圆锥曲线的弦长问题
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AOB面积S的最大值及此时直线l的倾斜角.
AB : x ky 3
S 1 2
3
y1 y2
6 3k 2 1 ....... 3k 2 4
3,
S 1 AB d 6 3k 2 1 ....... 3,
2
3k 2 4
8.已知抛物线 y2 x与直线l : y k(x 1)相交于A, B两点. (1)求证 : OA OB;(2)当OAB的面积等于 10时,求k的值.
y1 y2
c 4 3c 5
20
3,
x2 y2 1 50 25
补充问题探究：抛物线焦点弦的性质
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图
方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 A1
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任意一点, F2是右焦点,求F1QF2的取值范围; (3)设Q是椭圆上一点,当QF2 AB时,延长QF2与椭圆交于另
一点P,若F1PQ的面积为20 3,求此时椭圆的方程.
(1)e 2 2
(2)[0, ]
2
(3)PQ : y 2(x c)
S
1 2c 2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
CC1
1
2 AA1
BB1
1 AF
2
BF
1 2
AB
焦点弦：几何关系研究
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ
的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线，
垂足分别为A1、B1、C1.
CC1
1
2 AA1
BB1
1 AF
2
BF
1 2
AB
A1
A
AF
x1
p , BF 2
x2
p 2
AB
x1 x2 p
C1
C
Fra Baidu bibliotek
引入倾斜角 AB
2p
sin2
最短的焦点弦
OF
通径长 2 p
B1 B
S△AOB
p2
2 s in
;
韦达定 理焦半径 1 1 2 AF BF p
x1 x2 p
( x1
p 2
)(x2
p) 2
p2 4
x1 x2 p
直线与圆锥曲线
弦的问题
一般的弦长
直线l:y=kx+b,曲线C:F(x,y)=0. 直线l与曲线C的交点为
A(x1,y1),B(x2,y2)，直线与二次曲线相交的弦长公式为
AB
1 k 2 x1 x2 或 AB
1
12 k
y1
y2
1.过双曲线 x2 9
y2 16
1的右焦点F2,倾斜角为60的直线
S 1 OA OB 1
2
2
x12 y12
1 2
2k 2 1 k2
10,
x2 2
y22
1 2
(x12 x1)(x22 x2 )
椭圆、双曲线焦点三角形面积: 抓住定义解题,常结合余弦定理. 圆 锥 曲 线 有 关 的 三 角 形面 积 表 示 方 法 ：
(1)S 1 AB d(弦长公式求AB ,点到直线距离求d ) 2
以 焦 点 弦 为 直 径 的 圆 与抛 物 线 准 线 相 切
AC1平 BC1平
分A1 AF 分B1BF
AC1 BC1
A1
A
C1
C
OF
B1
B
A1AC1 AFC1
课本81页B7
B1BC1 BFC1
A1F B1F
C1F AB C1F C1A1 C1B1
以C1为圆心, A1B1 为直径的圆与AB相切
交双曲线于A, B两点, (1)求 AB;(2)求AF1B的周长.
2.椭圆ax2 by2 1与直线x y 1 0交于A, B两点, AB 2 2， AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是 2 ,求a,b的值.
2
过焦点的弦长 1.弦长公式是通用的
2.过焦点的弦，还可以使用焦半径
3.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴, 经过焦点且倾斜角为 135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线方程. y2 4x
(2)利用共同的底边, 拆分三角形为面积和(或差),常化为
S
1 2
公 共 底 边 长
x1
x2
或S
1 2
公 共 底 边 长
y1
y2
"联立方程韦达定理 "是前提,最值问题常化为函数最值.
