重庆市沙坪坝区2023年数学八年级第一学期期末检测试题【含解析】

重庆市沙坪坝区2023年数学八年级第一学期期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．下列根式中，属于最简二次根式的是（）．
A
B C D 2．8的立方根是（）A ．B ．±2
C ．
D ．2
3．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
4．a ，b 是两个连续整数，若a ＜b ，则a +b 的值是（）A ．7
B ．9
C ．21
D ．255．如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（
）
A ．3:2:4
B ．1:1:1
C ．2:3:4
D ．4:3:2
6．下列式子正确的是（）
A ．336a a a +=
B ．()
2
3
5
a a =C ．()
2
2
24612ab a b =D ．65
a a a ÷=7．已知ABC ∆中，AB AC =，求证：90B ∠<︒，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设（）成立
A ．90
B ∠≥︒
B ．90B ∠>︒
C ．90A ∠>︒
D ．90A ∠≥︒
8．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上点，且DE =DF ，连接BF ，CE ．①△ABD 和△ACD 面积相等；②∠BAD =∠CAD ；
③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE.上述结论中，正确的个数有()
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．以下问题，不适合用普查的是（）
A．旅客上飞机前的安检B．为保证“神州9号”的成功发射，对其零部件进行检查
C．了解某班级学生的课外读书时间D．了解一批灯泡的使用寿命
10．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）
A．1B．-2C．-1D．2
11．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（）
A．B．
C．D．
12．在折纸活动中，王强做了一张△ABC纸片，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，且∠A1DB=90°，若∠A=50°，则∠CEA1等于（）
A ．20°
B ．15°
C ．10°
D ．5°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；正确的个数是______个．
14．如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，如果CD=1，且ABD 的周长比ACD 的周长大2，那么BD=____．
15．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为______．
16．如图，点A 的坐标（-2,3）点B 的坐标是（3，-2），则图中点C 的坐标是______．
17．如图，∠AOB =30°，点P 是它内部一点，OP =2，如果点Q 、点R 分别是OA 、OB 上的两个动点，那么PQ +QR +RP 的最小值是__________．
18．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点的坐标是，点在第一象限，的平分线交轴于点，把绕着点按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．求：的长及点的坐标．
20．（8分）金堂赵镇某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天40元，两人间每人每天50元．国庆节期间，一个48人的外地旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2160元．求两种客房各租住了多少间？21．（8分）计算:()1227833；
()216
3232
-
8
22．（10分）甲乙两人同时登同一座山，甲乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙在提速前登山的速度是______米／分钟，乙在A地提速时距地面的高度b为__________米．
（2）若乙提速后，乙比甲提前了9分钟到达山顶，请求出乙提速后y和x之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时甲距C地的高度为多少米？
23．（10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，0），点B （0，），把△ABO
绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α=90°，求AA′的长．
24．（10分）某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：项目
选手服装
普通话
主题
演讲技巧
李明85708085张华
90
75
75
80
结合以上信息，回答下列问题：
（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；
（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中有一个ABC ，顶点()1,3A -，()2,0B ，
()3,1C --．
（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △（不写画法）；
（2）点C 关于x 轴对称的点的坐标为__________，点B 关于y 轴对称的点的坐标为__________；
（3）若网格上每个小正方形的边长为1，求111A B C △的面积？
26．请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式()(
)
3
3
2
2
a b a b a ab b
+=+-+(从左往右推
导)；
（2）已知 1 ,1,a b ab a b +==->,求2233,a b a b +-的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）1、D
【分析】根据最简二次根式的定义：①被开方数不含有分母，②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式，逐个判断即可．
【详解】A 、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B 、=
C 2
2
=
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D ，是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D 【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．2、D
【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D ．【点睛】
本题考查立方根．3、C
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-，解得：2m =-，7n =，则275m n +=-+=故选C .【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.4、A
的范围，即可得出a 、b 的值，代入求出即可．
【详解】解：∵3＜＜4，∴a ＝3，b ＝4，∴a ＋b ＝7，故选：A ．【点睛】
的范围，难度不是很大．5、A
【分析】由角平分线的性质可得，点O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF ，∵AB=6，AC=4，BC=8，∴S △OAB ：S △OAC ：S △OBC =3:2:4．故选：A ．【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线很关键．解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6、D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】解：A 、3332a a a +=，故本选项不符合题意；
B 、326
()a a =，故本选项不符合题意；
C 、2224(6)36ab a b =，故本选项不符合题意；
D 、65a a a ÷=，故本选项符合题意；
故选：D ．【点睛】
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．7、A
【分析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断．【详解】解：90B ∠<︒的反面为90B ∠≥︒故选A ．【点睛】
