(人教版)上海市必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
3
π
个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π
个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3
π
个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π
个单位长度，得到曲线2C 2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）
A ．
14
B ．
2
π C ．
4
π D ．
12
3．已知3
sin 5
α=-，则cos2=α（ ） A ．15-
B ．
15
C ．725
-
D ．
725
4．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π
个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．2sin 23
y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
C．
1
sin
23 y x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
D．
12
sin
23
y x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
5．已知函数()sin()(0)
f x x
ωω
=>在区间,
123
ππ
⎛⎤
-
⎥
⎝⎦
上单调递增，在区间
5
,
312
ππ
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（）
A．
3
6
2
k-，k∈N B．
3
6
2
k+，k∈N
C．
3
2
D．3
6．在ABC中，已知sin2sin()cos
C B C B
=+，那么ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状无法确定7．已知函数()()
sin0,
2
f x A x
π
ωϕωϕ
⎛⎫
=+><
⎪
⎝⎭
的部分图象如图所示，则()
f x的解析式为（）
A．()2sin26
f x x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
B．()2sin26
f x x
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
C．()sin23
f x x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
D．()sin23
π
f x x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
8．若
4
cos
5
θ=-，θ是第三象限的角，则
1tan
2
1tan
2
θ
θ
-
=
+
（）
A．
1
2
B．
1
2
-C．
3
5
D．-2
9．下面函数中最小正周期为π的是（）．
A．cos
y x
=B．
π
2
3
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
C．tan
2
x
y=D．2
2cos sin2
y x x
=+
10．函数cos2
y x
=的单调减区间是（）
A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
B ．π3π2π,2π,Z
22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈ D ．πππ,π,Z
44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
11．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛
⎫
⎛
⎫-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
（ ） A ．3
10
-
B ．
310 C ．
35
D ．
35
12．已知2
cos 43
2θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ） A ．
79 B ．
19
C ．－
19
D ．－
79
二、填空题
13．设()sin 2cos2f x a x b x =+，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号） ①11012f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭；②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；③()f x 不具有奇偶性；④()f x 的单调增
区间是()2,63k k k ππ⎡
⎤π+π+∈⎢⎥⎣
⎦Z ；⑤可能存在经过点(),a b 的直线与函数的图象不相交. 14．已知锐角α满足1
cos()3
5
π
α+
=
，则sin α=______． 15．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为
3
π
，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .
16．下列四个命题中：①已知()()()
sin cos 21
,sin cos 2
πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()
003tan 30tan 30-=-=③若3
sin α=则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B =
=则119
sin .125
C =其中真命题的编号有_______. 17．已知tan 3α=，则
2sin 21
sin cos 2ααα
-=+_________．
18．已知2sin 3θ=-
，3,
2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则tan θ=______． 19．已知：3sin 25πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭___________． 20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
___________. 三、解答题
21．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当,612x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域. 22．已知 3
sin 5
α=
，12
cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 23．已知函数()2
cos 3sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）函数()f x 的单调递减区间．
24．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .
（1）求h 与θ的函数关系式；
（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h . 25．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈
（1）求56
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）若0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的取值范围．
26．已知函数()211
cos cos 224
f x x x x =
+-，(x ∈R ) （1）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的取值集合； （2）用五点法做出该函数在[]0,π上的图象； （3）写出函数()f x 单调递减区间.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】 因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，
再将sin 2y x =的图象向右平移6π
个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象. 故选：D.
2．B
解析：B 【分析】
根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】
由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114
T
=-=，所以4T =，
又由
24w π=，解得2w π=. 故选：B.
3．D
解析：D 【分析】
由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5
α=-
， 所以2
97cos 212sin 122525
αα=-=-⨯=. 故选：D.
4．C
解析：C 【分析】
根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π个单位，得到函数sin()3y x π
=+的图
象； 将sin()3
y x π
=+
的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到
1sin()23
y x π
=+的图象．
∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得
1
()sin 2
3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．
故选：C ．
5．C
解析：C 【分析】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，可求得3
62
k ω=+
，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，所以
23
2
k π
π
ωπ⋅=+
，k Z ∈.得
362
k ω=+，k ∈N .
因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-
⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
上递减，所以312πππω≥+且5123
πππ
ω≥-， 解得1205
ω<≤.因此32ω=.
故选：C.
6．A
解析：A 【分析】
先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】
∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，
∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=， 又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形． 故选：A ．
7．A
解析：A 【分析】
利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点
,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.
【详解】
由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝
⎭， 22T
π
ω∴=
=，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，56
3
6π
π
πϕ∴-
<
+<
，32ππϕ∴+=，解得6
π
=ϕ， 因此，()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选：A.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
πω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
8．D
解析：D 【分析】
根据4cos 5θ=-
，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入
1tan
21tan 2
θ
θ-+求
解. 【详解】
因为θ为第三象限角， 所以
2
θ
可能为二､四象限角，
所以tan 32θ===-， 所以
1tan
1322131tan
2
θ
θ-+==--+. 故选：D.
