【数学】福建省龙海市第二中学高三下学期第二次模拟考试(理)

福建省龙海市第二中学 高三下学期第二次模拟考试
(满分150分, 考试时间120分钟)
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1．复数z 满足1)43(=-⋅i z （i 是虚数单位），则|z|= ( )
A ．
25
1
B ．
25
5
C ．
5
1
D ．
5
5 2. 已知函数122+--=
x x y 的定义域为集合，集合{}Z n n x x B ∈-==,12，
则为（ ）
A.{
}3,1 B. {}3,1,1,3--
C. {}3,1,1-
D.{}1,1,3--
3. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等。

问各得几何。

”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。

问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为_ __钱。

A.
54 B. 43 C.32 D.53
4．已知非零向量b a ,的夹角为
30，且,3,1=
=b a 则=-b a 2（ ）
A.32-
B.1
C.2
D.2 5. 已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0
x －2≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值与最小
值之差为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．执行如图所示的程序框图，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为（ ） A ．(11,12)
B ．(12,13)
C ．(13,14)
D ．(13,12)
A A
B ⋂
7．函数x e x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．10+ B ．10+ C ．6+2+
D ．6++
9．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若4=AF ，则=p （ ）
A.4
B.2
C.1
D.3
10．已知)),0(,0,0(),cos()(πϕωϕω∈>>-=A x A x f ，)(x f 的导函数．．．)(x f '的部分图
象如图所示，则下列对)(x f 的说法正确的是（ ）
A.最大值为2且关于点)0,2
(π
-中心对称
B.最小值为2-且在]2
3,2[
π
π上单调递减 C.最大值为4且关于直线2
π
-=x 对称
D.最小值为4-且在]2
3,
0[π
上的值域为]4,0[
11．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的
某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
2
B ．7
C
D ．12．已知R λ∈，函数1,0,
()lg ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨
>⎩2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为 （ ）
A ．2
(0,
)3
B ．12
(
,)23
C ．21
(,
)52
D ．2(0,)5
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知随机变量2(1,2)N ξ，且(13)0.7P ξ-≤≤=，则(1)P ξ≤-=__________.
14. 在2
3
1()n
x x -
的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 ． 15．在四面体ABCD 中，6,4,5AB CD AC BD AD BC ======，则四面体ABCD 的
外接球的表面积等于 ．
16. 设函数()21f x x =，()222()f x x x =-， 记1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+-+
9998|()()|k k f a f a +-，其中99
i i
a =
，(0,1,2,,99i =)，1,2k =，则=-219S S ____.
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12 分）
在ABC △中，角C ,B ,A 的对边分别为c ,b ,a ，且,,a b c 成等比数列，5sin 13
B =. （Ⅰ）求
11
tan tan A C
+的值； （Ⅱ）若12BA BC ⋅=，求a c +的值.
18. （本小题满分12 分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，
AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD BC = ，
PA ⊥平面ABCD .
（Ⅰ）设E 为线段PA 的中点，求证：BE //平面PCD ； （Ⅱ）若PA AD DC ==，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
19．（本题满分12分）
为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；
（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
20．（本题满分12分）
设P 为椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4，
离心率为
2
3. (Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)直线l :()0y kx m m =+≠与椭圆交于P 、Q 两点，试问参数k 和m 满足什么条件时，直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列；
(III)求OPQ ∆面积的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知函数ax a x x f ln )()(-=，2
1
()()1g x x a x a
=-++（R ∈a ，1a >）． （Ⅰ）若函数)(x f 在a x =处的切线l 斜率为2，求l 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数a ,使得当1(,)x a a
∈时, ()()f x g x >恒成立.若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.
请考生在第（22），（23）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方程
为1cos 2sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()2+=x x f ．
（Ⅰ）解不等式()14+->x x f ；
（Ⅱ）已知()0,02>>=+b a b a ，求证：()b
a x f x 1425+≤--．
参考答案
一、选择题
1—5:CBBBC 6—10：ADCBD 11—12：AD
二、13. 0.15 14 . 5 15.
2
774.2S R ππ== 16. 121911
S S -= 解析:
16. 解析：当1k =时，()21f x x =在[0,)+∞单调递增，所以1011199()()()f a f a f a <<<
所以1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+-+
9998|()()|k k f a f a +-
11101211199198()()()()()()f a f a f a f a f a f a =-+-++-
19910()()f a f a =-11(1)(0)1f f =-=
当2k =时，()222()f x x x =-在1[0,]2单调递增，在1[,)2
+∞单调递减 所以2021249250251299()()()()()()f a f a f a f a f a f a <<
<=>>>
所以1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+-+9998|()()|k k f a f a +- 21202221249248()()()()()()f a f a f a f a f a f a =-+-+
