2024届安徽省泗县一中高一数学第二学期期末预测试题含解析
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2024届安徽省泗县一中高一数学第二学期期末预测试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1.在[]0,5中任取一实数作为x ,则使得不等式()2log 11x ->成立的概率为( ) A .
12
B .
35
C .
25
D .
13
2.点()3,2A -,()3,2B ,直线10ax y --=与线段AB 相交,则实数a 的取值范围
是( ) A .4132
a -
≤≤ B .1a ≥或1a ≤- C .11a -≤≤ D .4
3
a ≥
或12a ≤
3.平面α平面β,直线a α⊂,b β⊂ ,那么直线a 与直线b 的位置关系一定是
( ) A .平行
B .异面
C .垂直
D .不相交
4.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 A .
1
3
B .
12
C .
23
D .
34
5.已知AB =(2,3),AC =(3,t ),BC =1,则AB BC ⋅= A .-3 B .-2 C .2
D .3
6.函数2sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象( ) A .关于点(-6
π
,0)对称 B .关于原点对称 C .关于y 轴对称
D .关于直线x=
6
π
对称 7.如图,某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )
A .
33
B .
23
3
C .3
D .3
8.已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A .[0,1]
B .(0,1]
C .(,0)(1,)-∞⋃+∞
D .(,0][1,)-∞⋃+∞
9.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()cos 4cos a B c b A =-,则
cos2A =( )
A .
78
B .
18
C .78
-
D .18
-
10.在ABC 中,已知sin cos sin A B C =, 那么ABC 一定是( ) A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .正三角形
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11.已知等腰三角形底角的余弦值等于
4
5
,则这个三角形顶角的正弦值为________. 12.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为________. 13.若()()()12f k k k k =+++++
()
2k k N *∈,则()()1f k f k +-=________.
14.弧度制是数学上一种度量角的单位制,数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长,则该扇形圆心角的弧度数是__________. 15.已知向量(
)
3,1a =,则a =________
16.在
中,比长4,比长2,且最大角的余弦值是
,则
的面积等于
______________.
三、解答题:本大题共5小题,共70分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知函数f (x )=a sin (
4
πx )(a >0)在同一半周期内的图象过点O ,P ,Q ,其
中O 为坐标原点,P 为函数f (x )的最高点,Q 为函数f (x )的图象与x 轴的正半轴的交点,△OPQ 为等腰直角三角形. (1)求a 的值;
(2)将△OPQ 绕原点O 按逆时针方向旋转角α(0<α4
π
<),得到△OP ′Q ′,若点P ′
恰好落在曲线y 3x =
(x >0)上(如图所示),试判断点Q ′是否也落在曲线y 3
x
=(x >0),并说明理由.
18.已知数列{}n a 和{}n b 中,数列{}n a 的前n 项和为n S ,若点(),n n S 在函数
214y x x =-+的图象上,点(),n n b 在函数2x y =的图象上.设数列{}{}n n n c a b =.
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n c 的前n 项和n T ; (3)求数列{}n c 的最大值.
19.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量,其中()1,2a =. (Ⅰ)若()2,c λ=,且//c a ,求c ;
(Ⅱ)若()1,1b =,且ma b -与2a b -垂直,求实数m 的值. 20.设函数22()(sin cos )33f x x x x =++(1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)当5,46x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
时,求函数()f x 的值域. 21.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知
sin sin 4cos sin a C c A a B C +=.
(Ⅰ)求B ;
(Ⅱ)若3a =,2c =,求πsin 23C +
⎛⎫
⎪⎝
⎭
的值.
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
先求解不等式()2log 11x ->,再利用长度型的几何概型概率公式求解即可 【题目详解】
由题,因为()2log 11x ->,解得3x >, 则532
55
P -=
=, 故选:C 【题目点拨】
本题考查长度型的几何概型,考查解对数不等式 2、B 【解题分析】 根据()3,2A -,()3,2B 在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.
