA + CA
学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什
么熟知的运算规律.特别是乘法运算.
a21
a22
an1
an 2
ann
行矩阵: a1 a2
a1
an
列矩阵:
a2
an
34
2.2 矩阵运算
矩阵的线性运算
矩阵的乘法运算 方阵的幂及
行列式的乘法公式 矩阵的转置
2.2.1 矩阵的加法: ( A与B 要同形).
加 法: Α (aij )mn Β (bij )mn
例4
设
1 A 2
2 4 ,
1 B 2
3 1 ,
7
C
1
1 2 ,
求 AB 及 AC.
解
AB
1 2
2 1 4 2
3 5 1 10
5 10 ,
AC
1 2
2 7
4
1
1 2
5 10
5 10
.
注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC,
但是B不等于C.这说明消去律不成立!
总结一下矩阵乘法的一些反常性质: 未必满足交换律: AB BA 未必满足消去律: AB = AC B = C 可能有零因子: AB 0 A 0或 B 0
3 3 2
12
因此有
xx 2 2 x 1 3 (x 1)(x 2)(x 3) 3 3 x 1
注 x3 的系数为1.
13
5 ．
计算行列式
1a 1 1 1
D
1 1
1a 1 1 1b
1 1
1 1 1 1b14解 Nhomakorabeaaa00
1100
Dr2 r1 1 1 a 1
1
1 ab
1 a
1
1
r4 r3 0 0 b b
A + B = C (cij )mn (aij bij )mn
负矩阵: Α (aij )mn (aij )mn 减 法: A B A (B)
运算性质: A+ B = B + A, (A+ B) C A (B + C)
A 0 A, A (A) 0
2.2.2 数乘
kA k (aij )mn (kaij )mn
0011
1 1 1 1b
1 1 1 1b
110 0
1100
r1 r1
r2ab r4
0 0
a 0
1 1
1 1
r3
r4ab
0 0
a 0
1 1
1 1
a2b2
0 0 1 1b
0 0 0 b
15
6. 计算行列式
x1 m x2
x3
x1 x2 m x3
D x1 x2 x3 m
x1
x2
x3
xn xn xn
30
2.1 矩阵的概念
2.1.1.矩阵的概念
1 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
称为 m n 矩阵.
a1n
a2n
amn
简记为 Amn (aij )mn
当 m=n 时称为n 阶方阵.
矩阵同形它们行数和列数相同. 矩阵相等它们同形且对应元素相等.
a1 j1 b1 a1 j1
a1n
Dj a21
a2 j1 b2 a2 j1
a2n
an1
anj1 bn anj1
ann
4
推论1
如果n元齐次线性方程组的系数 行列式不等于零,即
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2n xn 0 an1x1 an2 x2 ann xn 0
分析: a 相当于第2行的元素乘上的第4 行的代数余子式,根据行列式的性 质,应该为0,答案为(C).
25
10. 设 f (x)是一个次数不大于n-1的一元
多项式,如果存在 n 个互不相同的数
x1, x2 , , xn 使 f (xi ) 0,i 1, 2, , n,
证明: f (x) 0 证 设 f (x) a0 a1x a2 x2 an1xn1
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，
2
a11 a12 a1n 即 D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
则方程组(1)只有唯一解,且其解为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
3
其中
a11
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann 则此方程组只有唯一零解,即
x1 x2 xn 0. 5
推论2
如果n元齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0 ann xn 0
运算性质:
k (lA) (kl) A k(A+ B) kA kB (k l) A kA lA
1A A, 0A 0
2.2.3 矩阵乘法
Α (aij )ms , Β (bij )sn ,,则 C = AB (cij )mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
0110 M31 M32 M33 M34
A31 A32 A33 A34
1301
3 1
0 1
1 1
4 1
25.
0110
24
3797
9.
设有四阶行列式
D
4 3
8 0
5 4
6 9
1472
设a=4A41+8A42+5A43+6A44, 则a的值为:
(A) -2; (B) -1; (C) 0; (D) 2.
0
000
(1
4 i 1
ai ) xi ai
4 i 1
(xi
ai )
x4 a4
22
1301
8.
已知
D
3 1
0 1
1 2
4 1
0110
计算（1）A31 A32 A33 A34
（2）M31 M32 M33 M34
23
1301
解
A31
A32
A33
A34
3 1
0 1
1 1
4 1
3.
应用 ★ 数学(计算数学)各分支 ★ 信息处理•系统控制•工程技术等
其中 ai 待定， 由已知 f (xi ) 0,i 1, 2, , n
26
得
aa00
a1x1 a1x2
a2 x12 a2 x22
a0 a1xn a2 xn2
an1
xn1 1
0
an1
xn1 2
0
an1xnn1 0
这是关于 a0 , a1, a2 , , an1 的n元一次
线性方程组,其系数行列式
s
aikbkj , i 1, , m; j 1, , n. k 1
ai1
ai 2
ais
b1 j b2 j
bs j
cij
总结如下:
可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
应用
解线性方程组(Cramer法则)
9
练习
1. 若行列式D的某一行元素的代数余子式 全
是零,则这个行列式D = 0.
2.若4阶行列式D的某一行的所有元素及其
余子式都相等,则D = 0 .
3.在一个n阶行列式D中,如果等于零的元
素多于 n 2 个n ,则D =
.0
10
4. 不计算行列式值，利用性质证明
20
1 a1
a2
a3
a4
1 x1 a1 0 0 0
r r 1 1 i (i 2, 3, 4, 5) 0 x2 a2 0
0
1 0 0 x3 a3 0
1 0 0 0 x4 a4
21
4
1
ai
i1 xi ai
a1
a2
a3
a4
0
x1 a1 0
0
0
0
0 x2 a2 0
0
0
0
0 x3 a3 0
7
11 1
11 1
D1 0 2 1 2 35 1
D2 1 0 1 2 33 1
111 D3 1 2 0 2
353
所以方程组的唯一解为
x1
D1 D
1, x2
D2 D
1, x3
D3 D
1
8
第一章的知识网络图
定义
转置 换法
性质
倍法
行
计
列
算
式
降阶公式
分拆 消法
行列式乘法公式
特殊行列式：上（下）三角， Vandermonde行列式
《线性代数与空间解析几何》 第一章 n 阶行列式
1.4 克莱姆法则
1
1.4 克莱姆（Cramer)法则
下面给出利用n阶行列式求解方程个
数与未知量个数都是n而且系数行列式不
为零的线性方程组的求解公式.
定理5 (Cramer法则)如果n元线性方程组
a11x1 a12 x2 (1) a21x1 a22 x2