2021年高考数学 参数方程课时提升作业 理 北师大版选修4-1

2021年高考数学参数方程课时提升作业理北师大版选修4-1
一、选择题
1.已知直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cosθ,则圆心C到直线l的距离是
( )
(A)2 (B) (C) (D)1
2.参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ=-6cosθ所表示的图形分别是( )
(A)圆和直线(B)直线和直线
(C)椭圆和直线(D)椭圆和圆
3.(xx·惠州模拟)直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为
( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
4.(xx·北京高考)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.
5.(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为
(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .
6.(xx·咸阳模拟)若直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=3,圆C:(φ为参数)上的点到直线l 的距离为d,则d的最大值为.
三、解答题
7.已知直线l过点P(1,-3),倾斜角为,求直线l与直线l′:y=x-2的交点Q与点P的距离|PQ|.
8.(xx·三明模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为(α为参数),点Q的极坐标为(2,).
(1)化圆C的参数方程为极坐标方程.
(2)若点P是圆C上的任意一点,求P,Q两点距离的最小值.
9.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为原点,Ox轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.
(2)若直线l和曲线C相切,求实数k的值.
10.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=,
(1)写出直线l的参数方程.
(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.
11.已知某圆的极坐标方程是ρ2-4ρcos(θ-)+6=0,
求:(1)圆的普通方程和一个参数方程.
(2)圆上所有点(x,y)中xy的最大值和最小值.
12.(xx·新课标全国卷)已知曲线C
1的参数方程是C
1
:(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C
2
上,且
A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标.
(2)设P为C
1
上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.直线l:(t为参数)的普通方程为x-y+1=0,圆C:ρ=
2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0)到直线l的距离d==. 2.【解析】选 D.参数方程(θ为参数)的普通方程为+y2=1,表示椭圆.极坐标方程ρ=-6cosθ的直角坐标方程为(x+3)2+y2=9,表示圆.
3.【解析】选B.
把直线代入x2+y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2=9,
即5t2+8t-4=0,
∴|t
1-t
2
|===.
∴弦长为|t
1-t
2
|=.
4.【解析】方法一:由直线(t为参数)与曲线(α为参数)的参数方程得(2+t)2+(-1-t)2=9,整理,得
t2+3t-2=0,方程有两个不相等的实数根,所以直线与曲线的交点个数有2个.
方法二:将直线(t为参数)与曲线(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程,得x+y-1=0,
x2+y2=9.原点(圆心)到直线的距离为d=<r=3,所以直线与圆相交,交点个数为2.
答案:2
5.【解析】消去参数t得抛物线的普通方程为y2=2px,准线方程为x=-,
因为M为抛物线上一点,所以有
|MF|=|ME|,又|MF|=|EF|,
所以三角形MEF为等边三角形,则|EF|=|MF|=2p=3-(-)=3+,解得p=2.
答案:2
6.【解析】由ρcos(θ-)=3得直角坐标方程为x+y-6=0,圆C:(φ为参数)的普通方程为x2+y2=1,圆心(0,0)到直线l的距离为d′==3>r=1,所以直线与圆相离,所以圆上的点到直线l的距离d的最大值为3+1.
答案:3+1
7.【解析】∵l过点P(1,-3),倾斜角为,
∴l的参数方程为(t为参数),
即(t为参数),
代入y=x-2得
-3+t=1+t-2,
解得t=4+2.
即t=2+4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值,根据参数t的几何意义,可知|t|=|PQ|,
∴|PQ|=4+2.
8.【解析】(1)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,
展开得x2+y2-2x+2y-2=0,
化为极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0.
(2)点Q的直角坐标为(2,-2),且点Q在圆C内,
因为|QC|=,所以P,Q两点距离的最小值为|PQ|=2-.
9.【解析】(1)由得直线l的普通方程为y=kx+1.
由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ,y2=4x,
曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)把y=kx+1代入y2=4x得k2x2+(2k-4)x+1=0,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1.
10.【解析】(1)直线的参数方程为(t为参数)
即(t为参数)
(2)把直线的参数方程(t为参数)代入x2+y2=4得
(1+t)2+(1+t)2=4,t2+(+1)t-2=0,
∴t
1t
2
=-2,则点P到A,B两点的距离之积为2.
11.【解析】(1)由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0,得
ρ2-4(ρcosθ·+ρsinθ·)+6=0,
∴普通方程为x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.
一个参数方程为(θ为参数)
(2)xy=(2+cosθ)(2+sinθ)=4+2(sinθ+cosθ)+2sinθcosθ令sinθ+cosθ=t∈[-,]得
2sinθcosθ=t2-1,
xy=t2+2t+3=(t+)2+1,
∴当t=-时,(xy)
min
=1,
当t=时,(xy)
max
=9.
12.【解析】(1)因为曲线C
2的极坐标方程ρ=2,所以曲线C
2
是圆心在极点,半径为2的圆,正
方形ABCD的顶点都在C
2
上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,),故B(2,),由对称性得,直角坐标分别为A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)由于点P为曲线C
1
:(φ为参数)上任意一点,得P(2cosφ,3sinφ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
=(2cosφ-1)2+(3sinφ-)2+(2cosφ+)2+(3sinφ-1)2+(2cosφ+1)2+(3sinφ+)2+(2cosφ-)2+(3sinφ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ
因为32≤32+20sin2φ≤52,
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52]. 21022 521E 刞,30314 766A 癪
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