+-++
250251251252298299()()()()()()f a f a f a f a f a f a -+-+
+-
24920250299()()()()f a f a f a f a =-+- 2492()f a =
所以1224912()S S f a -=-2222
495099981001
14999999
⨯-⨯=-⨯==
所以1
11
=
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以2
b a
c =----------------------------1分 由正弦定理可得2sin sin sin A C B =-----------------------------2分 所以
11cos cos tan tan sin sin A C
A C A C
+=+-----------------------------3分 sin cos cos sin sin sin C A C A
A C
+=
sin()
sin sin A C A C
+=--------------------------------4分
sin sin sin B
A C
=--------------------------------5分
113
sin 5
B =
=--------------------------------6分 （Ⅱ）由12BA BC ⋅=得cos 12ac B =知cos 0B >----------------------7分 由5sin 13B =
得12cos 13
B =---------------------------------------8分 所以2
12
13cos b ac B
==
=---------------------------------------9分 由余弦定理得2
2
2
2cos b a c ac B =+-
得22
()22cos b a c ac ac B =+----------------------------------10分 即2
12
13(
)213(1
)13
a c =+-⨯⨯+
--------------------------------11分 解得37a c +=----------------------------------------------12分 18. （本题满分12分） （Ⅰ）证明：设线段的中点为， 连接
，
. 在△中，为中位线，故. 又平面
，
平面，所以
平面
.
在底面直角梯形
中， ，且
，故四边形为平行四边形， 即.又平面，平面，所以
平面
.
又因为平面，平面，且
，所以平面
平面
.
又
平面
，所以有
平面
. ……………6分
（Ⅱ）如右图所示，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 设
，则
，
，，
.
，
，
，
，
设是平面的法向量，则，，
可取，同理，设是平面的法向量，则
，可取
，从而. …12分
19. （本题满分12分）
（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有
2615
C =种不同选择.
（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数X 服从二项分布
()
9,0.2B ，所以分布列为
所以X 的数序期望
()90.2 1.8
E X =⨯=.
20．（本题满分12分）
(Ⅰ)2a ＝4，a ＝2，c ＝ae ＝3，b ＝1，所以椭圆方程：14
22
=+y x ......3分 （Ⅱ）设点()11,y x P ，()22,y x Q ，则
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
2
2y x m kx y ，消y ,得()
044814222=-+++m kmx x k ，
因为直线与椭圆交于不同的两点，所以0)14)(1(16642
222>+--=∆k m m k ，.....5分
解得2
2
14m k >+，由韦达定理得，1
482
21+-=+k km
x x ，14442221+-=k m x x ....6分 由题意知，OQ OP k k k •=2，
即2
1221212
2122121221212
)()(x x m x x x x km k x x m x x km x x k x x y y k +
++=+++==， 所以0)(2
122121=++x x m x x x x km ，即41
2=k ，所以202<<m ................9分
(III)设点O 到直线PQ 的距离为d ，则2
1k
m d +=
，
()
()
2
2
12
21y y x x PQ -+-=
=2
1k +2
41k +∆=
2
222
4k
14114+-++
m k k ，.....10分
所以222
1
m m d PQ S OPQ -==∆，则()
2222m m S OPQ -=∆，...11分 所以()
(]1,02222∈-=∆m m S
OPQ
，
所以OPQ ∆面积的取值范围是
(]1,0....................12分
21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()ln()1a
f x ax x
'=-
+，()2f a '=，……………………………2分 所以2
ln 2a =，解得a e =或a e =-（舍去）. ………………………………………3分 因为()()ln f x x e ex =-，所以()0f e =，切点为(),0e ， 所以l 的方程为22y x e =-.………………………5分
（Ⅱ）由()()f x g x >得，2
1
()ln ()1x a ax x a x a ->-++，1()ln ()()x a ax x a x a
->--，
又1(,)x a a
∈，所以1ln ax x a
<-
，1
ln 0ax x a -+<.…………………………2分
令1()ln h x ax x a =-+（1(,)x a a ∈），则11()1x
h x x x
-'=-=，
所以，当1
1x a
<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；
当1x a <<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以当1x =时，函数()h x 取得最大值()1
1ln 1h a a
=+-.…………………………9分 故只需1
ln 10a a +
-<（*）. 令1()ln 1x x x ϕ=+-（1x >），则22111
()x x x x x
ϕ-'=-=，
所以当1x >时，()0x ϕ'>，()g x 单调递增，所以()()10x ϕϕ>=.…………11分 故不等式（*）无解.
综上述，不存在实数a ,使得当1
(,)x a a
∈时, ()()f x g x >恒成立. …………12分 请考生在第（22），（23），二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：
22
1416
x y += 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为：tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为：1x =…………5分 （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=①
因为曲线C 截直线l 所得线段中点(1,2)在C 内，所以①有两解1t ，2t ，则120t t += 又1224(2cos sin )13cos t t ααα
++=+故2cos sin 0αα+= 于是直线l 的斜率tan 2k α==-.…………10分
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）()14+->x x f ，即为412>+++x x ， 该不等式等价于如下不等式组：
1）274122-<⇒⎩⎨⎧>-----<x x x x ，2）∅<⇒⎩
⎨⎧>--+-<≤-x x x x 41212， 3）214
121>⇒⎩⎨⎧>+++-≥x x x x ， 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧
>-
<2127x x x 或…………5分 （Ⅱ）由()2
922525≤+--=--x x x f x ， 而()()29452141421142114=+≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+b a a b b a b a b a ， 所以()b a x f x 1425+≤--
.…………10分。