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命题与简易逻辑
知识网络结构
重要知识点精析
1.能够判定真假的语句,称为命题。

不可分解为更简单命题的命题称为简单命题，由简单命题利用逻辑联结构成的命题称为复合命题。

常用的逻辑联结词有：或(∨),且(∧),非(¬)。

2.交换原命题的条件与结论，所得命题是原命题的逆命题。

同时否定原命题的条件与结论，所得命题是原命题的否命题。

交换原命题的条件与结论，且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题。

互为逆否命题的两个命题有相同的真假值。

3．若命题“若P,则 q”是真命题，可记为“P q
⇒”,此时称p是q的充分条件，q 是p的必要条件。

若P q
⇔,也就是P既是q的充分条件,也是q的必要条件，则称p是q 的充分条件，也可说q是p的充要条件。

数学思想方法
1.正确理解命题及逻辑联结词与生活语言的差异，比如对复合命题的理解不应以是否命含有：或（或者，…），且（和，而且…），非（不，不是…）这些词为准，有些含有这些词的命题未必是复合命题，如：张三和李四是兄弟，方程21
x=的根是1或-1等都应是简单命题。

⌝是完全不同的两回事应加以区别。

2.命题P的否命题与p
3.充要条件是相互的。

本讲内容在高考中主要考查基本概念和基本原理，一般不单独命题，只能与其他知识结合，其中“命题”部分是新添内容，高考中未涉及。

等价转化思想
例1 如果一元二次方程2-2(2)x kx k ++=0有两个不等实数根，求k 的取值范围。

解：一元二次方程2-2(2)x kx k ++=0有两个不等实数根的充要条件是
2
(2)4(2)0k k ∆=-+> 即2202k k k -->⇒>或1k <-
说明：充要条件是实现等价转化的重要基础。

例2：指出下列各题中的“p 或q ”, “p 且q ”, “非q ”形式的复合命题的真假。

（1）p :任意两质数的和是偶数，
p :任意两合数的和是偶数；
（2）p :函数21y x =-+
p : 函数22y x =-+
(3) p :两无理数的和仍是无理数
q :两无理数的积仍是无理数
思维拓展：判断复合命题真假的方法是：
（1） 当且仅当p 、q 都假时“p 和q ”是假命题；
（2） 当且仅当p 、q 都真时，“p 且q ”是真命题；
（3） “和非q ”都真假与p 恰好相反。

例3 写出命题“若22x y ≠,则x y ≠且x y ≠-”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这4种命题的真假。

思路分析：通过对命题“换质”、“换件”完成。

解：原命题：若22x y ≠，则x y ≠+且x y ≠-。

逆命题：若x y ≠,且x y ≠-,则22x y ≠。

否命题：若22x y =则x y =或x y =-。

逆否命题：若 x y =或x y =-,则22x y =。

此4个命题都是真命题.
思维拓展：一般说来原命题同真同假，否命题与逆命题同真同假。

说明：得用四种命题中的等价关系，可解决此类问题。

反证法：
例4 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角为直角。

命题目的：考查反证法的应用。

思路分析：已知ABC ∆
求证：∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是直角。

此题看似简单，实则很难从正面入手，可考虑反证法。

证明：假设ABC ∆中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B= 90°。

则∠A +∠B +∠C= 90°+∠C
∠
C >0° ⇒∠A +∠B +∠C >180°
⇒ ∠A =∠B=90°和∠B=∠C=90°也是不可能的
∴ 一个三角形中不能有两个角都是直角。

反证法是一种非常重要的解题方法，正难则反，当正面入手往往会找到比较
较简便的方案,反证法正是基于这种考虑。

它的步骤大体是：反设（否定结
论）、归谬、结论。

例5 抛物线上任取不同4点组成的四边形不可能是平行四边形。

思路分析：本题从正面突破困很大，可采用反证法。

解：如图1-16设抛物线方程为211113344,(,),(,),(,),(,)y ax A x y B x y C x y D x y =是
抛物线上4点且四边形A ＢＣＤ是平物四边形，有
22,(1,2,3,4),i i i i y y ax x i a
===∴212121,AB y y a k x x y y -==--32BC a k y y =-4314
,CD DA a a k k y y y y ==-- 由ABCD 知：
1324,,AB CD BC AD k k k k y y y y ==∴==，进而1324,x x x x ==于是Ａ，Ｃ重合,B ,D 重合。

这
与Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是抛物线上不同４点矛盾，故ＡＢＣＤ不可能组成平行四边形。

解题方法指导
1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义，并会用它们构造复合命题；对逻辑联结词“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，望读者引起重视。

