高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若 直 线 l 上 有 无 数 个 点 不 在 平 面 α 内 ， 则 l∥α.( )
(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行．( )
(3)若直线 l 与平面 α 平行， 则 l 与平面 α 内的任意一 条直线都没有公共点．( )
解析：如图所示： 我们借助长方体模型， 棱 AA1 所在直线有无数点在平 面 ABCD 外，但棱 AA1 所在直线与平面 ABCD 相交，所 以命题(1)不正确．
A1B1∥AB，A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB⊂平面 ABCD，所以命题(2)不正确． 直线 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 无公共点，l 与平面 α 内所有直线都没有公共点，所以命题(3)正确． 答案：(1)× (2)× (3)√
[变式训练] 若 a，b 是异面直线，且 a∥平面 α，则 b 与 α 的位置关系是( A．b∥α B．相交 C．b⊂α D．b⊂α 或 b 与 α 相交或平行 )
解析：三种情况如图①，②，③.
答案：D
类型 2 平面与平面的位置关系 [典例 2] 已知下列说法： ①若两个平面 α∥β，a⊂α ，b⊂β ，则 a∥b； ②若两个平面 α∥β，a⊂α ，b⊂β ，则 a 与 b 是异面 直线；
1．直线与平面的位置关系
位置关系 直线 a 在平面 α 内
公共点 符号表示 图形表示 无数个 公共点 一个公 共点 a⊂α
直线 a 与平面 α 相交
a∩α＝A
直线 a 与平面 α 平行 无公共点
a∥α
温馨提示 一般地，直线 a 在平面 α 内时，应把直线 a 画在表示平面 α 的平行四边形内，切勿画出来；直线 a 与平面 α 相交时，应画成直线 a 与平面 α 只有一个公共 点，被平面 α 遮住的部分画成虚线或不画；
[变式训练] α，β 是两个不重合的平面，下面说法 中正确的是( )
5．下列命题： ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若 l，m 是异面直线，l∥α ，m∥β ，则 α∥β. 其中错误命题的序号为________．
解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有 无数多个公共点，故 ① 错误；对于 ② ，借助于正方体 ABCDA1B1C1D1，AB∥平面 DCC1D1，
B1C1∥平面 AA1D1D，又 AB 与 B1C1 异面，而平面 DCC1D1 与平面 AA1D1D 相交，故②错误． 答案：①②
类型 1 直线与平面的位置关系(自主研析) [典例 1] 如图所示，ABCD­A1B1C1D1 为正方体，试 判定 BC1 与六个平面的位置关系．
解：因为 B∈面 BCC1B1，C1∈面 BCC1B1， 所以 BC1⊂面 BCC1B1.
解析：直线 a 与平面 α 平行与直线 a 在平面 α 内， 都有直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行，则 a 与 α 的 关系为不相交．故选 C. 答案：C
4．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交 线有________条． 解析：空间三个平面两两相交，则有一条交线或三条 交线，三条交线平行或相交于一点． 答案：1 或 3
2．已知直线 a∥平面 α，直线 b⊂α ，则 a 与 b 的关 系为( ) B．平行 D．平行或异面
A．相交 C．异面
解析：因为 a∥α，所以 a 与 α 无公共点，所以 a 与 α 内的直线无公共点，故选 D. 答案：D
3．若直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行， 则 a 与 α 的关系为( A．平行 C．不相交 ) B．在平面内 D．无公共点
③若两个平面 α∥β，a⊂α ，b⊂β ，则 a 与 b 一定不 相交；
④若两个平面 α∥β，a⊂α ，b⊂β ，则 a 与 b 平行或 异面； 其中说法正确的序号是________． 解析：①错．a 与 b 也可能异面． ②错．a 与 b 也可能平行． ③对．因为 α∥β， 所以 α 与 β 无公共点．
又因为 a⊂α，b⊂β， 所以 a 与 b 无公共点． ④对．由已知及③知：a 与 b 无公共点， 那么 a∥b 或 a 与 b 异面． 答案：③④
归纳升华 面面位置关系有两种：平行和相交．相交的判断主 要是以公理 3 为依据找出一个交点， 面面平行的主要特点 是没有公共点． 解题时要善于将自然语言或符号语言转化 成图形语言，借助空间想象力作出判断．
又因为 BC1 与面 ADD1A1 无公共点，所以 BC1∥面 ADD1A1. 因为 C1∈面 CDD1C1，B∉面 CDD1C1， 所以 BC1 与面 CDD1C1 相交，同理 BC1 与面 ABB1A 相交， BC1 与面 ABCD 相交，BC1 与面 A1B1C1D1 相交．
归纳升华 直线与平面的位置关系的判定 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行．本题借助几何模 型判断， 通过特例排除错误命题； 对于正确命题， 根据线、 面位置关系的定义或反证法进行判断． 要注意多种可能情 形．
直线 a 与平面 α 平行时， 应画成直线 a 与表示平面 α 的平行四边形的一条边平行， 并画在表示平面 α 的平行四 边形外．
2．两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行
图形表示
符号表示 α ∥β
公共点个数 无公共点 有无数个公共
两平面相交
α ∩β ＝l 点， 这些点在一 条直线上
温馨提示 画两个互相平行的平面时， 要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行， 两个平行四边形上 下放置．
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之的位置关系2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2．1.4 平面与平面之间的位置关系
[学习目标] 1.掌握空间中直线与平面的三种位置关 系，会判断空间中直线与平面的位置关系(重点)． 2.掌 握空间中平面与平面的两种位置关系， 会判断平面与平面 的位置关系． 3.学会用图形语言、符号语言来表示直线 与平面、平面与平面的位置关系(难点、易错点)．