2016届高考数学理科一轮新课标A版开卷速查33不等关系与不等式

开卷速查(三十三) 不等关系与不等式
A 级 基础巩固练
1．若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B .b a ＜1
C ．lg (a －b)＞0
D .⎝ ⎛⎭
⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b 解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a 2
＜b 2
，b
a ＞1，lg (a －b)＝0，排除A 项，B 项，C 项，故选D .
答案：D
2．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝3
2时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件．
答案：A
3．已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2≥0
B.ac ＞bc
C ．|a |＞|b | D.2a ＞2b
解析：A 项中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 项不成立；当0＞a ＞b 时，C 项不成立；由a ＞b 知2a ＞2b 成立，故选D.
答案：D
4．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a
＞b ＞0，能推出1a ＜1
b 成立的有( )
A ．1个 B.2个 C ．3个 D.4个
解析：运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1
b ，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案：C
5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )
A.c a ＜b a
B.b －a c ＞0
C.b 2c ＜a 2c
D.a －c ac ＜0
解析：∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0，a ＞0，∴c a ＜b a ，b －a
c ＞0，
a －c ac
＜0，但b 2与a 2
的关系不确定，故b 2c ＜a 2
c 不一定成立．选C 项． 答案：C
6．若1a ＜1
b ＜0，则下列不等式： ①1a ＋b
＜1ab ； ②|a |＋b ＞0； ③a －1a ＞b －1
b ； ④ln a 2＞ln b 2. 其中，正确的不等式是( ) A ．①④ B.②③ C ．①③ D.②④
解析：因为1a ＜1
b ＜0，所以可取a ＝－1，b ＝－2.
1a ＋b
＝－13，1ab ＝1
2，故①成立； 又|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，故②错误； 又a －1a ＝0，b －1b ＝－3
2＜0，故③成立； 又ln a 2＝0，ln b 2＝ln22＞0，故④错误，选C. 答案：C
7．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2
≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3
y 4的最大值是
__________．
解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14，∴181≤y 2x 4≤1
16.
又∵3≤xy 2
≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y
2x 4
，且127≤xy 2·y 2
x 4≤12，∴2≤x 3y 4≤27. 答案：27
8．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞b
x 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是__________．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．
又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b
x ，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④
9．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则
a c －a ＞
b
c －b
；⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是__________(把正确命题的序号写在横线上)．
解析：若c ＞0，则①不成立；
由ac 2＞bc 2知c 2≠0，则a ＞b ，②成立； 由a ＜b ＜0知a 2＞ab ＞b 2，③成立；
由c ＞a ＞b ＞0，得0＜c －a ＜c －b ，则1c －a ＞1c －b ，则a c －a ＞b
c －b ，
④成立；
若a ＞b ，1a －1b ＝b －a
ab ＞0，则a ＞0，b ＜0，⑤成立． 答案：②③④⑤
10．若实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a 、b 、c 的大小．
解析：∵b －c ＝a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0， ∴b ≥c .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＋
c ＝5a 2
－8a ＋11， ①b －c ＝a 2
－6a ＋9， ② 由①＋②得b ＝3a 2－7a ＋10， ∵b －a ＝3a 2－7a ＋10－a ＝3a 2－8a ＋10 ＝3⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －432＋143＞0， ∴b ＞a .
由①－②得c ＝2a 2－a ＋1，
∴c －a ＝2a 2
－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122＋12＞0， ∴c ＞a .综上：b ≥c ＞a .
B 级 能力提升练
11．若a 、b ∈R ，则下列不等式：
①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1
a ≥2中一定成立的是( )
A ．①②③ B.①②④ C ．①②
D.②④
解析：①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0；
③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，
若a ＝b ，则上式＝0，不成立； ④若a ＜0，则a ＋1
a ＜0. ∴①②一定成立，故选C. 答案：C
12．已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：
①a c 2＞b c 2⇒a ＞b ；②a 3＞b 3，ab ＞0⇒1a ＜1b ；③a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b ；④0＜a ＜b ＜1⇒log a (1＋a )＞log b 11－a
.
其中正确的个数是( )
A ．1个 B.2个 C ．3个 D.4个
解析：由a c 2＞b
c 2可知c 2＞0， ∴a c 2·c 2＞b c 2·c 2，即a ＞b ，∴①正确． 由a 3＞b 3，ab ＞0，可得
a ＞
b ＞0或b ＜a ＜0，∴1a ＜1
b ，∴②正确． 由a 2＞b 2，ab ＞0可得a ＞b ＞0或a ＜b ＜0，
a ＞
b ＞0时，1a ＜1b ，但a ＜b ＜0时，1a ＞1
b ，故③不正确． ∵0＜a ＜b ＜1，∴log a (1＋a )＞log b (1＋a )． 又∵log b (1＋a )－log b 1
1－a ＝log b (1－a 2)＞0，
∴log b (1＋a )＞log b 1
1－a
，
∴log a (1＋a )＞log b 1
1－a ，故④正确，故选C.
答案：C
13．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x
y ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．
解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ， lg x
y ＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ， 设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝1. ∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y .
∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg x
y ≤4， ∴6≤lg(x 4y 2)≤10.
14．已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求c
a 的
取值范围．
解析：∵f (1)＝0，
∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，
∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0. ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c
a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧
2c a ＜－1，c a ＞－2.
解得－2＜c a ＜－12.。