【三维设计】高中数学 第1部分 第三章 §3 模拟方法 概率的应用配套课件 北师大版必修3

[一点通] 在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时， 常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自 区域特征，分别计算其面积，以公式 P(A)＝ 试验的构全成部事结件果A的构区成域的面区积域面积计算事件的概率即可．
3.如图所示，墙上挂有一边长为 a 的正方形木板， 它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为
4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地， 以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不 湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观 止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的 正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落 入孔中的概率(油滴的大小忽略不计)．
解：根据题意可知，铜钱的面积为 π(32)2＝94π，正方形孔的面 积为 1×1＝1. 由几何概型可知事件的概率等于相应面积的比， 即91 ＝94π.
5．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 Ml
水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为 ( )
A．0
B．0.002
C．0.004
D．1
解析：由几何概型公式得 P＝5200＝0.004.
答案：C
6．在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面 的距离都大于1的概率． 解：依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点
7.如右图，是一残缺的轻质圆形转盘，其 中残缺的每小部分与完整的每小部分的 角度比是3∶2，面积比是3∶4.某商家用 其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向 残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢．则 顾客赢的概率为________．
解析：指针在转盘上转动，只与所转过的角度有关系，且指 针自由转动，指向哪一部分是随机的，因此该问题属于角度 型几何概型． 因其角度比为 3∶2， 故商家赢的概率为36306˚0×˚ 35＝35， 顾客赢的概率为36306˚0×˚ 25＝25. 答案：25
[精解详析] 记 E：“A 与 C，B 与 C 之间的距离都不小 于 10m”，把 AB 三等分，由于中间长度为 30×13＝10m，所 以 P(E)＝1300＝13.
[一点通] 如果试验的结果所构成的区域的几何度量能 转化为实际意义上的线段长度，这种概率称为长度型的几何 概型．可按下列公式来计算其概率：
有无限多个
出现其中的一个结果
联系
每个基本事件(每一个试验结果)出现的可能 性相等
[例1] 如图A，B两盏路灯之间的距离 是30m，由于光线较暗，想在其间再随意 安装一盏路灯C，问A与C，B与C之间的距离都不小于10m 的概率是多少？
[思路点拨] 在A、B之间每一位置安装路灯C是一个 基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发 生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符 合几何概型条件．
圆心，半径为a2的圆弧．某人向此板投镖，假 设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一
样，则击中阴影部分的概率是
()
A．1－π4 C．1－π8
π B.4 D．与 a 的取值有关
解析：此题考查几何概型，正方形面积为 a2，阴影部分面积 为 a2－πa22，所以概率为a2－aπ2a22＝1－π4. 答案：A
解：设事件 A 为“等待上车的时间不多于 10 min”，设汽车 在时刻 60 min 时开走，则汽车在时刻 55 min 时进站上人， 所以此人只要在时刻 45 min 之后到达车站即可． 所以此人到达车站的时刻位于[45,60]这一时间段内，因此由 几何概型的概率公式，得 P(A)＝606－045＝14，即此人等待上车 时间不多于 10 min 的概率为14.
知识点一
§3 理解教材新知 模
知识点二
第拟 三方 章法
考点一 考点二
—
概 概率
把握热点考向
考点三 考点四
率的
应
用
应用创新演练
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频 率来估计其发生的 概率 ，但确定随机事件发生的频率常 常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时 很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机 事件发生的概率.
由正方体的性质可知 VB′－A′BC＝13SB′BC′·A′B′＝16a3. 故 P(E)＝VB′－VA′BC＝16aa33＝16.
[一点通] 如果试验的结果所构成的区域可用体积来度 量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本 事件所占的总的体积及事件 A 所分布的体积．其概率的计算
P(A)＝试验的构全成部事结件果A的构区成域的体区积域体积.
G1的面积 P(点 M 落在 G1)＝ G的面积 ，则称这种模型为几何概型． (2)说明：几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有 限区域，相应的概率是 体积 之比或 长度 之比．
几何概型与古典概型的比较：
类型 比较
几何概型
古典概型
试验中所有可能出 试验的所有可能结果只
区别
现的结果(基本事件) 有有限个，每次试验只
P(A)＝全部事试件验A结构果成构的成区的域区长域度长度.
1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率
是
()
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
解析：区间[2,3]长度为 1，总的区间[0,3]长度为 3，
∴P＝13. 答案：A
2．某人欲从某车站乘车出差，已知该人能乘坐的车均为每 小时一班，且车会在站内停留5 min等待旅客上车．求 此人等待时间不多于10 min即可上车的概率．
房间的纱窗破了一个小洞，假设一只蚊子随机飞向 纱窗，估计蚊子从这个小洞中穿过的概率．
问题1：此概率是古典概型吗？ 提示：不是．因为蚊子与纱窗的接触点有无限多个， 即试验的结果有无限多个． 问题2：蚊子接触纱窗上每个点的机会均等吗？ 提示：均等．
(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M， 若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面积成 正比 ，而 与 G 的形状、位置无关，即
8.如图，在等腰直角三角形ABC中，过 直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM， 与线段AB交于点AC， 则∠ACC′＝180°－ 2 45°＝67.5°. 设事件 A＝{在∠ACB 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度为 90°，事件 A 的 区域角度为 67.5°， ∴P(A)＝6970.5＝34.
[例 2] 向面积为 S 的矩形 ABCD 内任投一点 P，试求△ PBC 的面积小于S4的概率．
[思路点拨] 先利用图形找到 P 点所在的区域，然后利用 面积比求概率．
[精解详析] 如图所示，设△PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF 所在的直线交 AD 于点 E，当△PBC 的面积等于S4时， 即12BC·PF＝14BC·EF，
所以 PF＝12EF，过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于 G、 交 CD 于 H，所以满足 S△PBC＝S4的点 P 的轨迹是线段 GH.
所以满足条件“△PBC 的面积小于S4”的点 P 应落在矩 形区域 GBCH 内，
设“△PBC 的面积小于S4”为事件 A， S
所以由几何概型的概率公式得 P(A)＝S2＝12. 所以△PBC 的面积小于S4的概率是12.
[精解详析] 记“射线 OA 落在∠xOT 内”为事件 A. 构成事件 A 的区域大小是 60˚，所有基本事件对应的区域 大小是 360˚， 所以由几何概型公式得 P(A)＝36600˚˚＝16.
[一点通] 1．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以 角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是 两种不同的度量手段． 2．如果试验结果所构成区域的几何度量能转化为角度，这 种概率称为角度型几何概型，则可按下列公式来计算其概率： P(A)＝全部构试成验事结件果A构的成角的度角度.
1．求解几何概型的步骤： (1)适当选择观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域； (3)把随机事件A转化为与之对应的区域； (4)利用概率公式计算． 2．如果事件A对应的区域不易处理，可以用其对立事件 逆向求解．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨 的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景去判断．
到各面的距离都大于1，则满足题意的点区域为：位于该
正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定 义，可得满足题意的概率为P＝3133＝217.
[例4] 如右图，在直角坐标系内，∠xOT ＝60˚，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT 内的概率．
[思路点拨] 以O为起点作射线OA是随机的， 因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内 的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．
4π
[例3] 正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，在正方体 内随机取一点M.求点M落在三棱锥B′－A′BC内的概率．
[思路点拨] 本题中事件的全部结果对应的区域就是 棱长为a的正方体，而所求概率的事件应满足点M落在三棱 锥B′－A′BC内．
[精解详析] 记“点 M 落在三棱锥 B′－A′BC 内”为 事件 E.因为棱长为 a 的正方体的体积 V＝a3，