温州中学自主招生综合素质测试数学试题

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温州中学自主招生模拟考试数学试卷

增加，而 SY+SW 在减少 (注意 X、 Y、Z、W 的面积之和是定值 πｒ2).因而，比值 SX SZ 增 SY SW
加.于是，当点 A 与点 C 重合时，它才有可能取到最大值 .
在图 7(c) 中， Rt△ ABD 的斜边 BD 是直径，则△ ABD 在 OA 为高时面积最大，此时， SZ 最
边长的三角形，求 k 的取值范围
数学答题卷第 2 页共 4 页
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18. （本题满分 15 分）设 1≤ａ1<a2<… <an≤ 21是 n 个任意的整数 .若其中总有 4 个不同的数 a 数 ai、 aj、ak、 am 满足 ai+am=aj+ak(1 ≤ i<j<k<m ≤，n则) 称数组 (a1， a2， …， an) 的阶数 n 为 “好数 ”． (1)n=7 是否为好数 ?说明理由 ; (2)n=8 是否为好数 ?说明理由 .
)
A
B
C
D E 数学试卷第 1 页，共 2 页 ,
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A.18 °
B.21
二. 填空题（本大题共 6 小题，每题 6 分，满分 36 分。）
9. 已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 b2 4ac b 2ac ，则 b 2 4ac 的最小值为
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卷三：温州中学自主招生模拟考试数学答案
一. 选择题（每题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
答案 C
C
D
C
A
二. 填空题（每题 6 分。共 36 分）
9._______4_______; 10.
______2 √６______;

温州中学自主招生模拟数学试卷[1]

温州中学自主招生模拟数学试卷[1]温州中学自主招生模拟数学试卷候选人须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

2.共有2个问题，4个答案。

请把所有答案填在答题纸上。

一、多项选择题：这道主题共有10个子题，每个子题得5分，满分50分。

1.已知y?1222x?y?12x?16x?3y且，则的最小值为（）2719a。

2b。

3c。

7天。

一2.已知抛物线在x轴下方有一个交点（x，y），则抛物线与x轴有（）个交点a.0个b.1个c.2个d.无法判断3.如图所示，ab‖EF‖CD，已知AC+BD=240，BC=100，EC+ed=192，然后CF=（）a.100b 120c。

80天。

已知实数x和y满足a.5b 424424？？3，y？Y3.y、那么424xx1的值是多少？137? 13c。

d、 7225。

有两个同心圆。

大圆上有四个不同的点，小圆上有两个不同的点。

这六个点可以确定的不同直线至少是（）a.6条b.8条c.10条d.12条6.一所学校有3125名学生。

在一项活动中，所有学生被安排成N行等腰梯形阵列学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）a、 296b、221c、225d、6417.设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：633X（y？x）？6x（z？x）？6y？十、十、z、那么代数公式X3？Yz3？3xyz的值为（）a、 0b，1C，3D，没有足够的条件来计算8.数列x1,x2,?,x100满足下列条件：对于k＝1,2，…，100，xk比其余99个数的和小k已知x50?m，m，n是互质的正整数，则m＋n等于（）n3a、50b、100c、165d、1739.把方程x放进去？3[x]？4.0的实解（[x]代表不超过x的最大整数）从小到大排列x1,x2,,xk，则x13?x23??xk3?（）a、 8b。

