高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 苏教版必修4
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1.
tan75°-tan15°
1+tan75°tan15°
=__________.
解析:原式=tan(75°-15°)=tan60°= 3.
答案: 3
2.tan75°+tan15°=__________.
解析:tan75°+tan15°=tan(45°+30°)+tan(45°-30°)
=
tan45°+tan30°
1-tan45°tan30°
+
tan45°-tan30°
1+tan45°tan30°
=
1+
3
3
1-1×
3
3
+
1-
3
3
1+1×
3
3
=(2+3)+(2-3)=4.
答案:4
3.
1-tan15°
1+tan15°
的值为__________.
解析:原式=
tan45°-tan15°
1+tan45°tan15°
=tan(45°-15°)=tan30°=
3
3
.
答案:
3
3
4.tan18°+tan42°+3tan18°tan42°=__________.
解析:tan60°=tan(18°+42°)=
tan18°+tan42°
1-tan18°tan42°
,
所以tan18°+tan42°=tan60°(1-tan18°tan42°),
tan18°+tan42°+3tan18°tan42°
=tan60°(1-tan18°tan42°)+3tan18°tan42°= 3.
答案: 3
一、填空题
1.已知tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则tanα·tanβ等于__________.解析:tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
,∴4=
2
1-x
,x=
1
2
.
答案:
1
2
2.在△ABC中,tan A+tan B+3=3tan A tan B,则C等于__________.
解析:A+B+C=π,tan(A+B)=
tan A+tan B
1-tan A·tan B
=
3tan A tan B-1
1-tan A tan B
=-3,∴tan C =3,C=
π
3
.
答案:
π
3
3.化简
tanα+β-tanα-tanβ
tanαtanα+β
的结果为__________.
解析:原式=tan α+β-tan α+tan βtan α·tan α+β =tan α+β-1-tan αtan β·tan α+βtan α·tan α+β
=tan β. 答案:tan β
4.设tan(α+β)=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α+π4的值是__________. 解析:∵α+π4=(α+β)-⎝
⎛⎭⎪⎫β-π4. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=25-141+25×14=3202220
=322. 答案:322
5.已知tan(α+β)=7,tan α=34
,且β∈(0,π),则β的值为__________. 解析:tan β=tan[(α+β)-α]=tan α+β-tan α1+tan α+βtan α=7-341+7×34
=1,又β∈(0,π),所以β=π4
. 答案:π4
6.若tan A tan B =tan A +tan B +1,则cos(A +B )=________.
解析:由tan A ·tan B =tan A +tan B +1,得tan A +tan B 1-tan A tan B
=-1,即tan(A +B )=-1,所以A +B =k π+34π,k ∈Z ,所以cos(A +B )=±22
. 答案:±22
7.已知tan(α+β)=13,tan β=14
,则tan α的值应是________. 解析:tan α=tan[(α+β)-β]=tan α+β-tan β1+tan α+βtan β
=13-141+13×14
=113. 答案:113
8.已知tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4+α=2,则12sin αcos α+cos 2α的值为__________. 解析:由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=1+tan α1-tan α
=2,得tan α=13,所以12sin αcos α+cos 2α=
sin 2α+cos 2α2sin αcos α+cos 2α=tan 2α+11+2tan α=⎝ ⎛⎭⎪⎫132+12×13
+1=23. 答案:23
二、解答题
9.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,求tan2α,tan2β.
解:tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]
=tan α+β+tan α-β1-tan α+βtan α-β=3+51-3×5=-47
, tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]
=tan α+β-tan α-β1+tan α+βtan α-β=3-51+3×5=-18. 10.已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两个根,且α,β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫-π2,π2,求α+β的值.
解:由题意,有⎩⎨⎧ tan α+tan β=-33tan αtan β=4,
tan α<0且tan β<0.又因为α,β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫-π2,π2, 所以α,β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫-π2,0,α+β∈(-π,0). 又因为tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-331-4
= 3. 在(-π,0)内,正切值为3的角只有-2π3
, 所以α+β=-2π3
. 11.已知tan A 与tan ⎝
⎛⎭⎪⎫-A +π4是关于x 的方程x 2+px +q =0的解,若3tan A =2tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4-A ,求p 和q 的值. 解:设t =tan A ,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =1-tan A 1+tan A =1-t 1+t
, 由3tan A =2tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4-A ,得3t =21-t 1+t , 解得t =13
或t =-2. 当t =13时,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =1-t 1+t =12
, p =-⎣⎢⎡⎦
⎥⎤tan A +tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =-56, q =tan A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =13×12=16
; 当t =-2时,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =1-t 1+t
=-3,
p =-⎣⎢⎡⎦
⎥⎤tan A +tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =5, q =tan A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-A =6. 所以p ,q 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ p =-56,q =16
或⎩⎪⎨⎪⎧ p =5,q =6.。