此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解决此题的关键．8、B
【分析】①△ABD 和△ACD 是等底同高的两个三角形，其面积相等，故①正确；②若AB≠AC ，则AD 不是∠BAC 的平分线，故②错误；③由全等三角形的判定定理SAS 可证得结论，故③正确；④、⑤由③中的全等三角形的性质得到．【详解】解：①∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，
∴△ABD 和△ACD 面积相等，故①正确；
②若在△ABC 中，AB≠AC 时，AD 不是∠BAC 的平分线，即∠BAD≠∠CAD ，故②错误；
③∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，
在△BDF 和△CDE 中，BD CD
BDF CDE DF DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDF ≌△CDE （SAS ），故③正确；④∵△BDF ≌△CDE ，∴∠CED ＝∠BFD ，∴BF ∥CE ，故④正确；⑤∵△BDF ≌△CDE ，∴CE ＝BF ，
∴只有当AE ＝BF 时，CE ＝AE ，故⑤错误，综上所述，正确的结论是：①③④，共有3个．故选：B ．【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△BDF ≌△CDE ．
9、D
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：旅客上飞机前的安检适合用普查；
为保证“神州9号”的成功发射，对其零部件进行检查适合用普查；了解某班级学生的课外读书时间适合用普查；了解一批灯泡的使用寿命不适合用普查．故选D ．【点睛】
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10、C
【解析】试题分析：依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）=2x +x ﹣2=2x +mx+n ，然后对照各项的系数即可求出m=1，n=﹣2，所以m+n=1﹣2=﹣1．故选C
考点：多项式乘多项式11、A
【解析】试题分析：正方形的对角线的长是
，所以正方形内部的每一个点，
到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.考点：正方形的性质，勾股定理.12、C
【分析】根据翻折变换的性质可得∠A 1DE=∠ADE ，∠A 1ED=∠AED ，再根据三角形的内角和等于180°求出∠A 1ED 和∠AED ，然后利用平角等于180°即可求解∠CEA 1．【详解】解：∵△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A 1重合，且∠A 1DB=90°，∴∠A 1DE=∠ADE=902=45οο÷，∠A 1ED=∠AED ，∵∠A=50°，
∴∠A 1ED=∠AED=180-45-50=85οοοο，∴∠CEA 1=180-85-85=10οοοο.故选：C ．【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟练进行整体思想的利用使得求解更
简便．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．
【详解】解：①根据角平分线的做法可得AD 是∠BAC 的平分线，说法①正确；②∵∠C=90°，∠B=10°，
∴∠CAB=60°，
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠DAB=10°，
∴∠ADC=10°+10°=60°，
因此∠ADC=60°正确；
③∵∠DAB=10°，∠B=10°，
∴AD=BD ，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③说法正确，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的判定，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 度数是解题关键．14、53
【分析】过点D 作DM ⊥AB 于点M ，根据角平分线的性质可得CD=MD ，进而可用HL 证明Rt △ACD ≌△AMD ，可得AC=AM ，由ABD 的周长比ACD 的周长大2可变形得到BM+BD=3，再设BD=x ，则BM=3－x ，然后在Rt △BDM 中根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求出x ，从而可得答案．
【详解】解：过点D 作DM ⊥AB 于点M ，则90AMD C ∠=∠=︒，
∵AD 平分CAB ∠，∴CD=MD ，
又∵AD=AD ，
∴Rt △ACD ≌△AMD （HL ），
∴AC=AM ，
∵ABD 的周长比ACD 的周长大2，
∴(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=2，
∴AB+BD －AC －1=2，
∴AM+BM+BD －AC=3，
∴BM+BD=3，
设BD=x ，则BM=3－x ，
在Rt △BDM 中，由勾股定理，得222BM DM BD +=，
即()2231x x -+=，解得：53
x =
，∴BD=53．故答案为：53．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
15、和
【解析】试题分析：首先知有两种情况（顶角是40°和底角是40°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
解：△ABC ，AB=AC ．
有两种情况：
（1）顶角∠A=40°，
（2）当底角是40°时，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C=40°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为40°或100°．
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
16、（1，2）
【分析】根据平面直角坐标系的特点建立坐标系，即可确定C点的坐标．
【详解】解：∵点A的坐标（-2,3）点B的坐标是（3，-2），
故平面直角坐标系如图所示：
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据两个已知点，确定直角坐标系．
17、1
【分析】先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=1,∠P′OP″=1∠AOB=1×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=1．
【详解】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,
∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=1,
所以,∠P′OP″=1∠AOB=1×30°=60°,
所以,△OP′P″是等边三角形,
所以,PP′=OP′=1．
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定.
18、100°
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠O P1P2+∠O
P2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
O P1=OP=OP2,∠OP1M=∠MPO,∠NPO=∠NP2O，
根据轴对称的性质,可得MP=P1M,PN=P2N，则
△PMN的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，
∴等腰△OP1P2中,∠OP1P2+∠OP2P1=100°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，
故答案为100°
【点睛】
此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线
三、解答题（共78分）
19、，点的坐标为．
【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠OAB=60°，然后根据对应边的夹角∠OAB为旋转角求出∠PAD=60°，再判断出△APD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得DP=AP，根据，∠OAB的平分线交x轴于点P，∠OAP=30°，利用三角函数求出AP，从而得到DP，再求出∠OAD=90°，然后写出点D的坐标即可．【详解】∵是等边三角形，
∴，
∵绕着点按逆时针方向旋转边与重合，
∴旋转角，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵的坐标是，的平分线交轴于点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的变化的相关知识点.