作业：
1.抛物线的顶点在原点,焦点F是圆x2 y2 4x 3 0的圆心. (1)求抛物线的方程; (答案：y2 8x) (2)是否存在过点F的直线l,l与抛物线及圆顺次交于A, B,C, D 四点,使 AB , BC , CD 成等差数列?若直线l存在,求出方程;若 不存在, 说明理由. (答案：不存在）
A
B(x2,y2)、C(x0, y0)……
C1
C
方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
OF
B1
B
方向3：几何关系. 垂直、平行、
共圆、共线……
焦点弦：坐标关系研究
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ
的弦AB，C为AB 中点，过A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 、 C(x0, y0)作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1
4.已知斜率为1的直线l过椭圆 x2 y2 1的右焦点交椭圆于A, B 4
两点, 求弦A B的长.(了解即可）
特殊的焦点弦：通径
5.过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A, B
两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线有多少条？ 2条
思考： 1.为什么通径是抛物线最短的焦点弦？
通径长2 p
A、O、B1共 线 B、O、A1共 线
2001全国高考文20、理19
探究3：课本例题引出的高考题
刚才的几何关系探究，可以写成：
l
A
B1 l, B C
BB1 // ox轴
三
点A、O、B1共
线
BF连 线 交 抛 物 线 于A
调换条件和结果，可以得到：
O
F
B1
B
B1 l, B C
直
线AB过
抛
物
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
•注意：讨论斜率不存在的情况
x1 x2
p2 4 , y1 y2
p2
A1
A
C1
C
OF
B1
B
焦点弦：长度关系研究
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ
的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线，
垂足分别为A1、B1、C1.
2.设椭圆3x2 y2 6与一斜率为 3的直线交于A, B两点,求 AOB面积S的最大值.
1
3 m2 (12 m2 )
S AB d
....... 3,
2
6
3.从椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)上一点M向x轴作垂线, 恰好通
过左焦点F1,且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB // OM .
2.若过焦点的弦长为m，怎样判断这样的弦有多少条？
3.你能把2的结论类比到椭圆、双曲线吗？ 通 径 长2b2
a
6.过双曲线2x2 y2 2 0的右焦点作直线l与双曲线相交
于A, B两点,若 AB 4,则这样的直线有多少条？
3条
三角形面积问题
7.椭圆 x2 y2 1,过点M ( 3,0)的直线l交椭圆于A, B,求 43
线
焦
点F
BB1
//
ox轴
AO连 线 交 准 线l于B1
课本70页例5
B1 l, B C
BB1 // ox轴
直
线AB过
抛
物
线
焦
点F
B1O连 线 交 抛 物 线 于A
AB : x ky 3
S 1 2
3
y1 y2
6 3k 2 1 ....... 3k 2 4
3,
S 1 AB d 6 3k 2 1 ....... 3,
2
3k 2 4
8.已知抛物线 y2 x与直线l : y k(x 1)相交于A, B两点. (1)求证 : OA OB;(2)当OAB的面积等于 10时,求k的值.
y1 y2
c 4 3c 5
20
3,
x2 y2 1 50 25
补充问题探究：抛物线焦点弦的性质
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图
方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 A1
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任意一点, F2是右焦点,求F1QF2的取值范围; (3)设Q是椭圆上一点,当QF2 AB时,延长QF2与椭圆交于另
一点P,若F1PQ的面积为20 3,求此时椭圆的方程.
(1)e 2 2
(2)[0, ]
2
(3)PQ : y 2(x c)
S
1 2c 2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
CC1
1
2 AA1
BB1
1 AF
2
BF
1 2
AB
焦点弦：几何关系研究
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ
的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线，
垂足分别为A1、B1、C1.
CC1
1
2 AA1
BB1
1 AF
2
BF
1 2
AB
A1
A
AF
x1
p , BF 2
x2
p 2
AB
x1 x2 p
C1
C
Fra Baidu bibliotek
引入倾斜角 AB
2p
sin2
最短的焦点弦
OF
通径长 2 p
B1 B
S△AOB
p2
2 s in
;
韦达定 理焦半径 1 1 2 AF BF p
x1 x2 p
( x1
p 2
)(x2
p) 2
p2 4
x1 x2 p
直线与圆锥曲线
弦的问题
一般的弦长
直线l:y=kx+b,曲线C:F(x,y)=0. 直线l与曲线C的交点为
A(x1,y1),B(x2,y2)，直线与二次曲线相交的弦长公式为
AB
1 k 2 x1 x2 或 AB
1
12 k
y1
y2
1.过双曲线 x2 9
y2 16
1的右焦点F2,倾斜角为60的直线
S 1 OA OB 1
2
2
x12 y12
1 2
2k 2 1 k2
10,
x2 2
y22
1 2
(x12 x1)(x22 x2 )
椭圆、双曲线焦点三角形面积: 抓住定义解题,常结合余弦定理. 圆 锥 曲 线 有 关 的 三 角 形面 积 表 示 方 法 ：
(1)S 1 AB d(弦长公式求AB ,点到直线距离求d ) 2
以 焦 点 弦 为 直 径 的 圆 与抛 物 线 准 线 相 切
AC1平 BC1平
分A1 AF 分B1BF
AC1 BC1
A1
A
C1
C
OF
B1
B
A1AC1 AFC1
课本81页B7
B1BC1 BFC1
A1F B1F
C1F AB C1F C1A1 C1B1
以C1为圆心, A1B1 为直径的圆与AB相切
交双曲线于A, B两点, (1)求 AB;(2)求AF1B的周长.