12c。

16天。

二十10.如图，四边形abcd中ab?bc?cd,?abc?78,?bcd?162。

浙江省温州市自主招生数学试卷

浙江省温州市自主招生数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共20.0分）1. 实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图，则必有（） A. a b <0 B. ab >0 C. a −|b|>0 D. a +b >02. 无论m 为何实数，直线y =2x +m 与直线y =-x +3的交点都不可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. 如果外切的两圆⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和4，那么半径为6，与⊙O 1和⊙O 2都相切的圆有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个5. 如图，从A 点沿线段走到B 点，要求每一步都是向右或向上，则走法共有（）A. 9种B. 16种C. 20种D. 25种二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6. 反比例函数y =3x ，当y ≤3时，x 的取值范围是______ ．7. 圆的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，则两弦AB ，CD 的距离是______ ．8. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为______．9. 对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种数的运算：∣∣∣a b cd∣∣∣=ad -bc ，那么当∣∣∣24−3x ∣∣∣=10时，x = ______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）10. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：AD =BD ；（2）求证：DF是⊙O的切线；，求DE的长．（3）若⊙O的半径为3，sin∠F=3511.如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．12.小亮早晨从家里出发匀速步行去上学，小亮的妈妈在小亮出发后10分钟，发现小亮的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上学的路线追赶小亮，结果与小亮同时到达学校．已知小亮在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA-AB 所示．（1）试求折线段OA-AB所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段AB的实际意义；（3）请在所给的图中画出小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）13.已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE 交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）答案和解析1.【答案】A【解析】解：由数轴可得出：1＞a＞0，-1＜b，A、＜0，正确；B、ab＜0，故此选项错误；C、a-|b|＜0，故此选项错误；D、a+b＜0，故此选项错误；故选：A．利用数轴分别得出1＞a＞0，-1＜b，进而分析各选项得出即可．此题主要考查了实数与数轴，得出a，b的取值范围是解题关键．2.【答案】C【解析】解：由于直线y=-x+3的图象不经过第三象限．因此无论m取何值，直线y=2x+m与直线y=-x+3的交点不可能在第三象限．故选C．直线y=-x+3经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=2x+m 与直线y=-x+3的交点不可能在第三象限．本题考查了两条直线相交的问题，需注意应找到完整的函数，进而找到它不经过的象限，那么交点就一定不在那个象限．3.【答案】A【解析】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x=-1时图象在x轴上，则y=a-b+c=0，即a+c=b，所以②不正确；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；x=-=1，则a=-b，而a-b+c=0，则-b-b+c=0，2c=3b，所以④不正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=-1时图象在x轴上得到y=a-b+c=0，即a+c=b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=-=1得到a=-b，而a-b+c＜0，则-b-b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=-，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．4.【答案】B【解析】解：如图所示：和⊙O1和⊙O2都外切的圆，可以画两个，和⊙O1内切，⊙O2外切的圆可以画一个，和⊙O2内切，⊙O1外切的圆可以画一个，和⊙O1，⊙O2都内切的圆可以画一个，共5个，故选B．所求圆与已知圆相切，分为内切和外切两种，根据本题情况，画出图形，求出所有可能的个数．本题考查了相切两圆的性质，勾股定理的逆定理，分类讨论思想是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：从A到A右边一个点的走法数量为1+3+6=10种；从A到A上边一个点的走法数量为1+3+6=10种；故共有10+10=20种不同的走法．故选C．从A→B点的走法数量，等于从A到A右边一个点的走法数量+从A到A上边一个点的走法数量．本题考查了加法原理，解题的关键是按照题目的要求，渐次地寻找到达每一个点的不同走法的种数，并在相应的位置上记录下来．6.【答案】x≥1或x＜0【解析】解：由图象可以看出y≤3所对应的自变量的取值为x≥1或x＜0．故答案为x≥1或x＜0．画出相应函数图象，找到直线y=3下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．考查反比例函数的性质；利用数形结合的思想解决问题是解决本题的突破点．7.【答案】7cm或17cm【解析】解：第一种情况：两弦在圆心的同侧时，已知CD=10cm，∴由垂径定理得DE=5．∵OD=13，∴利用勾股定理可得：OE=12．同理可求OF=5，∴EF=7．第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．故答案为：7cm或17cm．此题可以分两种情况，即两弦在圆心的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题时要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，不要漏解．8.【答案】727【解析】解：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，所以概率为：．至少两辆车向左转，则要将两辆车向左转和三辆车向向左转的概率相加．或用1减去一辆车或没车向左转的概率．本题考查的是概率的公式，本题易错，要仔细分析可能出现的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】-1【解析】解：由题意得，2x+12=10，解得x=-1．故答案为：-1．先根据：=ad-bc得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．本题考查的是解一元一次方程，根据题意得出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．10.【答案】（1）证明：如图，连接CD，（1分）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB．（2分）∵AC=BC，∴AD=BD．（3分）（2）证明：连接OD，（4分）∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°，∴∠ADE=∠DCO．∵OC=OD，∴∠DCO=∠CDO．∴∠CDO=∠ADE．由（1）得∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDO+∠CDE=90°．（5分）即∠ODF=90°．∴DF是⊙O的切线．（6分）（3）解：在Rt△DOF中，∵sin∠F=35=3OF，∴OF=5．（7分）∵OC=3，∴CF=5-3=2．由（2）得∠DEA=∠ODF=90°，∴OD∥AC．∴△CEF∽△ODF．（9分）∴EF DF =CFOF．（10分）即4−DE4=25．∴DE=125．（11分）【解析】（1）连接CD，由圆周角定理易得CD⊥AB，又有AC=BC，故AD=BD．（2）连接OD，根据三角形中角的互余关系可得∠ODF=90°，故DF是⊙O的切线．（3）根据三角函数的定义，可得sin∠F=，进而可得CF=5-3=2，再根据比例的关系，代入数据可得答案．本题考查切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．11.【答案】解：连接AC，过D作AC的平行线交BC的延长线于E，取BE的中点F，连接AF，则AF即为所引水渠，连接AE，∵DE∥AC，∴S△CDE=S△ADE，∴S△CEG=S△ADG，∴S四边形ABCD=S△ABE，∵F是BE的中点，∴S△ABF=S四边形AFCD．【解析】连接AC，过D作AC的平行线交BC的延长线于E，取BE的中点F，连接AF，则AF即为所引水渠，再连接AE，得出S△CEG=S△ADG，再由F是BE的中点，即可得出结论．本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，构造出面积相等的三角形是解答此题的关键．12.【答案】解：（1）设线段OA所在直线的解析式为y=kx，．将x=12，y=1代入得：12k=1，解得：k=112t（0≤t≤12）线段OA对应的函数关系式为：s=112线段AB对应的函数关系式为：s=1（12＜t≤20）．（2）图中线段AB的实际意义是：小亮出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟．（3）小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象如图中折线段CD-DB所示．根据题意可知：小亮从家到学校用时20分钟，妈妈用时10分钟，故妈妈的速度是小亮的2倍，故此妈妈从C到D妈妈用时6分钟中，从D到B用时4分钟．故此可画出函数图象．【解析】（1）设线段OA所在直线的解析式为y=kx，将x=12，y=1代入可求得OA的解析式；（2）小亮距离家的距离不变，且没有停止运动，故小亮在以家为圆心，半径为1千米的圆弧上运动；（3）根据题意可知：妈妈的速度是小亮的2倍，故此可求得点D，B的坐标从而画出图象．本题主要考查的是一次函数的应用，根据题意得出得出线段AB的实际意义以及妈妈的速度是小亮的2倍是解题的关键．13.【答案】解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴AP CD =ABPD，即：AP2=25−AP解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴AP DQ =ABPD，即：x2+y=25−x，∴y=−12x2+52x−2（1＜x＜4）．②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴CE PD =CQDQ，1 5−x =yy+2或15+x=yy−2，∵y=−12x2+52x−2，解得：AP=2或3−√5（舍去）．【解析】（1）当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长．（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y 的函数关系式．②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ 相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可．本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键．第11页，共11页。

