部编数学七年级下册专题28不等式(组)应用之几何问题(解析版)含答案

专题27 不等式（组）应用之几何问题
【例题讲解】
如图，在平面直角坐标系中，////AB CD x 轴，////BC DE y 轴，且
4cm,5cm,2cm AB CD OA DE ====，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿ABC 路线向点C 运动；动点Q 从点O 出发，以每秒2cm 的速度，沿OED 路线向点D 运动．若,P Q 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出,,B C D 三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为t 秒，用含t 的式子表示运动过程中三角形O PQ 的面积；
（Ⅲ）当三角形O PQ 的面积的范围小于16时，求运动的时间t 的范围．
【综合解答】
1．小明同学在计算一个多边形（每个内角小于180°）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是2018°，则少算了这个内角的度数为________．
【答案】142°##142度
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____．
【答案】-4
【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k＝2x﹣k≥2，
∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，
∴k＝﹣4．
故答案填：﹣4．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．将长为4，宽为a（a大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次
n=时，a的值为___________．
操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当3
4．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q 两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为x（秒），在整个运动过程中，当△APQ为
直角三角形时，则相应的x的值或取值范围是_________．
二、解答题(共0分)
5．平面直角坐标系中，点A坐标为（2m－3，3m＋2）．
(1)若点A在坐标轴上，求m的值：
(2)若点A在第二象限内，求m的取值范围．
6．如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()m a ，宽为()m b ．
(1)当30
a =时，求
b 的值；
(2)受场地条件的限制，a 的取值范围为1826a ££，求b 的取值范围．
【答案】(1)10；
(2)1216b ££．
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a =30代入所列式子中求出b 的值；
（2）由（1）可得a ，b 之间的关系式，用含有b 的式子表示a ，再结合1826a ££，列出关于b 的不等式组，解不等式组即可求出b 的取值范围．
（1）
解：由题意，得250a b +=，
当30a =时，30250b +=．
解得10b =．
（2）
解：∵250a b +=，
∴502a b =-，
1826a ££，
∴5021850226
b b -³ìí-£î解这个不等式组，得1216b ££．
答：矩形花园宽的取值范围为1216b ££．
【点睛】此题主要考查了列代数式及不等式组的应用，正确理解题意得出关系式及不等式组是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(),0a ，()2,4-，(),0c ，且a ，c 满足方程()2
43240c a a x y ---+=为二元一次方程．
（1）求A ，C 的坐标．
（2）若点D 为y 轴正半轴上的一个动点．
①如图1，当//AD BC 时，ADO Ð与ACB Ð的平分线交于点P ，求P Ð的度数；
②如图2，连接BD ，交x 轴于点E ．若ADE BCE S S £△△成立．设动点D 的坐标为()0,d ，求d 的取值范围．【答案】（1）点A 的坐标为()2,0-，点C 的坐标为()5,0；（2）①45°；②05
d <£【分析】（1）根据()243240c a
a x y ---+=可得，240a -¹，41c -=，231a -=，即可求得a 、c 的
值，坐标可求；
2）①作PH ∥AD ，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案；
②连接AB ，交y 轴于F ，根据点的坐标特征分别求出S △ABC 、S △ABD ，根据题意列出不等式，解
8．△ABC在平面直角坐标系内如图1摆放，A、C两点的横坐标都是5，BC∥x轴．已知B点坐标为(－3，m)，AB交y轴于点D，且AC＝BC．
(1) 填空：BC＝_____；△ABC的面积为______；用m表示点A的坐标为______.
(2) 射线BO交直线AC于点Q，若△ABQ的面积为16，试求m的值
(3) 如图2，点D在y轴负半轴上，∠BAC的三等分线AP与∠BOD的角平分线OP交于点P，其中
∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，试求∠BOD的取值范围.
（3）如图，AP与y轴交于点N,点M在y轴上，∵OP是∠BOD的角平分线，
∴∠BOP=∠POD，
∵∠ACB=90°，AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠BAC＝3∠BAP＝45°
∴∠BAP=15°, ∠CAP=30°,
∵OM∥AC,
∴BDM=∠BAC=45°, ∠PNM=∠PAC=30°,
设∠BOP=∠POD=α,
∵∠BDM=∠B+∠BOD,
∴∠B=∠BDM-∠BOD=45°-2α,
∵∠PNM=∠POM+∠P,
∴∠P=∠PNM-∠POM=30°-α,
∵∠P>2∠B,
∴30°-α>2(45°-2α)
解得，α>20°
∴∠BOD>40°
∵∠BDM >∠BOD,
∴∠BOD<45°
∴40°<∠BOD<45°.
【点睛】本题考查平面直角坐标系坐标与图形，理解点坐标的意义，将坐标转化线段长是解答此类问题的关键；同时利用外角定理表示角之间的关系，也是解答此题的关键之处.