【题目详解】
因为直线10ax y --=与线段AB 相交, 所以,()3,2A -,()3,2B
在直线异侧或其中一点在直线上,
所以()()3213210a a -----≤, 解得1a ≥或1a ≤-,故选B. 【题目点拨】
本题主要考查点与直线的位置关系,考查了一元二次不等式的解法,属于基础题. 3、D 【解题分析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线a 与直线b 没有公共点. 【题目详解】
由题平面α
平面
β,直线a α⊂,b β⊂
则直线a 与直线b 的位置关系平行或异面,即两直线没有公共点,不相交. 故选D. 【题目点拨】
本题考查空间中两条直线的位置关系,属于简单题. 4、B 【解题分析】
试题分析:由题意,这是几何概型问题,班车每30分钟发出一辆,到达发车站的时间总长度为40,等车不超过10分钟的时间长度为20,故所求概率为201
402
=,选B. 【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 5、C 【解题分析】
根据向量三角形法则求出t ,再求出向量的数量积. 【题目详解】
由(1,3)BC AC AB t =-=-,211BC ==,得3t =,则(1,0)BC =,
(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=.故选C .
【题目点拨】
本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大. 6、A 【解题分析】
,06
x y π
=-
=∴关于点(-6
π,0)对称,选A.
7、A
【解题分析】
首先根据三视图画出几何体的直观图,进一步利用几何体的体积公式求出结果. 【题目详解】
解:根据几何体得三视图转换为几何体为:
故:V 113
213323
=
⨯⨯⨯=
. 故选:A . 【题目点拨】
本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题. 8、A 【解题分析】
分别讨论0k =和0k ≠两种情况下,2680kx kx k -++≥恒成立的条件,即可求得k 的取值范围. 【题目详解】
当0k =时,不等式2680kx kx k -++≥可化为80≥,其恒成立
当0k ≠时,要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥任意x ∈R 恒成立,
只需2
364(8)0k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩
解得:01k <≤. 综上所述,k 的取值范围是[0,1]. 故选:A. 【题目点拨】
本题考查了含参数一元二次不等式恒成立问题,解题关键是掌握含有参数的不等式的求解,首先需要对二次项系数讨论,注意分类讨论思想的应用,属于基础题. 9、C 【解题分析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ,进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【题目详解】
∵()cos 4cos a B c b A =-. ∴sin A cos B =4sin C cos A ﹣sin B cos A
即sin A cos B +sin B cos A =4cos A sin C ∴sin C =4cos A sin C ∵1<C <π,sin C ≠1. ∴1=4cos A ,即cos A 14
=
, 那么2
7cos2218
A cos A =-=-. 故选C 【题目点拨】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用,考查计算能力,属于基础题. 10、B 【解题分析】
先化简sin Acos B =sin C=()
sin A B +,即得三角形形状. 【题目详解】
由sin Acos B =sin C 得()sin cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B A B =+=+ 所以sinBcosA=0,因为A,B ∈(0,π), 所以sinB >0,所以cosA=0,所以A=2
π, 所以三角形是直角三角形. 故答案为A 【题目点拨】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11、
2425
【解题分析】
已知等腰三角形可知α为锐角,利用三角形内角和为π,建立底角和顶角之间的关系,再求解三角函数值. 【题目详解】
设此三角形的底角为α,顶角为β,易知α为锐角,则4
cos 5α=
,3sin 5
α=,所以4324sin sin π2sin 22sin cos 2555
()2βαααα=-===⨯⨯=
.
给值求值的关键是找准角与角之间的关系,再利用已知的函数求解未知的函数值. 12、1
1,1
2,2n n n a n --=⎧=⎨
≥⎩
【解题分析】 利用11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩来求{}n a 的通项.