温州中学自主招生模拟试题数学

温州中学自主招生模拟试题数学试卷（120分）一试一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分。

1. 设0a b >>, 那么21()a b a b +-的最小值是（）A.2B.3C.4D.52. 已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5Sx x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S2。

其中正确的说法是（）A .①②B .①③C . ②④ D.③④3. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则ba aab b+的值为（）A.23B.23-C.2-D.13- 4. 如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和3=+x y x ，那么x+y 等于（）A.3B.13C.2131-D.134-5. 如果对于不小于8的自然数n ，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k 完全平方数的和，那么k 的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.46. 已知24b ac -是一元二次方程20ax bx c ++= (a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（）A.18ab ≥B.18ab ≤C.14ab ≥D.14ab ≤7. 在四边形ABCD 中，边AB=x ，BC=CD=4, DA=5,它的对角线AC=y ，其中x,y 都是整数，∠BAC=∠DAC,那么，x=( )A.4B.5C.4或5D.非以上答案8. 设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是( ).A.3;B.7;C.12;D.17. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

9. 在边长为2的正方形A B C D 的四边上分别取点E 、F 、G 、H .四边形E F G H 四边的平方和2222EF FG GH HE +++最小时其面积为_____.10. 已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是．11. △ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．12. 关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为． 13. n 个正整数12na a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12na a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．则 n 的最大值为___________.14. 如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，A EA D= ．温州中学自主招生模拟试题数学答题卷（120分）一试一.选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分。

2022年温州中学自主招生数学模拟试题[1]

