空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。

（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。

1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b 记作a ∥b。

注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a （a≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa（1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l ∥a，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。

推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OA OP =a t+ ①其中向量a叫做直线l 的方向向量。

在l 上取a AB =，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。

⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。

注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。

①式叫做平面MAB 的向量表示式。

又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p++=说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP ++=6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA=，b OB =，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〉〈b a，说明：⑴规定0≤〉〈b a ，≤π,因而〉〈b a，=〉〈a b ，； b；⑵如果〉〈b a ，=2π，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中∠AOB =〉〈OB OA ,， 图（2）中∠AOB =-π〉〈OB AO ,,从而有〉〈-OB OA ,=〉-〈OB OA ,=-π〉〈OB OA ,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：〉〈b a b a ,cos 叫做向量a 、b的数量积，记作b a ⋅。

即b a ⋅=〉〈b a b a,cos ，向量AB 方向上的正射影在e:B A e a AB e a ''=〉〈=⋅,cos ||（4）性质与运算率⑴〉〈=⋅e a e a,cos 。

⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0⑵b a⋅=b a ⋅ ⑶2||.a a a =⋅⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（三）．典例解析题型1：空间向量的概念及性质ABO（1）例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（ ）。

()A ①②()B ①③()C ②③()D ①②③解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以①错误。

②③正确。

题型2：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）()A 1122a b c -++()B 1122a b c ++()C 1122a b c --+()D c b a +-2121 解析：显然=+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++；答案为A 。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。

用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b,求y x ,的值.解： a ∥b,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++又p n m,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x y x 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.（四）强化巩固导练1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x 2、在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 (A )。

A ．-21a ＋21b ＋cB ．21a ＋21b ＋c C ．21a -21b ＋c D ．-21a -21b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是。