【题目详解】
11,122,2n n n n a n --=⎧=⎨-≥⎩ ,化简得到11,12,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩,填1
1,12,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩
. 【题目点拨】
一般地,如果知道{}n a 的前n 项和{}n S ,那么我们可利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求其
通项,注意验证1n =时,()1n n f n S S -=-(与n 有关的解析式)的值是否为1S ,如果是,则()n a f n =,如果不是,则用分段函数表示n a . 13、33k + 【解题分析】
观察式子特征,直接写出()1f k +,即可求出()()1f k f k +-。
【题目详解】
观察()f k 的式子特征,明确各项关系,以及首末两项,即可写出(1)f k +, 所以(1)1(2)(3)2(21)(22)f k k k k k k k +=++++++
+++++,相比()f k ,增
加了后两项21,22k k ++,少了第一项k ,故
()()1(21)(22)33f k f k k k k k +-=+++-=+。
【题目点拨】
本题主要考查学生的数学抽象能力,正确弄清式子特征是解题关键。
14、1 【解题分析】
设扇形的弧长和半径长为l ,由弧度制的定义可得,该扇形圆心角的弧度数是1l
l
α==. 15、2
由向量的模长公式,计算得到答案. 【题目详解】 因为向量(
)
3,1a =,
所以()
2
2312a =
+=,
所以答案为2. 【题目点拨】
本题考查向量的模长公式,属于简单题. 16、
【解题分析】
由a 比c 长4,b 比c 长2,用c 表示出a 与b ,可得出a 为最大边,即A 为最大角,可得出cosA 的值,由A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出A 的度数,同时利用余弦定理表示出cosA ,将表示出的a 与b 代入,并根据最大角的余弦值,得到关于c 的方程,求出方程的解得到c 的值,然后由b ,c 及sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【题目详解】
根据题意得:a =c +4,b =c +2,则a 为最长边, ∴A 为最大角,又cosA =
,且A 为三角形的内角,
,
整理得:,即(c −3)(c +2)=0,
解得:c =3或c =−2(舍去), ∴a =3+4=7,b =3+2=5, 则△ABC 的面积S =bcsinA =.
故答案为:.
【题目点拨】
余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时
还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住
等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
三、解答题:本大题共5小题,共70分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)2;(2)见解析. 【解题分析】
(1)由已知利用周期公式可求最小正周期T =8,由题意可求 Q 坐标为(1,0).P 坐标为(2,a ),结合△OPQ 为等腰直角三角形,即可得解a 2
OQ =
的值.
(2)由(Ⅰ)知,|OP |=2,|OQ |=1,可求点P ′,Q ′的坐标,由点P ′在曲线y 3
x
=(x >0)上,利用倍角公式,诱导公式可求cos234α=
,又结合0<α2
π
<,可求sin2α的值,由于1cosα•1sinα=8sin2α=7≠3,即可证明点Q ′不落在曲线y 3
x
=(x >0)
上. 【题目详解】
(Ⅰ)因为函数f (x )=a sin (4
πx )(a >0)的最小正周期T 24
π
π
==
8, 所以函数f (x )的半周期为1, 所以|OQ |=1.即有 Q 坐标为(1,0). 又因为P 为函数f (x )图象的最高点, 所以点P 坐标为(2,a ),
又因为△OPQ 为等腰直角三角形, 所以a 2
OQ =
=2.
(Ⅱ)点Q ′不落在曲线y 3
x
=
(x >0)上. 理由如下:由(Ⅰ)知,|OP |=2,|OQ |=1, 所以点P ′,Q ′的坐标分别为(2(4
π
α+),2sin (4
π
α+
)),(1cosα,1sinα),
因为点P ′在曲线y 3
x =(x >0)上, 所以3=8cos (4
πα+
)sin (4
π
α+
)=1sin (22
π
α+
)=1cos2α,即cos234
α=
,
又0<α2π
<,
所以
sin2α4
=. 又1cosα•1sinα=8sin2α=
8=
2≠3. 所以点Q ′不落在曲线y 3x
=(x >0)上. 18、(1)215n a n =-+(2)1(172)234n n T n +=-⋅-(3)192
【解题分析】
(1)先根据题设知214n S n n =-+,再利用n 1S n n a S -=-求得n a ,验证1a 符合,最
后答案可得.
(2)由题设可知2n
n b =,把n a 代入n n a b ,然后用错位相减法求和;
(3)计算1n n c c +-,判断其大于零时n 的范围,可得数列{}n c 取最大值时的项数,进而可得最大值..
【题目详解】
解:(1)由已知得:214n S n n =-+, ∵当2n ≥时,1215n n n S S a n --=-+=,
又当1n =时,1113a S ==符合上式.