温州中学自主招生摹拟考试数学试题时间：120分钟满分：120分卷 Ⅰ一、选择题（每小题5分，共40分，请把答案填在卷Ⅱ相应的位置上）1、已知a b c 、、都是实数，并且a b c >>，那末下列式子中正确的是（ ▲ ）（A）ab bc > （B）a b b c +>+ （C）a b b c ->- （D）a bc c>2、满足20223+++=x x y 的正整数数对（x，y）（ ▲ ）（A）惟独一对（B）恰有两对（C）至少有三对（D）不存在3、已知1231235x x x y y y ，，的平均数为，，，的平均数为7，则112223 23 x y x y ++，， 3323x y +的平均数为（ ▲ ）（A）31 （B）313 （C）935（D）174、已知函数5y x =-，令x ＝21、1、23、2、25、3、27、4、29、5，可得函数图象上的十个点．在这十个点中随机取两个点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ▲ ）（A）91 （B）454 （C）457 （D）525、已知函数()c f x b x a =+-（c ≠0）的对称中心为(a ，b )，则函数42()3x f x x +=-的对称中心为（ ▲ ）(A)(2,4) (B)(3，4) (C)(2,3) (D)(3,2) 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ▲ ）（A）32 (B）2（C）3(D）47、已知＜cosA＜sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ▲ ）（A）60°＜A＜80° （B）30°＜A＜80° （C）10°＜A＜60 （D）10°＜A＜30°8、有 4 张牌,每张牌的一面都写上一个英文字母, 另一面都写上一个数字.规定:当牌的一面为字母R 时, 它的另一面必须写数字2. 你的任务是:为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法, 你翻看哪几张牌就够了？你的选择是( ▲ ) . （A）(a) （B）(a) 、(c) （C）(a) 、(d) （D）非以上答案二、填空题（每小题5分，共30分，请把答案填在卷Ⅱ相应的位置上） 9、关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ．10、一厂家有一批长为40㎝、宽为30㎝的矩形红布，现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子，则红布可以拼成三角形旗子的种数是_____▲_____． 11、已知|y|≤1且2x+y=1，则2x 2+16x+3y 2的最小值为_____▲_____cm 2． 12、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是 ▲ ．13、在直径为4cm的⊙O中，长度为32cm的弦BC 所对的圆周角的度数为 ▲ .14、如图，在△ABC 中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q 分别在边AB、AC 上，使△APQ 的外接圆与BC 相切，则线段PQ 的最小值等于 ▲ ．卷 Ⅱ一、选择题（每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题（每小题5分，共30分）9、 10、 11、 12、 13、 14、三、解答题（共5小题，分值挨次为8分、10分、12分、14分、14分，满分58分）15. 已知2311222--=-x x ，求211111()()xx x x x -÷+-+-的值。

