【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第4章第6节正弦定理和余弦定理

第四章 第六节
一、选择题
1．(文)已知△ABC 中，a ＝2、b ＝3、B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30°
[答案] C
[解析] 由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，
sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，
又∵a <b ，∴A <B ，故A ＝45°，选C ．
(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3－1
D ． 3 [答案] B
[解析] 解法1：由正弦定理
a sin A ＝
b sin B 得，3sin π3
＝1sin B
， ∴sin B ＝1
2，故B ＝30°或150°.
由a >b 得A >B ，∴B ＝30°.
故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2，选B ． 解法2：由余弦定理知，3＝c 2＋1－2c cos π3，
即c 2－c －2＝0，∴c ＝2或－1(舍去)．
2．(2014·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )
A ．(2，3)
B ．(1，3)
C ．(2，2)
D ．(0,2)
[答案] A
[解析] 由a sin A ＝b sin B ＝b sin2A ，则b ＝2cos A ．π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3，又B ＝2A <π2
，
所以A <π4，所以有π6<A <π4，22<cos A <3
2
，所以2<b < 3.
3．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )
A ．π
6
B ．π3
C ．5π6
D ．2π3
[答案] B
[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ＝ab －b 2， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，
∵0<C <π，∴C ＝π
3
.
(理)(2013·浙江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sin B sin C ＝0，则tan A 的值是( )
A ．
3
3
B ．－
33 C ．3 D ．－ 3
[答案] D
[解析] 依题意及正弦定理可得，b 2
＋c 2
－a 2
＝－bc ，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＝
－bc 2bc ＝－12，又0<A <π，所以A ＝2π3，tan A ＝tan 2π
3
＝－3，选D ． 4．(文)(2013·合肥二检)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c
b <cos A ，则
△ABC 为( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
[答案] A
[解析] 依题意得sin C
sin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋
cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A ．
(理)(2014·东北三省三校二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
c －b
c －a ＝
sin A
sin C ＋sin B
，则B ＝( )
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．3π4
[答案] C [解析] ∵
c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a
c ＋b
，∴c 2－b 2＝ac －a 2，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴2ac cos B ＝ac ，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3
.
5．(文)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )
A ．4
B ．1
C ．3
D ．2
[答案] C
[解析] 据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝1
2
×2×23×sin30°＝ 3.
(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )
A ．1＋3
B ．3＋ 3
C ．3＋3
3
D ．2＋ 3 [答案] C
[解析] 12ac sin B ＝1
2，∴ac ＝2，
又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋3
3
.
6．(2014·辽宁沈阳二中期中)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin B cos C ＋c sin B ·cos A ＝12
b ，且a >b ，则∠B ＝( )
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
[答案] A
[解析] 因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2
b ，
所以sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝1
2
sin B ，
即sin(A ＋C )＝12，a >b ，所以A ＋C ＝5π6，B ＝π
6，故选A ．
二、填空题
7．(2014·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 2
3＝1上，则sin A ＋sin C sin B
的值为________．
[答案] 2
[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA
AC
＝2.
8．(2014·江西四校联考)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π
3
，a ＝2b ，则b 的值为________．
[答案]
3
[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π
3，解
得b 2＝3，∴b ＝ 3.
9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b ＝5，B ＝π
4，tan C ＝2，
则c ＝________.
[答案] 2 2
[解析]
⎭
⎪⎬⎪⎫
sin 2C ＋cos 2C ＝1tan C ＝2⇒sin C
cos C ＝2
⇒sin 2C ＝45⇒sin C ＝255.由正弦定理，得b sin B ＝c
sin C ，∴c ＝sin C
sin B
×b ＝2 2. 三、解答题
10．(2014·陕西理)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a 、b 、c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a 、b 、c 成等比数列，求cos B 的最小值. [解析] (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ， 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．
(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．
∴cos B 的最小值为1
2
.
一、选择题
11．(文)(2013·东北三省四市二联)若满足条件AB ＝3，C ＝π
3的三角形ABC 有两个，则边
长BC 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(2，2)
[答案] C
[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝AB
sin C
＝2，故BC ＝2sin A ，
所以3<BC <2，故选C ．
解法二：由条件知，BC sin π
3
<3<BC ，∴3<BC <2.
(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )
A ．⎝⎛⎭⎫0，π4
B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2
C ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4
D ．⎝⎛⎭⎫π4，π3
[答案] A
[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2， ∴sin A <
2
2
， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π
4
.
