数学新设计北师大选修2-1精练：第一章常用逻辑用语1.2Word版含答案

§充分条件与必要条件
课后训练案巩固提升
A组
1. “<o”是“n(x+i)<o”的()
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由ln(x+1)<0 得-1<x< 0,故选B.
答案:B
2. 设集合U={(x,y)|x 匕R ,y€ R },A={(x,y)|2x-y+m> 0}, B={(x,y)|x+y-n < 0},那么点P(2,3)匕[A Q(?u B)]的充要条件是()
A.m>-1,n<5
B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5
D.m<-1,n>5
解析:?U B={( x,y)|x+y-n> 0},
•••点P(2,3)€ [A Q(?u B)], •••(2,3) € A,且(2,3) € ?u B,即 2 X2-3+m> 0,且2+3-n> 0, A m>- 1,n<5.
答案:A
3•已知实系数一元二次方程ax2+bx+c= 0(a旳),下列结论中正确的是()
①A=b 2-4ac> 0是这个方程有实根的充分条件；
②A=b 2-4ac> 0是这个方程有实根的必要条件；
③A=b 2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.
A.③
B.①②
C.①②③
D.②③
解析:A=b2-4ac> 0是实系数一元二次方程ax2+bx+c= 0(a勿)有实根的充要条件.
•••当△=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c= 0(a旳)有两相异实根;
△=b2-4ac=0时，方程有两相等实根，故上述结论均正确.
答案:C
4.下面命题中是真命题的是()
A. x>2,且y>3是x+y> 5的充要条件
B. AQB芳是A? B的充分条件
C. b2-4ac<0是一元二次不等式ax2+bx+c> 0的解集为R的充要条件
D. —个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
解析:对于选项A,x> 2,且y>3? x+y> 5,但x+y> 5未必能推出x> 2,且y> 3,如x= 0,且y= 6满足x+y> 5,但不满足x>2, 故A为假命题.
对于选项B,AQB芳未必能推出A?B,如A={1,2}, B={2,3},故B为假命题.
对于选项C,例如一元二次不等式-2x2+x-1>0的解集为？，但满足b2-4ac<0,故C为假命题.
答案:D
5设数列{a n}是公比为q的等比数列，则0<q< 1 ”是“令}为递减数列”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:数列
｛a
n ｝是公比为q 的等比数列 厕a n = q n 若0<q< 1,当a i <0时,｛a n ｝为递增数列.若｛a n ｝为递减数列
当a i <0时,q> 1(仅对q>0的情况讨论).故选D. 答案:D 6•已知 p:A? B? S,q:(?s B)? (?s A),则 p 是 q 的 条件.
，如图,A? B? S? (?S B)? (?S A),(?S B)?(?S A)? A? B? S.
••• p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件 答案:充要
7._________________________________________ 下列各小题中,p 是q 的充要条件的是 .(填写正确命题的序号)
① p:m<-2或m>6;q:y=x 2+mx+m+ 3有两个不同的零点；
③ p:cos «=cos 6q ：tan o =tan g ④ p:A QB=A;q:?u B?? u A.
解析:若y=x2+mx+m+ 3有两个不同的零点，则m 2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6.反之也成立，故①正确;
对于③，当 a= g = 时,cos a cos g 成立，但tan a =tan g 不成立；
对于④，丁 AQB=A,.・.A?B,?u B?? u A,反之也成立，故④正确. 答案:①④
8. 是否存在实数p,使4x+p<0”是x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围.
P P P
解由 x 2-x-2> 0,得 x>2 或 x<-1.由 4x+p< 0,得 xv-=.要想使当 x<- T 时,x> 2 或 x<-1 成立，必须有-=<-1,即 p >4，所以 P
当 p >4 时，--1? x<-1? x 2-x-2>0,所以当 p >4 时，4x+p<0”是 x 2-x-2>0”的充分条件. 9.
导学号90074004求关于x 的方程x 2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.
+ >0:
解设方程的两根分别为x 1,x 2,则原方程有两个大于1的根的充要条件是((^-1X^-1) >0T
A 二+3 > 0r
(XI +
0,
即
(賀旳4工1
+1 > 0-
又•••X 1+x 2=m,X 1X 2=3m-2,
解析:利用集合的图示法
②
p:
1;q:y=f(x)是奇函数
对于②，函数f(x)=sin x 是奇函数，它不全满足
阳
'= -1,故②不满足
;
:=-
故所求的充要条件为m》6+2
1.设U为全集,A,B是集合，则存在集合C使得A? C,B?? U C”是A Q B=?”的( )
A. 充分不必要的条件
B. 必要不充分的条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件
如图可知，存在集合C,使A?C,B??u C，则有AQB=?.若A Q B=?,显然存在集合 C.满足A?C,B??u C.故选C.
答案:C
2. 已知a,b 是实数，则|a+b|=|a|+|b| ”是ab> 0” 的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：因为|a+b|=|a|+|b|，等价于a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b 2,等价于|ab|=ab ,等价于ab> 0.而由ab> 0不能推出ab>0; 由ab>0能推出ab>0.即由|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0;由ab>0能推出|a+b|=|a|+|b|.故选B.
