SXB113高考数学必修_向量知识解证立体几何问题的策略

利用向量知识解证立体几何问题的策略
用向量知识解证立体几何问题，常常比用几何法简便，其优点在于：向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免作辅助线及运用繁多的定理、公理等知识进行推理的思维过程.在立体几何中求空间角、空间距离及处理垂直关系显得龙为方便.
利用向量法解证立体几何问题的基本思想方法是：将有关的线段与相应的向量相联系起来，并用已知量表示未知量，再通过向量的运算进行计算或证明，从而达到解决问题的目的.在利用向量知识具体解证立体几何问题主要有两个思考方向，下面举例说明.
一、利用空间向量基本定理
根据空间向量的基本定理，在所给的立体图中的选择三个不共面的基向量，将空间的任何一个向量用三个基向量通过向量的加法、数乘运算法则表示，然后经过代数运算，达到计算或证明的目的.选择基向量应遵循以下两条原则：①尽量选择三个已知的向量；②尽量选择能将已知量、已知空间位置关系及所求量、所证的位置关系集中的三个向量；③尽量选择共点或具有垂直关系的三个向量.
例1如图1，已知SA 与正方形ABCD 所在平面垂直,且SA=AB,求平面SAB 与平面SCD 所成二面角的大小.
分析与解：取共点A 且相互垂直的三个向量→AD 、→AB 、→AS 为基底，
设正方形的棱长为1，则SA=AB=BC=CD=DA=1.
∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥AD ，又AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面SAB ，
∴平面SAB 的法向量是→A D .而平面SCD 的法向量可设为n →=λ→AD +μ→AB +→AS .
∵SA ⊥平面ABCD ，∴→AS ·→AB =0，→AS ·→DA =0，→AS ·→B C=0，
又AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴→AB ·→AD =0，→AB ·→B C=0
由n →·→DC =(λ→AB +μ→AD +→AS )·→AB
=λ→AB ·→AB =λ=0，即λ=0， 又n →·→DS =(λ→AB +μ→AD +→AS )·(→AS ﹣→AD )=→AS ·→AS ﹣μ→AD
·→AD =1﹣μ=0，∴μ=1. ∴n →=→AD +→AS ，∴|n →|2=(→AD +→AS )2=→AD 2+2→AD ·→AS +→AS 2=2，∴|n |=2， ∴n →·→AD =(→AD +→AS )·→AD =→AD ·→AD =1，
设θ表示平面SCD 与平面SAB 所成的二面角，则cos θ=→AD ·n →|→AD |·|n →|=11×2
=22.∴θ=45︒. 故平面SCD 与平面SAB 所成二面角的大小为45︒.
例2已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60︒.(1)求证：C 1C⊥BD；(2)当CD CC 1
的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 分析与证明：(1)取共点CD →，CB →，CC 1→为空间的一个基底，设菱形的连长为a ，
∵BD →=CD →﹣CB →，
∴CC 1→·BD →=CC 1→·(CD →﹣CB →)=CC 1→·CD →﹣CC 1→·CB →
=|CC 1→|·|CD →|cos<CC 1→,CD →>﹣|CC 1→|·|CB →|cos<CC 1→,CB →> =|CC 1→|·a·cos60︒﹣|CC 1→|·a·cos60︒=0.
∴CC 1→⊥BD →，∴C 1C⊥BD.
(2)设CD CC 1
=λ(λ>0)，即|CD →|=λ|CC 1→|时，能使A 1C ⊥平面C 1BD. ∵C 1D ⊂平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ，∴A 1C⊥C 1D 且A 1C⊥BD，∴A 1C →·C 1D →=0，且A 1C →·BD →=0.
∵A 1C →=﹣(CD →+CB →+CC 1→)，C 1D →=CD →﹣CC 1→，<CD →,CB →>=<CB →，CC 1→>=60︒，|CD →|=|CB →|=a ，
∴A 1C →·C 1D →=﹣(CD →+CB →+CC 1→)·(CD →﹣CC 1→)=﹣|CD →|2+CD →·CC 1→﹣CB →·CD →+CB →·CC 1→﹣CC 1→·CD →+|CC 1→|2
图1 图2
=﹣a 2﹣a·a·cos60︒+a·a λ·cos60︒+a 2λ2=﹣3λ2﹣λ﹣2λ2·a 2=0. ∴3λ2﹣λ﹣2=0，∵λ>0，∴λ=1，故当λ=1时， A 1C →·BD →=﹣(CD →+CB →+CC 1→)·(CD →﹣CB →)=﹣|CD →|2+CD →·CB →﹣CB →·CD →+|CB →|2﹣CC 1→·CD →+CC 1→·CB →
=﹣a 2+a 2﹣a·a·cos60︒+a·a·cos60︒=0.
∴A 1C →⊥BD →，∴AC 1⊥BD.