9．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】
()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；
π3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的周期为2π，故B 不符合题意；
画出函数tan
2x y =的图象，易得函数tan 2
x
y =的周期为2π，故C 不符合题意；
2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛
⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭，周期为π，故D 符合题
意． 故选：D
10．A
解析：A 【分析】
根据余弦函数的性质，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈求解. 【详解】
令222,k x k k Z πππ≤≤+∈， 解得2,2
k x k k Z π
ππ≤≤+
∈，
所以函数cos 2y x =的单调减区间是ππ,π,Z 2k k k ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， 故选：A
11．B
解析：B 【分析】
利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】
sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()2222
2
2
11sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 22
1tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B
12．C
解析：C 【分析】
根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果.
【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=
⎪⎝
⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫
=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C
二、填空题
13．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正
解析：①③ 【分析】 由题可知，直线6
x π
=
与函数()f x 的图象的一条对称轴，可求得3a
b ，可化简函数
()f x 的解析式为()2sin 26f x b x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.计算出
1112
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可判断①的正误；计算710f π⎛⎫
⎪⎝⎭、5f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取0b >，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数
()f x 的最值可判断⑤的正误.
【详解】 由题可知，直线6
x π
=与函数()f x 的图象的一条对称轴，
可得162f b π⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭
，整理可得2230a b -+=，即()
2
0a -
=，a ∴=.
()
sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛
⎫∴=+=+ ⎪⎝
⎭.
对于命题①，11112sin 2012
126f b π
ππ⎛⎫⎛⎫=⨯
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，①正确； 对于命题②，
7747172sin 22sin 2sin 101063030f b b b ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+==+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
17172sin
2sin 3030
b b ππ
=-=， 172sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，7105f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，②不正确； 对于命题③，2sin 66f b b ππ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 262f b b ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
则66f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且66f f ππ⎛⎫⎛⎫
-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以，函数()f x 不具有奇偶性，③正确； 对于命题④，当()2,6
3x k k k π
πππ⎡⎤
∈+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z 时，则()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 当0b >时，函数()f x 在区间()2,63k k k π
π⎡
⎤
π+π+∈⎢⎥⎣
⎦Z 上单调递减，④错误； 对于命题⑤，假设经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，
则该直线与x 轴平行，此时该直线的方程为y b =，则2b b >，由于0b ≠，矛盾，⑤错误.
故答案为：①③. 【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
分析得出直线6x π=与函数()f x 的图象的一
条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出a 、b 的倍数关系.
14．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据
代入计算解得故答案为：
【分析】
利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可． 【详解】
1cos cos 2513πααα⎛
⎫+=⋅= ⎪⎝
⎭，
解得2
cos 5
αα=+，根据22sin cos 1αα+=，
代入计算，解得sin α=
故答案为：
263
10
-. 15．【分析】设利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长表示出矩形的面积为借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可【详解】解：如图：做的角平分线交于设则在中由正弦定理可知：则所以矩形农田的面 解析：()
1000023-
【分析】
设EOA θ∠=，利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长，表示出矩形的面积为()
2sin 302sin S R R θθ=-⋅，借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可. 【详解】
解：如图：做AOB ∠的角平分线交BE 于D ，设EOA θ∠=，则
()
22sin 30DE R θ=-，
150OFE ∠=，在OFE △中，由正弦定理可知：
sin sin150
EF R
θ= ，则2sin EF R θ= 所以矩形农田的面积为：
()22sin 302sin 4sin sin(30)S R R R θθθθ=-⋅=- 22
132sin 2cos 232R R θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
()222sin 2603R R θ=+-
当(
)sin 260
1θ+=时，即15θ=时，S 有最大值为()2
23R
-
又100R =，所以面积的最大值为()
1000023-. 故答案为：()
1000023-.
【点睛】
本题考查在扇形中求矩形面积的最值，属于中档题. 思路点睛：
（1）在扇形中求矩形的面积，关键是设出合适的变量，一般情况下是以角度为变量； （2）合理的把长和宽放在三角形中，利用角度表示矩形的长和宽； （3）对三角函数合理变形，从而求出面积.
16．②③【分析】对于①：运用诱导公式化简再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系切化弦再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求
解析：②③ 【分析】
对于①：运用诱导公式化简，再运用同角三角函数的关系可判断；
对于②：先运用同角三角函数的商数关系“切化弦”，再运用诱导公式可判断； 对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断； 对于④：运用同角三角函数求得244
cos ,sin ,255
A B ==再用正弦的和角公式代入可判断． 【详解】
对于①：因为
()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos α
ααα
+=-即
tan 11
,tan 12
αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确； 对于②：因为()()(
)0
00
sin 30sin 30
tan 30tan 30cos30
3
cos 30---
=
==-=-
-故②正确；
对于③：因为sin α=所以2
2
1cos 212sin 1222αα⎛⎫=-=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，故③正确；
对于④：因为在锐角三角形ABC 中， 73
sin ,cos ,255
A B =
=所以00,02
2
2
A B C π
π
π
<<
<<
<<
，，
所以244
cos ,sin ,255
A B ==
==所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117
sin cos +cos sin +255255125
A B A B ==
⨯⨯=，故④不正确， 故答案为：②③．
17．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-
【分析】
可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】
tan 3α=,
()2222
2sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα
-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-. 故答案为：4-.
