人教版数学高二-《平面与圆柱面的截线》 精品课件
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11
8
下面我们探究椭圆的性质.
如 图3 8, 设 球O1、O2
与圆柱的交线圆 所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的 平 面 分 别 为、 ,椭
G1
圆 所 在 的 斜 截 面与 它
F1
们 的 交 线 分 别 为l1、l2 ,
、与 所 成 的 二 面 角 为 , 母 线 与 平 面的 交 角 为.由 于、、 都
2G1G2 AD ; 3 G2F1 cos sin .
G2 E
4
思 考 将 图3 5中 的 两
个 圆 拓 广 为 球 面,将 矩 形 A B CD 看 成是圆 柱 面 的 轴 截 面,将 EB、DF 拓 广
A
O1
B
G1 F1
K1
为 两 个 平 面 、 , EF 拓
广 为 平 面 ,得 到 图3 6. 显 然,平 面与 圆 柱 面 的 截 D
PQ PQ
10
所以, 椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直
线l1的距离之比为定值cos .我们把直线l1叫做
椭圆的一条准 线. 同理, 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直
线l2的距离之比也为定值cos .所以l2是椭圆的
另 一 条 准 线.
记e cos,我们把e叫做椭圆的离心率.
将两个球嵌入 圆柱内, 使它们分别位 于斜截面 的上方和下方,并且与圆柱面 和斜截面均相切, 这 是 证 明 定 理 的 关 键.这 种 方 法 是 数 学 家Dan dlin创立的, 故将嵌入的双 球称为Dandlin双球.
于是有 定理1 圆柱形物体的斜截口是椭圆.
如 图3 7, F1、F2是
B2
椭 圆 的 焦 点, B1B2是 F1F2的 中 垂 线.我 们
A1 F1
O
A2 F2
把A1 A2叫 做 椭 圆 的 长轴, B1B2叫 做 椭 圆
B1
图3 7
的 短轴, F1F2叫 做 椭 圆 的焦 距.如 果 长 轴
为2a,短 轴 为2b, 那 么 焦 距2c 2 a2 b2 .
6
由于图3 5 就是图3 6 经过母
线 AD、BC的轴截面,由前面已 有的结 论,当点P与G2重合时, 有 G2F1 G2F2 AD.
A
O1
B
G1 F1
K1
当 点P不 在 端 点 时,连 接PF1、PF2，
则PF1、PF2分 别 是 两 个 球 的 切 线, 切 点 为F1、F2.过P作 母 线,与 两 球 D
G2F1 cos 定 值.
G2 E 当 点P在 椭 圆 的 任 意 位
E l1 A Q
O1 K1
B
G1
F1
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
置 时,过P作l1的 垂 线, 垂
K2
足 为Q,过P作 平 面的
图3 8
垂 线, 垂 足 为K1 , 连 接K1Q, 得
RtPK1Q,则QPK1 .从 而 有PF1 PK1 cos 定 值.
由切线长定理知G1F2 G1D, F2G2 G2C,
AHale Waihona Puke E G1O1BF1
F2
G2
D
F O2 C
图3 5
所以G1G2 G1D G2C. 连接F1O1, F2O2, 容易证明EF1O1 FF2O2.
所以EO1 FO2.又因为O1 A O2C,所以EA FC. 于是可证得FCG2 EAG1.所以G1 A G2C . 3
二 平面与圆柱面的截线
1
A E G1
O1
B
F1
F2 G2
D
F O2 C
图3 5
打开几何画 板 实 验 探 究.
探 究 如 图3 5, AB、CD是 两 个 等 圆 的 直 径AB // CD , AD、BC与 两 圆 相 切.作 两 圆 的 公 切 线EF, 切 点 分 别 为F1、 F2 ,交BA、DC的 延 长 线 于E、 F ,交 AD于G1 ,交 BC于G2.设 EF与BC、CD的 交 角 分 别 为
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
K2
是 确 定 的,因 此 交 线l1、l2
图3 8
也 是 确 定 的.这 样, 我 们
就 有 理 由 猜 想 椭 圆 上 的点 与l1、l2有 一 定 的 关 系.
9
我们还是从特殊情况
开 始 探 究 这 种 关 系.由 前 面 对 图3 5的 探 究 可 知, 对 于 椭 圆 的 长 轴 端 点G2 , 有
所以G1G2 G1D G1 A AD.