2019-2020学年浙江省温州中学自主招生九年级数学模拟试卷有标准答案

浙江省温州中学自主招生九年级数学模拟试卷（本卷满分：150分考试时间：90分钟）一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1. 气象台预报：“本市明天降水概率是80%”，但据经验，气象台预报的准确率仅为80%，则在此经验下，本市明天降水的概率为················( ) A 、84% B 、80% C 、68% D 、64%2. 如图，已知A ∠的平分线分别与边BC 、ABC ∆的外接圆交于点D 、M ，过D 任作一条与直线BC不重合的直线l ，直线l 分别与直线MB 、MC 交于点P 、Q ，下列判断不正确的是···········································( ) A ．无论直线l 的位置如何，总有直线PM 与ABD ∆的外接圆相切B ．无论直线l 的位置如何，总有BAC PAQ ∠>∠ C ．直线l 选取适当的位置，可使A 、P 、M 、Q 四点共圆D ．直线l 选取适当的位置，可使APQ S ∆<ABC S ∆3. 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为·········( )A ．6B ．7C ．8D ．9 4. 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则··················································( ) A ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C ．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形5. 已知实系数二次函数()x f 与()x g ，()()x g x f =和()()03=+x g x f 有两重根，()x f 有两相异实根，则()x g ···································( )A ．有两相异实根B ．有两相同实根C ．没有实根D ．没有有理根二、填空题（本大题分10小题，每题6分，共60分）第2题6. 设正数x 、y 、z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++.1693253222222x zx z z y y xy x ，，则xy +2yz +3zx 的值为．7. 已知ABCD 是一个正方形，点M (异于点B 、C )在边BC 上，线段AM 的垂直平分线l 分别交AB 、CD于点E 、F ．若AB =1，则DF BE -的取值范围为．8. 已知实数a ，b ，c ，d 满足2a 2+3c 2=2b 2+3d 2=(ad-bc )2=6，则(a 2+b 2)(c 2+d 2)的值为． 9. 由两个不大于100的正整数m ，n 组成的整数对(m ,n )中，满足：2121+<<+m n m 的有对．10. 甲、乙两人在一个5×5的方格纸上玩填数游戏：甲先填且两人轮流在空格中填数，甲每次选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个3×3正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为A ，甲尽量使A 增大，乙尽量使A 减小，则甲可使A 获得的最大值是．11. 一个锐角ABC ∆，︒=∠60BAC ，三点H 、O 、I 分别是ABC ∆的垂心、外心和内心，若BH=OI ，则ACB ∠= ．12. 设ΔABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM交于点G 、H ，并且点G 在点B 和点H 之间．已知BG =HM ，AB =2．则GH 的最大值为．13. 设a 、b 为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意x ∈[0,1]，有()1≤x f ，则()()11++=b a S 的取值范围为．14. 已知抛物线y 2=6x 上的两个动点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)，其中x 1≠x 2且x 1+x 2=4．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，则ABC S ∆的最大值为．15. 将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”．在一个10×11的棋盘上，最多可以放置个互不重叠的“十字形”．(每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格)三、解答题（本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分）16. 三角形的三边之长是某个系数为有理数的三次方程的根．证明：该三角形的高是某个系数为有理数的六次方程的根．第12题17. 已知ΔABC 内有n 个点(无三点共线)，连同A 、B 、C 共n +3个点．以这些点为顶点把ΔABC 分成若干个互不重叠的小三角形．现把A ，B ，C 分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n 个点，每个点任意染上红、蓝、黄三色之一．求证：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．18. 设奇数a ，b ，c ，d 满足0<a <b <c <d ，ad =bc ，若k d a 2=+，m c b 2=+，其中k ，m 是整数，试证：a =1．19.如图，在锐角ABC∆的外接圆⊙O的切线BD、CE，∆中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作ABC且满足BD=CE=BC．直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G．设CF与BD交于点M，CE与BG 交于点N，证明：AM=AN．第19题20.如图，在ABC中，AB>AC，内切圆⊙I与边BC切于点D，AD与⊙I的另一个交点为E，⊙I的切线EP与BC的延长线交于点P，CF∥PE且与AD交于点F，直线BF与⊙I交于点M、N，M在线段BF上，线段PM与⊙I交于另一点Q．证明：∠ENP=∠ENQ．第20题温州中学自主招生数学模拟试卷参考答案及评分建议一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）[ 1~5 ] C C B D C二、简答题(本大题分10小题，每空6分，共60分)[本大题评分建议：若数字书写不清晰，不给分]6、 3247、 ⎥⎦⎤⎝⎛410， 8、 6 9、 17110、 6 11、 40° 12、 213、 [-2,49] 14、 7314 15、 15三、分析解答题(本大题分5小题，16题10分，17~20题每题15分，共70分) 16、(10分)(可能有多种解法)(3分)(7分)故得证！ (10分)[证明]17、(15分)(可能有多种解法)[证明]把这些小三角形的边进行赋值：边的端点同色的，赋值0；边的端点不同色的，赋值1．于是每个小三角形的三边之和有如下三种情形：(3分) (1)三顶点都不同色的，和为3； (2)恰有两顶点同色的，和为2； (3)三顶点都同色的，和为0．(6分)设所有小三角形的边赋值之和为S ，上述三种情形的三类小三角形的个数分别为a ，b ，c ，于是S =3a +2b +0c =3a +2b ．(9分)而注意到所有小三角形的边的赋值之和中，除了AB ，BC ，CA 边外，其余的边都被算了两次，所以它们赋值之和为偶数，再加上AB ，BC ，CA 三边赋值之和为3，所以S 是奇数．(14分)因此a 是奇数．即三顶点都不同色的小三角形总数为奇数．(15分)18、(15分)(可能有多种解法)[解]22)(4)(a d ad d a -+=+22)()(4)(4c b b c bc a d bc +=-+>-+=222)()(4)(4c b b c bc a d bc +=-+>-+=． ∴m k 22>．∴k >m ．(2分)把b c a d m k -=-=2,2，代入ad =bc ，有 )2()2(b b a a m k -=-(1)，由(1)可得2222a b a b k m -=•-•．(4分)即2222a b a b k m -=-，))(()2(2a b a b a b m k m -+=-- (2)(5分)已知a ，b 都是奇数，所以a +b ，a -b 都是偶数，又a b a b a 2)()(=-++是奇数的2倍，故b +a ，b -a 中必有一个不是4的倍数．(7分)由(2)必有⎩⎨⎧=-=+-f a b e a b m 221或⎩⎨⎧=+=--fa b ea b m 221．其中，e ，f 为正整数，且m k a b ef -⋅-=2是奇数．[ef b a b a m 2)()(=-++，与(2)比较可得](9分)由于k >m ，故a b a b ef 22=-<-≤f a b a b ef22=-<-≤．从而e =1，m k a b f -⋅-=2．考虑前一情况，有⎩⎨⎧⋅-==-=+--)2(2221mk m a b f a b a b (11分) 由第二式可得 a a b m k -+=+12，故 a m k m -+-=1122，所以奇数a =1．(13分)对于后一情况，可作类似的讨论．(15分)19、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分，注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)(5分)(10分)(15分)20、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分，注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)(5分)(10分)(15分)第20题[证明](10分)...(5分)(15分)(5分)略(15分)...。