9．如图，长方形AOCB 的顶点A(m ，n)和C(p ，q)在坐标轴上，已知x m y n =ìí=î
和x p y q =ìí=î都是方程326x y +=的解，点B 在第一象限内．
（1）求点B 的坐标
（2）将线段AB 沿着y 轴负半轴方向向下平移6个单位长度到线段EF ，点P 从点O 出发以每秒1个单位长度沿O A B C ®®®的路线做匀速运动，同时点Q 也从点O 出发以每秒2个单位长度沿O E F C ®®®的路线做匀速运动．当点Q 运动到点C 时，两动点均停止运动，设运动的时间为t 秒，四边形OPCQ 的面积为S ．
①当2t =时，求S 的值；
②若5S <时，求t 的取值范围．
【答案】（1）B （2，3）；（2）①5；②02t £<或3＜t≤4.
【分析】（1）根据坐标轴上的点得出m=q=0，再根据二元一次方程的解分别求出n 和p ，得到A 和C 的坐标，从而得到点B 坐标；
（2）①当t=2时，得到OP 和OQ 的坐标，再计算结果；
②根据运动过程分当t≤3时，当3＜t≤4时，当4＜t≤5时和当t ＞5时，四种情况分别求解.
【详解】解：（1）∵A(m ，n)和C(p ，q)在坐标轴上，
∴m=0，q=0，代入326x y +=中，
10．如图，正方形ABCD 的边长是2厘米，E 为CD 的中点，Q 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点Q 以每秒1厘米的速度从A 出发沿A B C D ®®®运动，最终到达点D ，若点Q 运动时间为x 秒．
（1）当1x =时，AQE S D = 平方厘米；当32x =时，AQE S D = 平方厘米；
（2）在点Q 的运动路线上，当点Q 与点E 相距的路程不超过
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厘米时，求x 的取值范围；（3）若AQE D 的面积为13平方厘米，直接写出x 值．
11．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x 米，宽为y 米．
（1）当y ＝22时，求x 的值；
（2）由于受场地条件的限制，y 的取值范围为16≤y ≤26，求x 的取值范围．
【答案】（1）x ＝29；（2）27≤x ≤32
【分析】（1）由题意得2x +y ＝80，再将y ＝22代入即可求x ；
（2）由题意可得16≤80﹣2x ≤26，求出x 的范围即可．
【详解】解：（1）由题意得2x +y ＝80，
当y ＝22时，2x +22＝80，
∴x ＝29；
（2）∵16≤y ≤26，y ＝80﹣2x ，
8021680226
x x -³ì\í-£î，∴27≤x ≤32．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次不等式组，能够根据题意列式是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，我们规定：点(),P a b 关于“k 的衍生点”，()',P a kb a b ka ++-，其中k 为常数且0k ¹，如：点Q （1，4）关于“5的衍生点”，即()'15Q +´4,1+4-5´1，即()'21,0Q .（1）求点()3,4M 关于“2的衍生点” 'M 的坐标；
（2）若点N 关于“3的衍生点” ()'4,1N -，求点N 的坐标；
（3）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 关于“k 的衍生点” 1P ，点1P 关于“1-的衍生点” 2P ，且线段1PP
的长度不超过线段OP 长度的一半，请问：是否存在k 值使得2P 到x 轴的距离是1P 到x 轴距离的2倍？
若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）'(11,1)M ；（2）()1,1；（3）存在；1k =-.
【分析】（1）根据已知条件，直接按规定计算即可得解；
（2）设点N 的坐标为(),x y ，根据已知条件，列出二元一次方程组，解得即可；
（3）根据题意，得出()()()12,0,,,,3P a P a a ka P ka a ka --，即可判定2P 到x 轴的距离和1P
到x 轴的距离的关系，从而得出存在满足条件的k 值，然后列出一元一次方程，即可得解.
【详解】解：（1）根据已知条件，可得
'(324,3423)M +´+-´，即'(11,1)M ；
（2）设点N 的坐标为(),x y ，则有
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x y x y x +=ìí+-=-î解得11
x y =ìí=î即点N 的坐标为()1,1；
（3）由题意，可得()()()
12,0,,,,3P a P a a ka P ka a ka --2P 到x 轴的距离是3a ka -，1P 到x 轴的距离是a ka -，
若存在k 值使得2P 到x 轴的距离是1P 到x 轴距离的2倍
即322a ka a ka
-=-()10
k a +=∵点P 在x 轴的正半轴上，
∴0
a ＞
∴10k +=即1
k =-∴存在k 值使得2P 到x 轴的距离是1P 到x 轴距离的2倍, 1k =-.
【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中新规定下的点坐标的求解，熟练运用，即可解题.。