20、三人间租住了8间，两人间租住了12间
【分析】根据：住在三人间人数+住在二人间人数=总人数，三人间的总费用+二人间总费用=总费用，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设三人间租住了x间，两人间租住了y间，
根据题意得：
3248 4035022160
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯+⨯=
⎩
，
解得
8
12 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：三人间租住了8间，两人间租住了12间．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，准确找出题中的等量关系是解题关键．
21、（1）；（2）1-
【分析】（1）先将二次根式进行化简，再合并同类二次根式；
（2）利用平方差公式将
法即可．
【详解】（1
-
=-
（2）
-22
=-
=32-
=1-【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
22、（1）15，30；（2）3030y x =-；（3）登山6.5分钟，乙追上了甲，此时甲距C 地的高度为65米
【分析】（1）根据1分钟的路程是15米求出速度；用速度乘以时间得到此时的高度b ；
（2）先求出t ，设乙提速后的函数关系式为：y kx b =+，将230 11,300（，）（）即可得
到解析式；
（3）先求出甲的函数解析式，再解甲乙的函数解析式组成的方程组求出交点的坐标，即可得到答案.
【详解】（1）乙在提速前登山的速度是151÷=15（米／分钟），乙在A 地提速时距地面的高度b 为152⨯=30（米）；
（2）t=20-9=11，
设乙提速后的函数关系式为：y kx b =+，图象经过230 11,300（，
）（）则30230011k b
k b
=+⎧⎨=+⎩解得：30,30
k b ==-所以乙提速后的关系式：3030y x =-．
（3）设甲的函数关系式为：y mx n =+，将点0100（，）和点20300（，）代入，则n 10020300
m n =⎧⎨+=⎩，解得：10,100
m n ==甲的函数关系式为：10100y x =+；由题意得：
y 303010100
x y x =-⎧⎨=+⎩解得： 6.5 ,165x y ==，
相遇时甲距C 地的高度为：16510065=﹣（米）
答：登山6.5分钟，乙追上了甲，此时甲距C 地的高度为65米.
【点睛】
此题是一次函数的实际应用，考查待定系数法，函数图象的交点坐标，会将已知条件与图象结合求点的坐标及字母的值.23、
【解析】根据勾股定理得AB=
，由旋转性质可得∠A′BA=90°，A′B=AB=．继而
得出AA′=．
【详解】∵点A （2，0），点B （0，
），∴OA=2，OB=．
在Rt △ABO 中，由勾股定理得AB=．
根据题意，△A′BO′是△ABO 绕点B 逆时针旋转90°得到的，
由旋转是性质可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=
，
∴AA′==．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24、（1）服装项目的权数是10%，普通话项目对应扇形的圆心角是72°；（2）众数是
85，中位数是82.5；
（3）选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，理由见解析.
【解析】（1）根据扇形图用1减去其它项目的权重可求得服装项目的权重，用360度乘
以普通话项目的权重即可求得普通话项目对应扇形的圆心角大小；
（2）根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）服装项目的权数是：1﹣20%﹣30%﹣40%=10%，
普通话项目对应扇形的圆心角是：360°×20%=72°；
（2）明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85，中位数是：（80+85）÷2=82.5；（3）李明得分为：85×10%+70×20%+80×30%+85×40%=80.5，
张华得分为：90×10%+75×20%+75×30%+80×40%=78.5，
∵80.5＞78.5，
∴李明的演讲成绩好，
故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛．
【点睛】
本题考查了扇形统计图、中位数、众数、加权平均数，明确题意，结合统计表和统计图找出所求问题需要的条件，运用数形结合的思想进行解答是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）()3,1-，()2,0-；（3）9
【分析】（1）关于y 轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成相反数，先确定三个顶点的对称点，再一次连接即可；
（2）关于x 轴对称则横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y 轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成相反数；
（3）利用网格，所求面积=三角形所在的长方形的面积-多余的三角形面积，计算即可．
【详解】解：（1）如解图所示，111A B C △即为所求；
（2）点C 关于x 轴对称的点的坐标为()3,1-，
点B 关于y 轴对称的点的坐标为()2,0-；
（3）111A B C △的面积为：111452433159222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】
本题考查的主要是轴对称变换以及三角形面积求法，根据题意求出对应点的位置是解题关键．
26、（1）推导见解析；（2）22a b +3=，33a b -=．
【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:33+a b 3223a a b a b b =+-+;（2）根据配方法和立方差公式可得.
【详解】()1解:33
+a b 3223
a a
b a b b =+-+()()
222a a b b a b =+--()()()
2a a b b a b a b =+-+-()()
22=+-+a b a ab b ()2解：22
a b +()2
2a b ab
=+-()
2121=-⨯-3=()()22223215
a b a ab b -=-+=-⨯-=a b >
a b ∴-=33
a b -()()
22a b a ab b =-++()
31=-=
【点睛】
考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.。