由上述过程证明知当CD CC 1
=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD. 二、建立空间直角坐标系
通过建立空间直角坐标系，将向量用坐标来表示，充分利用向量垂直、平行的充要条件及向量的内积公式进行运算，达到计算或证明的目的.构建空间直角坐标系主要有四种途径：①利用共顶点的互相垂直的三个不共面的直线构建直角坐标系；②利用线面垂直关系构建直角坐标系；③利用平面与平面垂直的位置关系构建间直角坐标系；④利用正多边形的中心与几何体高所在直线构建直角坐标系.
例1 在正三棱锥P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、
F 分别为BC 、PB 上的点，且BE:EC=PF:FB=1:2.(1)求证：平面GEF⊥平面PBC ；
(2)求证：EG 是PG 与BC 的公垂线.
分析与证明：(1)如图3，因为PA 、PB 、PC 是共点的三条两两垂直的直线，
因此，将正三棱锥P-ABC 放置在坐标系中，使P 点为坐标原点，三条互相侧棱
所在直线为坐标轴，并假定PA=PB=PC=3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，
3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，则
PA →=(3，0，0)，FG →=(1，0，0)=13(3，0，0)=13
PA →，∴FG ∥PA. ∵PA ⊥PB,PA ⊥PC,PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，于是平面GEF ⊥平面PBC.
(2)∵EG →=(1，-1，-1)，PG →=(1，1，0)，BC →=(0，-3，3)，
∴EG →·PG →=1-1=0，EG →·BC →=3-3=0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，
∴EG 是PG 与BC 的公垂线.
例4 已知正四棱锥V-ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h.(1)求∠DEB 的余弦值；
(2)若BE⊥VC，求∠DEB 的余弦值.
解析：(1)如图4，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则
由AB=2a ，OV=h ，有B(a ，a ，0),C(-a ，a ，0),D(-a ，-a ，0),V(0，0，h),E(﹣a 2，a 2，h 2
),则 BE →=(﹣32a ，﹣a 2，h 2)，DE →=(a 2，32a ，h 2
)， ∴BE →·DE →=(﹣32a)×(a 2)+(﹣a 2)×(32a)+h 2·h 2=﹣3a 22+h 24， |BE →|=|DE →|=
(﹣32a)2+(a 2)2+(h 2)2=12
10a 2+h 2. ∴cos<BE →,DE →>=BE →·DE →|BE →|·|DE →|=﹣3a 22+h 2
414
(10a 2+h 2)=-6a 2+h 210a 2+h 2，即cos∠DEB=-6a 2+h 210a 2+h 2. (2)由E 是VC 之中点，又BE⊥VC ，有BE →·VC →=0，即(﹣32a ，﹣a 2，h 2
)·(-a ，a ，-h)=0, ∴32a 2﹣a 22﹣h 22=0，∴h=2a ，这时，cos<BE →,DE →>=-6a 2+h 210a 2+h 2=﹣13.即cos∠DEB=﹣13
. 例2 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC=CD ，∠BCD=90︒，∠ADB=30︒，E ，F 分别是AC ，AD 的中点.(1)求证：平面BEF ⊥平面ABC ；(2)求平面BEF 和平面BCD 所成的角.
证明：如图5所示建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，设A(0,0,a).
由∠ADB=30︒,得BD=3a ，BC=CD =62a ，则 图3 E 图4
D(0,3a,0),C(32a,32a,0),E(34a,34a,12a),F(0,32a,12a), ∴EF →=(﹣34a ，34a ，0)，BA →=(0,0,a),BC →=(32a ，32
a ，0)，则 EF →·BA →=﹣34a ·0+34a ·0+0·a=0，EF →·BC →=﹣34a ·32 a +34a ·32
a +0·0=0，
∴EF ⊥BA ，EF ⊥BC ，∴EF ⊥平面ABC ，
又EF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面ABC.
(2)作EE 1⊥BC 于E 1，作FF 1⊥BD 于F 1，则E 1为BC 的中点，F 1为BD 的中点，
E 1 (34a ，34a ，0)，
F 1(0，32
a ，0)， ∴BE 1→=(34a,34a,0)，E 1F 1→=(﹣34a ,34
a ,0). 由(1)易知，BE →=(34a,34a,12a )，EF →=(﹣34a ,34
a ，0)， ∴|BE →|=104a,|EF →|=64a,|BE 1→|==64a,|E 1F 1→|=64
a ， 又由(1)易知，EF ⊥BE ，E 1F 1⊥BE 1∴S △BEF =12|BE →|·|EF →|=1516
a 2,S △BE 1F 1=12|BE 1→|·|E 1F 1→|=316a 2. 设平面BEF 和平面BCD 所成的角为θ，则cos θ=S △BE 1F 1/ S △BEF
=316a 2/ 1516a 2=155. 所以，平面BEF 和平面BCD 所成的角为arccos
155.
图5。