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二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子 a （a≥ 0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：
a （a＞ 0 ）
（1）（ a ）2= a （ a ≥0）；（2）a2 a 0 （a =0）；
a（a＜ 0 ）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）
的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab = a · b （a≥0，b≥0）；b b
（b≥0，a>0）．a a
（4）有理数的加法交换律、结合律，
都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例 1 下列各式 1）1
, 2) 5,3)x2 2, 4) 4,5) (
1
)2 ,6) 1 a,7) a2 2a 1 ，5 3
其中是二次根式的是_________（填序号）．例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1
2 3 x ；（2）
(x - 2)
（ 1）
例 3、在根式 1) a2 b2 ;2) x
;3) x2 xy;4) 27abc ，最简二次根式是（）5
A． 1) 2) B．3) 4)
1 C．1) 3) D．1) 4)
y 1 8x8 x 1 , 求代数式x y
2
x y 2的
值。

2 y x y x
例 4 、已知：
例 5 、（ 2009 龙岩）已知数a，b，若( a b)2=b－a，则()
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算
例 1 . 将根号外的a移到根号内，得()
A. ；
B. －
1 ；C.－；D.
例 2 . 把（ a－ b）－化成最简二次根式
a－ b
例 3 、计算：
例 4 、先化简，再求值：
1 1 b ，其中 a= 5 1
，b= 5 1．
a b b a(a b) 2 2
例 5 、如图，实数 a 、 b 在数轴上的位置，化简：a2b2(a b)2
4、比较数值
（ 1 ）、根式变形法
当 a 0,b 0 时，①如果 a b ，则a b ；②如果 a b ，则a b 。

例1、比较3 5与5 3的大小。

（ 2）、平方法
当 a 0,b 0 时，①如果a2b2，则a b；②如果a2b2，则a b。

例 2、比较3 2与23的大小。

（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例 3 、比较 2 与 1 的大小。

3 1 2 1
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例 4、比较
1514
与
1413 的大小。

（ 5）、倒数法
例5、比较76与65的大小。

（6 ）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例 6、比较7 3与87 3的大小。

（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
① a b 0 a b ；②a b 0a b
例 7、比较21
与
2
的大小。

3 1 3
（ 8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0 时，则：
① a
1 a b ；②
a
1a b b b
例8、比较53与23的大小。

5、规律性问题
例 1. 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
验证:.
（1 ）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4
的变形结果，并进行验证；
15
（2 ）针对上述各式反映的规律，写出用n(n ≥2，且 n 是整数 )表示的等式，并给出验证过程 . 例2. 已知，则 a _________
发展：已知，则 a。

例 4 、已知 a>b>0 ， a+b=6 ab ，则 a b
的值为（） A． 2 1
a b 2 2
B．2C．2 D．例 5 、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲：==；
乙：=。

其中，（）。

A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
【基础训练】
252 242 ___
__ （3） 6 12 18 ___ _ ；
1．化简：（
72 __
__
；（ 1
） 2
）
（4） 75 x 3 y 2 ( x 0, y
0) ___
_ ；
（5） 20
4 _______ 。

2。

4 =
2.)
化简
3. 计算
的结果是
Ｃ．-2
Ｄ． 4
Ａ.2
4
Ｂ．± 2
4. 化简：（ 08 ，泰安） 9 的1结果）是
（ ；（ 2）
12 3 的结果是
；
（3）5 28=
（4）） 5 x -2 x =_____ _；
（ 5） 3 ＋（5－ 3 ）=_________；
（6） ；
（ 7）
＝________；（ 8） ．
5．计算
8
2 的结果是
A 、6
B 、
6
C 、2
D 、 2
6．（ 08 ，广州）
3 的倒数是。

7. ( 08 ，聊城
) 下列计算正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
8.
下列运算正确的是
2
D 、
4 2
C 、93
9 3
A 、 1.6 0.4
B 、 1.5 1.5
6
10 . 比较大小：３
10。

11 ．（ 08，嘉兴）使
x 2 有意义的 x 的取值范围是
．
12 .( 08 ，常州
x
5 在)实数若范式围子内有意义 ,则 x 的取值范围是
A.x>-5
B.x<-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
13 . ( 08，黑龙江
中，自)变量函数 的取值范围是 ．
14 .
下列二次根式中， 的取值范围是
x ≥2 的是
x
A 、 2－ x
B 、 x+2
C 、 x － 2
D 、
1
x －2
15 . 08（，荆州）下列根式中属最简二次根式的是
a
2
1
B.
1
2
A.
C. 8
D. 27
16 ．（ 08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是
A ． 10
B ． 8
C ． 6
D ． 2
17 ．（ 08，常德）下列各式中与 是同类二次根式的是
A ． 2
B ．
C ．
D ．
18 ．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
1 1
2 与
1
B ． 18与 27
C ．
2 3与
3
A ．
D ． 45与 54
19 .( 08 ，乐山
)
已知与二次根是式同类二次根式，则的α值可以是
A 、5
B 、6
C 、 7
D 、8
20 ．（ 08，大连）若
x a b , y a
b ，则 xy 的值为
A．2 a B．2 b C．a b D．a b
a2 b ．
21 . 08（，遵义）若a 2b 3 0 ，则
22 ．（ 08，遵义）如图，在数轴上表示实数15 的点可能是
A．点P B．点Q C．点M D．点N
23 .计算：
（1）（2）
（3）（ 08，上海）．（4）（08，庆阳）．
（5）48 1 1227
4
x 2 ÷ 3 x 2 化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。

x 2 x 2x
24.先将
25 .( 08 ，济宁)，若则的取值范围是
A．B．C．D．
表示的数是
26 .( 08 ，济宁
) 如两图点，表数示轴的上数分别为 1 和，点关于点的对称点为点，则点所A．B．C．D．。