2.椭圆ax2 by2 1与直线x y 1 0交于A, B两点, AB 2 2， AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是 2 ,求a,b的值.
2
过焦点的弦长 1.弦长公式是通用的
2.过焦点的弦，还可以使用焦半径
3.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴, 经过焦点且倾斜角为 135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线方程. y2 4x
(2)利用共同的底边, 拆分三角形为面积和(或差),常化为
S
1 2
公 共 底 边 长
x1
x2
或S
1 2
公 共 底 边 长
y1
y2
"联立方程韦达定理 "是前提,最值问题常化为函数最值.
作业：
1.抛物线的顶点在原点,焦点F是圆x2 y2 4x 3 0的圆心. (1)求抛物线的方程; (答案：y2 8x) (2)是否存在过点F的直线l,l与抛物线及圆顺次交于A, B,C, D 四点,使 AB , BC , CD 成等差数列?若直线l存在,求出方程;若 不存在, 说明理由. (答案：不存在）
A
B(x2,y2)、C(x0, y0)……
C1
C
方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
OF
B1
B
方向3：几何关系. 垂直、平行、
共圆、共线……
焦点弦：坐标关系研究
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ
的弦AB，C为AB 中点，过A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 、 C(x0, y0)作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1
4.已知斜率为1的直线l过椭圆 x2 y2 1的右焦点交椭圆于A, B 4
两点, 求弦A B的长.(了解即可）
特殊的焦点弦：通径
5.过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A, B
两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线有多少条？ 2条
思考： 1.为什么通径是抛物线最短的焦点弦？
通径长2 p
A、O、B1共 线 B、O、A1共 线
2001全国高考文20、理19
探究3：课本例题引出的高考题
刚才的几何关系探究，可以写成：
l
A
B1 l, B C
BB1 // ox轴
三
点A、O、B1共
线
BF连 线 交 抛 物 线 于A
调换条件和结果，可以得到：
O
F
B1
B
B1 l, B C
直
线AB过
抛
物
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
•注意：讨论斜率不存在的情况
x1 x2
p2 4 , y1 y2
p2
A1
A
C1
C
OF
B1
B
焦点弦：长度关系研究
✓ 过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ
的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线，
垂足分别为A1、B1、C1.
2.设椭圆3x2 y2 6与一斜率为 3的直线交于A, B两点,求 AOB面积S的最大值.
1
3 m2 (12 m2 )
S AB d
....... 3,
2
6
3.从椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)上一点M向x轴作垂线, 恰好通
过左焦点F1,且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB // OM .
2.若过焦点的弦长为m，怎样判断这样的弦有多少条？
3.你能把2的结论类比到椭圆、双曲线吗？ 通 径 长2b2
a
6.过双曲线2x2 y2 2 0的右焦点作直线l与双曲线相交
于A, B两点,若 AB 4,则这样的直线有多少条？
3条
三角形面积问题
7.椭圆 x2 y2 1,过点M ( 3,0)的直线l交椭圆于A, B,求 43
线
焦
点F
BB1
//
ox轴
AO连 线 交 准 线l于B1
课本70页例5
B1 l, B C
BB1 // ox轴
直
线AB过
抛
物
线
焦
点F
B1O连 线 交 抛 物 线 于A