215n a n ∴=-+
(2)由已知得:2,n n b =
(215)2n n n n c a b n ∴==-+⋅
12313211292(215)2n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-+⨯① 2341213211292(217)2(215)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-+⨯+-+⨯②
②-①可得: ()345112222(215)226n n n T n ++=+++
++-+⨯- ()
311212(215)22612n n n -+-=+-+⨯--
1(172)234n n +=-⋅-
(3)(215)2n n c n =-+⋅
11(213)2n n c n ++∴=-+⋅
11(213)2(215)2(112)2n n n n n c c n n n ++-=-+⋅--+⋅=-⋅
令10n n c c +->,得:112
n <, 又5656(1015)2160,(1215)2192,c c =-+⋅==-+⋅=
1236c c c c ∴<<<<且67c c >>
, 即6c 为最大666(2615)232192c =-⨯+⨯=⨯=,
故n c 最大值为192.
【题目点拨】
本题主要考查了数列的递推式解决数列的通项公式和求和问题,考查数列最大项的求解,是中档题.
19、(Ⅰ)(Ⅱ)47=
m . 【解题分析】
(1)根据向量平行的相关性质以及()1,2a =、()2,c λ=即可得出向量2,4c
,然后根据向量的模长公式即可得出结果;
(2)首先可根据()1,2a =、()1,1b =写出ma b -与2a b -的坐标表示,然后根据向量垂直可得20ma b
a b ,最后通过计算即可得出结果. 【题目详解】
(1)因为//c a ,()1,2a =,()2,c λ=
所以2210,4λ=,2,4c , 所以222425c .
(2)因为()1,2a =,()1,1b =,所以 1.21ma b
m m ,()21,3a b -=. 因为ma b -与2a b -垂直,所以20ma b
a b , 即112130m m ,47
=m . 【题目点拨】
本题考查向量平行以及向量垂直的相关性质,考查向量的坐标表示以及向量的模长公
式,若11,a x y 、22,b x y 且a b ⊥,则12120x x y y +=,考查计算能力,是中档题.
20、(1)函数()f x 递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-
+⎢⎥⎣⎦
,k ∈Z (2)(1 【解题分析】 (1)化简()f x ,再根据正弦函数的单调增区间即可.
(2)根据(1)的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭,再根据5,46x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π-的范围结合图像即可.
【题目详解】
解:(1)1cos 2
()1sin 22
x f x x -=++1sin 22x x =+2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 由222232k x k π
π
π
ππ-≤-≤+,k ∈Z 则函数递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-
+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z (2)由546x π
π<<,得42633
x πππ<-<
则sin 213x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝
⎭
则13y -≤,即值域为(1
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的性质,常考三角函数的性质有:对称轴、单调性、最值、对称中心.属于中等题.
21、(Ⅰ)π3
B =;
. 【解题分析】
(Ⅰ)根据正弦定理将边角转化,结合三角函数性质即可求得角B .
(Ⅱ)先根据余弦定理求得b ,再由正弦定理求得sin C ,利用同角三角函数关系式求得
cos C ,即可求得sin 2,cos 2C C .即可求得πsin 23C +⎛⎫ ⎪⎝
⎭的值. 【题目详解】
(Ⅰ)在ABC ∆中,由正弦定理sin sin sin a b c A B C
== 可得sin sin sin sin 4sin cos sin A C C A A B C +=
即sin sin 2sin cos sin A C A B C =
因为(),0,πA C ∈,所以sin sin 0A C ≠,即1cos 2B =
又因为(0,π)B ∈,可得π3
B = (Ⅱ)在AB
C ∆中,由余弦定理及3a =,2c =,π3B =
有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =
由正弦定理可得sin sin c C B b ==
因为c a <,故cos 7C ==
因此sin 22sin cos 7
C C C ==,21cos 22cos 17C C =-=
所以,π1sin 2sin 2cos 232214
C C C ⎛⎫+
=⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 【题目点拨】 本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,二倍角公式及正弦和角公式的用法,属于基础题.。