2019年温州中学自主招生选拔考试数学试题

温州中学自主招生选拔考试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．1、设函数⎩⎨⎧>≤++=)0(2)0(2x x c bx x y ，当x=-4和0时，函数值相等，且当x=-2时，y=-2，则方程x y =的解的个数有（ ▲ ）个A 、1B 、2C 、3D 、42、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的表面积是（ ▲ ）A 、776B 、784C 、798D 、8003、若a 、b 和c 是三个两两不同的奇质数，且方程0225152=++++x a x c b )()(有两个相等的实根，则a 的最小值是（ ▲ ） A 、41B 、47C 、53D 、594、某中学从初一到高三年级学生中挑选学生会成员,至少要满足以下一个条件: ①初一年级至多选1人；②初二年级至多选2人；③初三年级至多选3人；④高一年级至多选4人；⑤高二年级至多选5人；⑥高三年级至多选6人.则至多要选出( ▲ )名同学才能做到. A 、21 B 、22 C 、26 D 、285、如图，ABC ∆中，︒=∠=40,ABC AC AB ，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE=AD ，则=∠ECA （ ▲ ）A 、500B 、350C 、400D 、450第5题图第6题图第7题图6、如图所示，△ABC 的边长为6、8、10，一个以点P 为圆心且半径为1的圆在其内滚动，且总是与△ABC 的边相切。

当P 第一次回到它原来的位置时，点P 走过的长度是（ ▲ ） A 、10 B 、12 C 、14 D 、15班级____________________ 姓名____________________………………密………………………………………………封………………………………………………线………………7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=090，内切圆⊙I 切AC,BC 于E,F ，射线BI 、AI 交直线EF 于点M 、N ，设S △AIB =S 1，S △MIN =S 2 ，则21S S 的值为（ ▲ ） A 、 23 B 、2 C 、25D 、38、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有（ ▲ ）种不同装法。

温州中学自主招生综合素质测试数学试题

2018年温州中学自主招生综合素质测试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置）1.已知锐角θ满足sin θ=23,则下列结论正确的是（） A 、0°＜θ＜30° B 、30°＜θ＜45° C 、45°＜θ＜60° D 、60°＜θ＜90°2.已知23214x x ++-=，则x 的取值范围是（）A 、—12≤x ≤32B 、—32≤x ≤12C 、—1≤x ≤0D 、—34≤x ≤14 3．设M=20162017101101++，N=20172018101101++，则M ，N 的大小关系为（） A 、M ＞N B 、M=N C 、M ＜N D 、无法判断4．若方程（21x -）（24x -）=K 有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数K 的值为（）A 、34B 、54C 、74D 、945．已知m 是质数，,x y 均为整数，则方程x y m +=的解的个数是（）A 、1B 、3C 、5D 、76．如图1，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱长11A D ，11D C 的中点，N 为线段1B C 的中点，若点P ，M 分别为线段1D B ，EF 上的动点，则PM+PN 的最小值为（）A 、1B 、C 7．已知实数,x y 满足22431x y xy +-=，则22x y -的最大值为（）A 、1BC 、28．如图2，D ，E ，F 分别是△ABC 三边BC ，AB ，CA 上的点，AD ，BF ，CE 两两交于点X ，Y ，Z ，若1AEX BDZ CFY XYZ S S S S ∆∆∆∆====，现给出下列三个结论：（1）AXY AFY S S ∆∆=；（2）;AXYF CYZD BZXE S S S ==（3）ABC S ∆是一个定值。