在RtG2EB中, cos G2B
G2 E
G2F1 ,即G2F1 G2E cos
G2 E
A E G1
O1
B
F1
F2 G2
D
F O2 C
又因为 900 , 所以G2F1 G2E cos G2E sin.
图3 5
由此得到结论: 1G2F1 G2F2 AD ;
P F2
O2
G2 C
线 是 椭 圆.根 据 上 面 的 结
K2
论,你 能 猜 想 这 个 椭 圆 的 两 个 焦 点 的 位 置 吗?
图3 6
5
我 们 猜 想,两 个 焦 点 可 能 在
两 个 球 与 斜 截面 的 切 点 上,
A
即 过 球 心O1、O2 分 别 作 斜 G1 截 面 的 垂 线,其 垂 足 F1、F2
、 .
1G2F1 G2F2与AD有 什 么 关 系? 2 AD的 长 与G1G2的 长 有 什 么 关 系? 3G2F1与G2E有 什 么 关 系?
2
由图3 5,根据切线长定理有 G2F1 G2B, G2F2 G2C, 所以G2F1 G2F2 G2B G2C BC AD. 又因为G1G2 G1F2 F2G2 ,
面 分 别 相 交 于K1、K2 ,则PK1、PK2
P F2
O2
G2 C
K2
分 别 是 两 球 面 的 切 线,切 点 为K1、
图3 6
K2.根 据 切 线 长 定 理 的 空 间推 广, 知PF1 PK1 , PF2
PK2 ,所 以PF1 PF2 PK1 PK2 AD.
由于AD为定值, 故点P的轨迹是椭圆. 7
就 可 能 是 焦 点.为 此, 我 们 需
要 证 明: 对 于 截 口 上 任 意 一
D
点P, 有PF1 PF2 定 值.
O1 B
K1 F1
P F2
O2
G2 C
K2
探 究 如 图3 6,当 点P与G2 重 合 时,可 以 得 到 什 么 结 论?
图3 6
当 点P在 其 他 位 置 时,还 有 这 个 结 论 吗?
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下面我们探究椭圆的性质.
如 图3 8, 设 球O1、O2
与圆柱的交线圆 所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的 平 面 分 别 为、 ,椭
G1
圆 所 在 的 斜 截 面与 它
F1
们 的 交 线 分 别 为l1、l2 ,
、与 所 成 的 二 面 角 为 , 母 线 与 平 面的 交 角 为.由 于、、 都
2G1G2 AD ; 3 G2F1 cos sin .
G2 E
4
思 考 将 图3 5中 的 两
个 圆 拓 广 为 球 面,将 矩 形 A B CD 看 成是圆 柱 面 的 轴 截 面,将 EB、DF 拓 广
A
O1
B
G1 F1
K1
为 两 个 平 面 、 , EF 拓
广 为 平 面 ,得 到 图3 6. 显 然,平 面与 圆 柱 面 的 截 D
PQ PQ
10
所以, 椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直
线l1的距离之比为定值cos .我们把直线l1叫做
椭圆的一条准 线. 同理, 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直
线l2的距离之比也为定值cos .所以l2是椭圆的
另 一 条 准 线.
记e cos,我们把e叫做椭圆的离心率.
将两个球嵌入 圆柱内, 使它们分别位 于斜截面 的上方和下方,并且与圆柱面 和斜截面均相切, 这 是 证 明 定 理 的 关 键.这 种 方 法 是 数 学 家Dan dlin创立的, 故将嵌入的双 球称为Dandlin双球.
于是有 定理1 圆柱形物体的斜截口是椭圆.
如 图3 7, F1、F2是
B2
椭 圆 的 焦 点, B1B2是 F1F2的 中 垂 线.我 们
A1 F1
O
A2 F2
把A1 A2叫 做 椭 圆 的 长轴, B1B2叫 做 椭 圆
B1
图3 7
的 短轴, F1F2叫 做 椭 圆 的焦 距.如 果 长 轴
为2a,短 轴 为2b, 那 么 焦 距2c 2 a2 b2 .