答案:B
3. 函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x= 1对称的充要条件是()
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
解析:当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图像关于直线x= 1对称，反之也成立，所以函数f(x)=x2+mx+ 1的图像关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
答案:A
4. 设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件，则s是p的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由题可知，p? •二q?寻r? s,则p? s,s ■- p,故s是p的必要不充分条件.
答案:B
2
5. 方程ax+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()
A.0<a < 1
B.a< 1
C.a< 1
D.0<a < 1 或a<0
1
解析:(1)当a=0时,原方程变形为一元一次方程，其根为x=-l,符合要求;(2)当a旳时，原方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式0,即4-4a》0,从而a W1.又设方程a*+2x+1=0的根为X1,X2,则由根与系数的关系
2 1
知x1 +x2=- ,x1 X2= ■.
①方程ax2+2x+1 = 0有一个负根的充要条件是
a<
>0? 0<a< 1.
②方程ax2+2x+1 = 0有两个负根的充要条件是综上所
述,ax2+2x+1 = 0至少有一个负根的充要条件是 a < 1.
答案:C
6. 给岀下列命题：
①a>b ”是a2>b2”的充分不必要条件；
②lg a=lg b"是a=b"的必要不充分条件；
③若x,y€ R，则|X|=|y| ”是冷2”的充要条件;
④sin a>sin俨是0> 0'的充分不必要条件.
其中真命题是_________ （填序号）.
解析:①因为a>b推不出a2>b2,a2>b2推不出a>b所以a>b”是a2>b2'的既不充分也不必要条件②lg a=lg b可
推出a=b,但a=b推不出lg a=lg b,如a=b=- 2,所以lg a=lg b"是a=b "的充分不必要条件；易知③正确;④当n 5 —
a= ., 0= : n时,sin a= _ _ = sin 0但a 0所以sin a>sin 0推不出a> 0反之a> 0也推不出sin a> sin 0所以Sin a>sin 0是0> 0的既不充分也不必要条件.
答案:③
7. ----------------------- 导学号90074005设a 0 Y为平面,m,n,l为直线，则对于下列条件：①a丄0aQ0=l,m丄l;②
aQ -=m , a丄0 丫丄0③a丄丫0丄丫m丄a④n丄a n丄0m丄a
其中为m l 0的充分条件的是____________ .（将正确的序号都填上）
解析:①a丄0 aQ 0=1 ,m丄I m丄0
②aQ 7=m , aL 0 y_L 0 m 丄0
③aL Y, 0-L Y? a与0可能相交也可能平行，故仏丄丫0丄％m丄a m丄0
④由n丄a n丄0得all 0又m丄a所以m丄0
答案:②④
8. 已知集合A={）'1"_尹+“€ [4=^1 },B= {x|x+m 2> 1};命题p:x€ A,命题q:x € B,并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围.
3
解化简集合A,由y=x2_x+1.
配方，得y= . -..
II 2\ . Z
-x€•-，…y min= - : ,y max = 2.
y€I" L.A=
化简集合B,由x+m2> 1,
得x> 1-m2,.・. B={x|x> 1 -m2}. •••命题p是命题q的充分条件,.A? B.
2L I I
1-m2< 16,解得m》斗或m w - 4..实数m的取值范围是k r1 +
+2fl2+3flj+.-+™ii
9.
两个数列｛a n ｝和｛b n ｝,满足b n = . (n € N +).证明：｛b n ｝为等差数列
的充要条件是｛a n ｝为等差数 列.
证明必要性：
1
由已知得 a i +2a 2+3a 3+ …+na n =
」(n+1)b n ,①
1
于是有 a i +2a 2+3a 3+ …+(n-1)a n“= ：n(n-1) b n-i (n >2).
②
①-②整理得
1 1
a n =
： (n+1)b n -
； (n-1)b n-i (n >2).
设｛b n ｝的公差为d,由已知得a i =b 1, 所以
111
a n =
1 (n+ 1)[a 1+(n-1)d]-
：(n-1)[a 1+(n-2)d]=
2[(n+ 1)a 1+(n+ 1)(n-1)d-(n-1)a 1-(n-1)(n-2)d]=a 1+(n-1) •
3d
故数列
｛a
n ｝是首项为a 1,公差为
：的等差数列
充分性： 由已知得
：n(n+1)b n =a 1+2a 2+3a 3+ •ma n . (*)
设等差数列｛a n ｝的公差为d,则
a 1+2a 2+3a 3+ ••+na n =a 1+2(a 1+d )+3(a 1+2d)+ …+n [a 1+ (n-1)d] 2 2 2
=a 1(1 +2+3+ …+n)+d(2 -2+3 -3+ …+n -n)
=a 1 •
2
再结合(*)式得b n =a 什
：(n-1)d.故数列｛b n ｝是以a 1为首项，以
综上，｛b n ｝为等差数列的充要条件是｛ a n ｝为等差数列.
=a 1 •
-+d
2
:d 为公差的等差数列。