2020年浙江省温州中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大四共10小题，每小题4分，共40分。

在每小给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在卷的相应位置。

）1．（4分）已知a＞b，则的化简结果是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（4分）有以下关于x，y的等式：①x+2y＝0；②x2+y2＝2；③x＝|y|；④xy＝1，其中y是x的函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（4分）已知tanα＝2，则＝（）A．B．C．4D．24．（4分）如图，一枚棋子在正方体ABCD﹣MNPQ的棱上移动，从每一个顶点出发都等可能地移到和它相邻的三个顶点中的任何一个，若棋子的初始位置为点A，则移动三次后到达点P的概率为（）A．B．C．D．5．（4分）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A，与函数y＝在第一象限的图象交于B，C两点，若AB•AC＝4，则k＝（）A．1B．C．2D．46．（4分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d，满足f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6，则f（0）+f（4）＝（）A．0B．2C．4D．87．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，D为AB的中点，E为AC靠近点C的三等分点，BE与CD交于点M，过M作∠A内角平分线的平行线交AC于点N，则AN＝（）A．B．C．D．8．（4分）已知a，b为实数，设M＝max{|a+b|，|a﹣b|，|a﹣2019|，|b﹣2019|}，则M的最小值是（）（注max{a，b，c，d}表示a，b，c，d中的最大值）A．B．673C．1346D．20199．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD的各棱长均为1，点P，Q，R分别在棱CA，AD，DC上，则BP+PQ+QR+RB 的最小值是（）A．B．C．2D．310．（4分）在1，2，3，…，2019中，可以表示为[x•[x]]形式的数有（）（注：[x]表示不超过实数x 的最大整数）A．980个B．988个C．990个D．998个二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题卷相应的位置.）11．（5分）不等式（x﹣1）|x﹣1|＞1的解是．12．（5分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+3＝0的两个根x1，x2满足x1＜1＜x2，则实数m的取值范围是．13．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排，甲不能站在排头和排尾，乙和丙至少有一人与甲相邻，则满足条件的排法数为．14．（5分）当0≤x≤2时，不等式|x2+a|≥2x﹣x2恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知P为△ABC内一点，满足∠BAP＝20°，∠CAP＝28°，∠ACP＝48°，AP＝BC，则∠BCP＝．16．（5分）已知a，b，c为整数，满足a+b+c＝10，S＝（10a+bc）（10b+ac）（10c+ab）≥2019，则S的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）解方程组：．18．（15分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AH⊥BC于点H，M为HC的中点，过H作HD⊥AM交直线AB于点D．求证：AB＝BD．19．（15分）如图，已知A（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）是抛物线y＝x2上的四个不同的点．（1）试用x1，x2表示直线AB的解析式；（2）已知AB过点E（0，1），BD过点F（0，2），CD过点G（0，4）．（ⅰ）证明：A，F，C三点共线；（ⅱ）若点A在第一象限，且S△ADF＝4S△BCF，求直线AB的解析式．20．（20分）小明将n枚硬币任意摆放在图中的点上（每个点的硬币数不限，可以0）．（1）对于图1定义一次“操作”：从一个至少有2枚硬币的点取走2枚硬币，并分别在与此点相邻的点上各放置1枚硬币，对小明的每种摆法，若点E处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点E处有硬币，求n的最小值；（2）对于图2定义一次“操作”：从一个至少有2枚硬币的点取走2枚硬币，若该点有两个相邻点，就分别在每个相邻的点各放置1枚硬币；若该点只有一个相邻点，就只在该相邻点处放置1枚硬币．对小明的每种摆法，若点D处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点D处有硬币，求n的最小值．21．（20分）如图，P为四边形ABCD内一点，满足∠APB＝∠ADC，∠BAP＝∠CAD，E为线段BD上的一点，过E作EF∥CD交AD于点F，△APF的外接圆交AB于点G．求证：GE∥BC．。

温州中学自主招生面试数学试题(转载)