2．会判断一个复合命题由哪个逻辑联结词及简单命题构成。

3．能分别依据有关的真值表判定复合命题的真假；三个真值表是按先易后难的顺序编排的；对于三个真值表，可做如下说明：
（1）“非P ”形式的复合命题的真假与P 的真假相反；
（2）“p 且q ”形式的复合命题公当p 与q 同为真时为真，其他情况皆为假；
（3）“p 或q ”形式的复合命题仅当p 与q 同为假时为假，其他情况时皆为真。

（4）命题知识与集合知识有密切的联系，例如，集合中的“并”、“交”、“补”，与逻辑联词“或”、“且”、“非”密切相关，并集、交集、补集的定义分别是{A B x A ⋃=∈或}x B ∈ {|U C A x x S =∈且}x A ∉
4．四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系不（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1） 交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原业命题的逆命题；
（2） 同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3） 交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

5．反证法是通过证明命题的结念经的反面不成立而肯定命题成立的一种数学证明方法，是间接证法之一，关于反证法，提出下面几条供读都参考：
（1） 何时使用反证法：
① 应用直接证法困难，再考虑使用反证法。

② 当待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“惟一”等字眼时，可考虑用反证法。

（2） 假设的作用：对原结论否定的假设提出，相当于增加了一个已知条件。

（3） 矛盾的选择宜顺其自然：
假出假设后，可把假设当作已知条件一部分，与原来的已知条件合在一起，用这们的全部或一部分进行推理。

由于选用的条件不同，推出的矛盾也就不同，可以与“已知条件”、“定义”、“公理”、“假设”等矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果相矛盾）。

可见，矛盾是在推理过程中产生的，而不是在推理之前或确定的。

6. “充分条件”和“必要条件”是数学中重要的概念之一，它讨论“若p 则q ”的命题中的条件和结论的逻辑关系。

因此，必须真正弄懂遵守纪律并善于应用它去分析和解决有关问题。

① 当p q ⇒时，称条件p 是条件q 的充分条件,意指为使q 成立，具备条件p 就足够了，“充分”即“足够”的意思。

当pq 时，也称条件q 是条件p 的必要条件，因为p q ⇒等价于非p ⇒非q 即若不具备q ，则p 必不成立，所以，要使p 成立，必须具备q 。

“必要”即“必须具备”的意思。

“若p 则q ”形式的命题，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系有四种可能：（1）p q ⇒用q p ⇒不一定成立：这时，p 是q 的充分而不必要条件：（2）q p ⇒且p q ⇒:这时，称p 是q 的充分且必要条件；（4）p q ⇒不一定成立且p q ⇒不一定成立：这时，称p 是q 的既不充分也不必要条件。

② 由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，要考虑，可考虑“止难而反”的原则，既在正面
判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

③ 一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

例1 已知两个命题：p 函数2(0)y na bx c a =++≠的图像与x 轴一定有公共点。

共点；q 函数2(0)y na bx c a =++≠的图像与y 轴一定公共点。

写出这组命题构成的“非p ”、“p 或q ”形式的复合命题，并判断它们的真假。

分析：由简单命题组成的复合命题的真、假判断可利用真值表来进行。

非p :函数2(0)y na bx c a =++≠的图像与x 轴不一定有公共点。

p 假，∴非p 为真命题。

P 或q ：函数2(0)y na bx c a =++≠的图像与x 轴或y 轴一定公共点。

p 假q 真，∴p 或q 为真命题。

p 且q ：函数2(0)y na bx c a =++≠的图像与x 轴、y 轴一定都有公共点。

p 假q 真，p 且q 为假命题。

例2 2(1)0y +=,则2x =且1y =-”的逆命题,否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

分析 判断四种命题的真假时，可选 判断原命题及逆命题的真假，再利用命题的等价性得出否命题的真假。

写一个命题的否命题时，应知道“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”，如“x A =且x B =”的否定是“x A ≠或x B ≠”，“x A =或x B =”的否定是 “x A ≠且x B ≠”。

例3 已知：21:342,:
02
p x q x x ->>--则，则p ⌝是p ⌝的（ ） A ． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C ． 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
分析 判断命题间的充要关系，首先要分清哪个作为条件，哪个作为结论；其次要理解充分条件，必要条件、充要条件的意义。

本题中 ， 命题p 和q 之间的关系不甚明显，需各自等价转化，再找关系。

p :3422x x ->⇔>或23x <。

q:21022
x x x >⇔>--或1x <-。

由此可发现p ⇔q 。

再由“p q ⌝⇒⌝”因此，p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件。

例4 已知r 是p 、q 的必要条件，S 是r 的必要条件，又是q 的充分条件，那么p 是q 的______。

条件。

分析 此题涉及的命题及关系较多，需列出p 、q 、r 、S 之间的 “关系网”，以便迅速寻找p 、q 之间的关系。

根据已知，有
因此，p是q的充分不必要条件。