18．【分析】根据角的范围和同角三角函数的关系求得从而求得答案【详解】因为所以所以故答案为：
【分析】
根据角的范围和同角三角函数的关系求得cos θ，从而求得答案. 【详解】 因为2sin 3θ=-
，3,
2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以cos 0θ<
，cos 3θ===-，
所以sin tan cos θθθ==
，
. 19．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：
解析：
10
【分析】
由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】 由已知3sin cos 25παα⎛⎫
+== ⎪
⎝
⎭，又α为第四象限角，∴4
sin 5
α=-，
∴34cos cos cos sin sin ()44455πππααα⎛
⎫
+=-=--= ⎪
⎝
⎭
故答案为：
10
． 20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能
否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算
解析：4
5
【分析】
本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1
αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4
cos 2sin 22sin cos tan 15
παααααααα⎛
⎫
-==== ⎪++⎝
⎭， 故答案为：45
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
三、解答题
21．（1）单调递增区间为：,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；单调递减区间为：
2
,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；（2）⎡-⎣. 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，进而根据正弦函数的单调性即可求解. （2）由题意可求范围2,663x π
ππ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
，利用正弦函数的性质即可求解其值域. 【详解】
解：（1）()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
++- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
122cos 24(cos sin )(cos sin )222x x x x x x ⎫=-+⨯-⨯+⎪⎪⎝⎭
2cos 22cos 2x x x =-+
2cos2x x =+
2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈，解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈，
令32222
6
2
k x k π
π
πππ+
≤+
≤+
，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，
故函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，
单调递减区间为：2,6
3k k π
πππ⎡
⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）当,612x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
可得1sin 2262x π⎛
⎫-
≤+≤
⎪⎝⎭
，
可得12sin 26x π⎛
⎫
-≤+≤ ⎪⎝
⎭
()f x
的值域为⎡-⎣. 22．1665-
；3365；24
7- 【分析】
由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及
tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解. 【详解】
因为,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，3sin 5α=，
所以4cos 5α===-，
因为3,
2πβπ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，12cos 13
，
所以5sin 13β===-， 所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365
αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=
⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4123533
cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫
⨯- ⎪
⎝⎭===--⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
综上所述：16sin()65αβ+=-
，33
cos()65αβ-=，24tan 27
α=-
. 23．（1）π；（2）2,,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
【分析】
（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为()1
sin 262
f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，由周期公式即可求解.
（2）由正弦函数的单调递减区间32,2,2
2k k k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
，整体代入即可求解. 【详解】
（1）()21cos 21cos cos sin 2262x f x x x x x π+⎛⎫===++ ⎪⎝
⎭， 所以函数的最小正周期222
T π
π
πω
==
=， （2）3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈， 解不等式可得2,6
3k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为2,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
24．（1） 5.6 4.8cos h θ=-；（2）3.2m. 【分析】
（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B 的坐标后可得h 与θ间的函数关系式； （2）由60秒转动一圈，易得点A 在圆上转动的角速度是/30
rad s π
，再计算出经过10秒
后转过的弧度数为3
π
，然后代入（1）中所求函数解析式计算即可得到答案. 【详解】
（1）以圆心O 原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，
则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2
π
θ-，
故点B 坐标为 4.8cos ,4.8sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫-
- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴ 5.6 4.8sin 5.6 4.8cos 2h πθθ⎛
⎫
=+-
=- ⎪⎝
⎭
； （2）点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是/30
rad s π
，
∴经过t 秒后转过的角度30
t π
θ=，则经过10秒后转过的角度为3
π
θ=
，
∴ 5.6 4.8cos 5.6 2.4 3.23
h π
=-=-=（m ）.
【点睛】
关键点点睛：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O 为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键． 25．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】
（1）本题可直接将56
x π
=
代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，然后根据0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】 （1）55533sin 3cos 06
33f π
ππ⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
， 当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛
⎫⎡⎤
+
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，函数()f x 的取值范围为[]1,2. 26．（1）,6x x k k Z π
π⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
；（2）图象见解析；（3）()2,63k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】
利用二倍角和辅助角公式可化简得到()1sin 226f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭， （1）令()226
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解方程可求得所求的取值集合；
（2）利用五点法得到特殊点对应的函数值，由此可画出函数图象； （3）令()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈，解不等式求得x 的范围即可得到所求区间. 【详解】
()11cos 22sin 24426f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，
（1）当()226
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈时，()f x 取得最大值，此时()6
x k k Z π
π=
+∈，
x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
；
（2）由题意可得表格如下：
（3）令
()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈，解得：()26
3
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， ()f x ∴的单调递减区间为()2,
6
3
k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
方法点睛：求解正弦型函数()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴和对称中心、最值点问题时，通常采用整体对应的方法，即令x ωϕ+整体对应sin y x =的单调区间、对称轴和对称中心、最值点即可.。