温州中学自主招生面试数学试题（转载）
1、苏步青是我校校友，他在中学阶段做了一万多道数学题，后来成为数学家。

做数学题和成为数学家有什么联络吗？
2、著名数学家陈省身说：〝数学好玩〞，你以为数学好玩吗？谈谈你的看法。

3、到目前为止，在一切敎过你的数学教员中，你最敬仰谁？为什么？
4、你以为你所学过的最优美的数学公式是什么？为什么？
5、你以为学了数学有什么用？谈谈你的想法。

6、为什么锅盖是圆形的？
7、你参与面试的这幢楼的高度能否有50米？为什么？
8、著名数学家华罗庚说：〝苦干猛攻埋头干，熟能生出百巧来。

功在不舍是良训，一分辛劳一分才〞。

谈谈你对数学学习的看法。

9、在数学学习方面有让你佩服的同窗吗？谈谈你的理由。

10、竞赛用的乒乓球台的面积能否到达20m2？为什么？
11、三角形具有动摇性，为什么桌子通常是四条腿而不是三条腿？
12、假设要你去测量操场上旗杆的高度，你预备怎样做？
13、请你结构一个一元二次方程，使得一个根是另一个根的两倍。

14、请你举出一个几何图形的例子，使它的面积和周长的数值相等。

15、某人向上抛掷一枚硬币，落地时硬币竖立在空中上，谈谈你对这一效果的看法。

2024年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷

2024年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷一、选择题（共5小题）1．(★★)如图，已知AB是⊙O的直径， AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是()A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE2．(★)在等腰直角三角形ABC中， AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC 于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为()A．2， 22.5°B．3， 30°C．3， 22.5°D．2， 30°3．(★)如图， CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是()A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC 4．(★)直线AB与⊙O相切于B点， C是⊙O与线段OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B，C不重合)，若∠A=40°，则∠BDC的度数是()A．25°或155°B．50°或155°C．25°或130°D．50°或130°5．(★★)在矩形ABCD中， AB=6， BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是()A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈二、填空题（共6小题）6．(★★)如图， AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上， PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A=35°．7．(★)射线QN与等边△ABC的两边AB， BC分别交于点M， N，且AC∥QN，AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t 秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8(单位：秒)8．(★)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若动点D在线段AC上(不与点A、C重合)，过点D作DE⊥AC交AB边于点E．(1)当点D运动到线段AC中点时， DE=；(2)点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=或时，⊙C与直线AB相切．9．(★)如图所示，在△ABC中， BC=4，以点A为圆心， 2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是4-π．10．(★★)如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为2．11．(★★)如图(a)，有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm,以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图(b)．则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为(3π-)cm2．三、解答题（共19小题）12．(★★★)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)13．(★★★)已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．14．(★★★)如图，等腰三角形ABC中， AC=BC=10， AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G， DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求cos∠E的值．15．(★★★)如图， AB是⊙O的直径，点C， D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．(1)求证：EF与⊙O相切；(2)若AB=6， AD=4，求EF的长．16．(★★★)如图，△ABC中， AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．(1)试说明DF是⊙O的切线；(2)若AC=3AE，求tanC．17．(★★★)如图，在△ABC中， BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D， E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．18．(★★★)如图，⊙O是△ABC的外接圆， P是⊙O外的一点， AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E， F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：==．19．(★★)如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°， BC交⊙O于D， D是BC的中点．(1)求BC的长；(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．20．(★★★)如图，在△ABC中， AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7， BC=6，求AC的长．21．(★★★)如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线， OC⊥OB，连接AB交OC于点D．(1)AC与CD相等吗？为什么？(2)若AC=2， AO=，求OD的长度．22．(★★★)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O， AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．(1)求证：∠A=2∠DCB；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．23．(★★★★)如图，直线EF交⊙O于A、B两点， AC是⊙O直径， DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半径．24．(★★★★)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1)求证：BD=BF；(2)若CF=1， cosB=，求⊙O的半径．25．(★★★★)如图， AB是⊙O的直径， AC是弦， DE和⊙O相切于点D， DE⊥AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：∠CAD=∠BAD；(2)若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．26．(★★★)如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点， AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若CD=1， AC=，求⊙O的半径长．27．(★★★)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．(1)求证：DP∥AB；(2)试猜想线段AE， EF， BF之间有何数量关系，并加以证明；(3)若AC=6， BC=8，求线段PD的长．28．(★★★)如图，⊙O的直径AB=10， C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．(1)求证：DF⊥AF．(2)求OG的长．29．(★★★)如图，已知AB是⊙O直径， BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．(1)求证：PC=PG；(2)点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．30．(★★★)已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A， M．(1)求证：点P是线段AC的中点；(2)求sin∠PMC的值．。