12．(2014·长春市调研)△ABC 各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋c
a ＋
b ≥1，则角
A 的取值范围是( )
A ．(0，π
3]
B ．(0，π
6]
C ．[π
3，π)
D ．[π
6
，π)
[答案] A
[解析] 由b a ＋c ＋c
a ＋
b ≥1得：b (a ＋b )＋
c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得：b 2＋c 2－a 2≥bc ，
同除以2bc 得，b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12，因为0<A <π，所以0<A ≤π
3
，故选A ．
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不可能．．．
是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形
[答案] D
[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，可得A ＝π6，又由b ＝3a 可得b a ＝sin B
sin A ＝2sin B ＝3，
可得sin B ＝
32，得B ＝π3或B ＝2π3，若B ＝π3，则△ABC 为直角三角形；若B ＝2π3，C ＝π
6
＝A ，则△ABC 为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC 不可能为锐角三角形，故应选D ．
14．(2014·大城一中月考)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →
|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )
A ．21
B ．3214
C ．
21
2
D ．321
[答案] B
[解析] 设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC →·AB →＝|AC →－AB →
|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积
S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为321
4
. 二、填空题
15．(文)(2014·河南名校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．
[答案] 43
[解析] ∵(a ＋b )2－c 2＝4，∴a 2＋b 2－c 2＝4－2ab ＝2ab cos60°，∴ab ＝4
3
.
(理)(2014·衡水中学5月模拟)在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →
＝0，则△ABC 的形状为________．
[答案] 等边三角形
[解析] ∵cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，∴(a －c )P A →＋bPB →＋cPC →＝0，∵P 为BC 的中点，∴PB →
＝
－PC →，∴(a －c )P A →＋(b －c )PB →＝0，∵P A →与PB →
不共线，∴a －c ＝0，b －c ＝0，
∴a ＝b ＝c .
16．(文)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋b
c ＋a ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴
a b ＋c ＋b
a ＋c
＝1. (理)(2014·吉林九校联合体联考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为4
3，则AC
＋BC ＝________.
[答案]
11
[解析] 由条件12×3×43＝1
2AC ·BC ·sin60°，
∴AC ·BC ＝8
3
，
由余弦定理知AC 2＋BC 2－3＝2AC ·BC ·cos60°， ∴AC 2＋BC 2＝3＋AC ·BC ，
∴(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝3＋3AC ·BC ＝11，∴AC ＋BC ＝11. 三、解答题
17．(文)(2014·安徽理)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ．
(1)求a 的值； (2)求sin(A ＋π
4)的值．
[解析] (1)因为A ＝2B ， 所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2
2ac ，
因为b ＝3，c ＝1， 所以a 2＝12，a ＝2 3.
(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1
3，
由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝
1－19＝22
3
，
故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π
4
＝
223×22＋(－13)×22＝4－26
. (理)(2014·浙江理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B ．
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ＝4
5
，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得． 12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －3
2sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －3
2sin2B ， 即sin(－π6＋2A )＝sin(－π
6
＋2B )，
∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π
6＋2B ＝π，
即A ＝B 或A ＋B ＝2π3
，
∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π
3.
(2)由(1)知sin C ＝
32，cos C ＝12
， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋4
10
由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C ，
又∵c ＝3，sin A ＝45.∴a ＝8
5.
∴S △ABC ＝1
2ac sin B ＝18＋8325
.
18．(文)(2014·广东五校协作体第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 是△ABC 的面积．
若a ＝(2cos B,1)，b ＝(－1,1)，且a ∥b . (1)求tan B ＋sin B ；
(2)若a ＝8，S ＝83，求tan A 的值．
[解析] (1)∵a ∥b ，∴2cos B ＝－1，cos B ＝－1
2
.
∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π
3，
∴tan B ＋sin B ＝－3＋
32＝－32
. (2)S ＝1
2
ac sin B ＝23c ＝83，∴c ＝4.
方法一：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝112， ∴b ＝47.
再由余弦定理得cos A ＝27
7.
∵A 为锐角，∴tan A ＝
32
. 方法二：由正弦定理得sin A ＝2sin C ． ∵B ＝2π3，∴A ＋C ＝π3，∴C ＝π
3
－A ．
∴sin A ＝2sin(π
3－A )，即sin A ＝3cos A －sin A ．
∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝
32
. (理)(2014·福建莆田一中月考)已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b . (1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；
(2)记f (x )的最大值为M ，a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f (A 2)
＝M ，且a ＝2，求bc 的最大值．
[解析] (1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π
6)＋1，
所以f (x )＝2sin(2x ＋π
6)＋1.
又T ＝2πω＝2π
2
＝π，
所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)易得M ＝3，
于是由f (A 2)＝M ＝3，即2sin(A ＋π6)＋1＝3，得sin(A ＋π
6)＝1，
因为A 为三角形的内角，故A ＝π
3
.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，解得bc ≤4，当且仅当
b＝c＝2时，bc取最大值4.。