6
由于图3 5 就是图3 6 经过母
线 AD、BC的轴截面,由前面已 有的结 论,当点P与G2重合时, 有 G2F1 G2F2 AD.
A
O1
B
G1 F1
K1
当 点P不 在 端 点 时,连 接PF1、PF2，
则PF1、PF2分 别 是 两 个 球 的 切 线, 切 点 为F1、F2.过P作 母 线,与 两 球 D
G2F1 cos 定 值.
G2 E 当 点P在 椭 圆 的 任 意 位
E l1 A Q
O1 K1
B
G1
F1
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
置 时,过P作l1的 垂 线, 垂
K2
足 为Q,过P作 平 面的
图3 8
垂 线, 垂 足 为K1 , 连 接K1Q, 得
RtPK1Q,则QPK1 .从 而 有PF1 PK1 cos 定 值.
由切线长定理知G1F2 G1D, F2G2 G2C,
AHale Waihona Puke E G1O1BF1
F2
G2
D
F O2 C
图3 5
所以G1G2 G1D G2C. 连接F1O1, F2O2, 容易证明EF1O1 FF2O2.
所以EO1 FO2.又因为O1 A O2C,所以EA FC. 于是可证得FCG2 EAG1.所以G1 A G2C . 3
二 平面与圆柱面的截线
1
A E G1
O1
B
F1
F2 G2
D
F O2 C
图3 5
打开几何画 板 实 验 探 究.
探 究 如 图3 5, AB、CD是 两 个 等 圆 的 直 径AB // CD , AD、BC与 两 圆 相 切.作 两 圆 的 公 切 线EF, 切 点 分 别 为F1、 F2 ,交BA、DC的 延 长 线 于E、 F ,交 AD于G1 ,交 BC于G2.设 EF与BC、CD的 交 角 分 别 为
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
K2
是 确 定 的,因 此 交 线l1、l2
图3 8
也 是 确 定 的.这 样, 我 们
就 有 理 由 猜 想 椭 圆 上 的点 与l1、l2有 一 定 的 关 系.
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我们还是从特殊情况
开 始 探 究 这 种 关 系.由 前 面 对 图3 5的 探 究 可 知, 对 于 椭 圆 的 长 轴 端 点G2 , 有
所以G1G2 G1D G1 A AD.
在RtG2EB中, cos G2B
G2 E
G2F1 ,即G2F1 G2E cos
G2 E
A E G1
O1
B
F1
F2 G2
D
F O2 C
又因为 900 , 所以G2F1 G2E cos G2E sin.
图3 5
由此得到结论: 1G2F1 G2F2 AD ;
P F2
O2
G2 C
线 是 椭 圆.根 据 上 面 的 结
K2
论,你 能 猜 想 这 个 椭 圆 的 两 个 焦 点 的 位 置 吗?
图3 6
5
我 们 猜 想,两 个 焦 点 可 能 在
两 个 球 与 斜 截面 的 切 点 上,
A
即 过 球 心O1、O2 分 别 作 斜 G1 截 面 的 垂 线,其 垂 足 F1、F2
、 .
1G2F1 G2F2与AD有 什 么 关 系? 2 AD的 长 与G1G2的 长 有 什 么 关 系? 3G2F1与G2E有 什 么 关 系?
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由图3 5,根据切线长定理有 G2F1 G2B, G2F2 G2C, 所以G2F1 G2F2 G2B G2C BC AD. 又因为G1G2 G1F2 F2G2 ,
面 分 别 相 交 于K1、K2 ,则PK1、PK2
P F2
O2
G2 C
K2
分 别 是 两 球 面 的 切 线,切 点 为K1、
图3 6
K2.根 据 切 线 长 定 理 的 空 间推 广, 知PF1 PK1 , PF2
PK2 ,所 以PF1 PF2 PK1 PK2 AD.
由于AD为定值, 故点P的轨迹是椭圆. 7
就 可 能 是 焦 点.为 此, 我 们 需
要 证 明: 对 于 截 口 上 任 意 一
D
点P, 有PF1 PF2 定 值.
O1 B
K1 F1
P F2
O2
G2 C
K2
探 究 如 图3 6,当 点P与G2 重 合 时,可 以 得 到 什 么 结 论?
图3 6
当 点P在 其 他 位 置 时,还 有 这 个 结 论 吗?