三角形边和角关系的探索（精选）

三角形边和角关系的探索（精选）
第一篇：三角形边和角关系的探索（精选）
第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇__43_三角形边和角关系的探索
三角形边和角关系的探索
教材分析
初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析
这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．
教学目标
1.理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．
2.能运用正、
余弦定理解斜三角形．
3.理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．
教学设计
一、问题情景
1.A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？
2.如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）
问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？
二、建立模型
1.教师引导学生分析讨论
在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．
组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）
结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．
由此可得AC·sinC＝AB·sinB．
又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC的长度．
教师明晰：
（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得
（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理
.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自
己推出．（详细给出解答过程）
事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．
根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？2.组织学生讨论问题情景（2）
这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC的长．
组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）
教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．
∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．
同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．于是得到以下定理：
余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．
思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？3.进一步的问题
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？
三、解释应用［例题］
1.（1）已知：在△ABC中，A＝3
2.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．
（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）
分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．
（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解． 2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．
3.AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［练习］
1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精
确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝
3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．
＋h．，sin（α
四、拓展延伸
1.在△ABC中，有正弦定理
这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．
2.在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？
3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）
分析：∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，.但当B≈149°时，A ＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？
（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝解，如图40-11．
计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．
③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．
④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．
思考：若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？
点评
这篇案例设计，思路清晰，突出现实．首先通过恰当的问题情景阐述三角形边角关系产生的背景，使学生体会到了数学在解决实际问题中的作用．然后通过探究、推导活动，使学生体会到了数学知识的发现和发展的历程．例题与练习的配备由浅入深，注重了教学与自然界的关系．拓展延伸有深度，为提高学生的思维能力和创造力提供了良好平台．
总之，从现实出发建立正、余弦定理的模型，又在现实应用中升华有关正、余弦定理的理解，是这篇案例的突出特点．
第三篇：《三角形边的关系》观后感
《三角形边的关系》观后感
我认真听了赵老师的《三角形的边的关系》这一堂课。

认为这一堂课有很多值得学习的地方。

正如数学专家吴正宪所说：“课堂上没有问题的预设，教师是不负责任的，没有生成就没有精彩的课堂”。

这是一节真真正正体现探究、突出探究价值的一节课。

主要体现在以下几方面：
一、片段一：“这个信封里有四根小棒，（在展示台上依次出示）这四根小棒颜色不同、长短也不同。

如果我们把小棒当作线段，你能围出三角形吗？从四根中任选出三根，首尾相连的围成三角形，我们四人一组，把围三角形的情况填写在实验记录单上。

”这一环节的设计为学生营造了研究的条件和氛围，很有研究的味道。

学生手脑结合，激发了学生的求知热情。

二、片段二：“汇报交流：是不是任意的三条线段都能围成三角形呢？”教师很尊重学生的想法，不是牵着学生鼻子走，而是随着学生思维走，整堂课充满了思维的碰撞，师生都在思考，课堂气氛和谐活跃，是一节非常成功数学课。

感谢赵老师这一堂精彩的数学课，她使我明白了探究的价值所在，她为我指明了数学课堂教学的方向，要想成为一名优秀的数学教师，
一定要有爱心、耐心、恒心，出色地上好每一堂课。

《认识东、西、南、北方向》教学片段
授课年级：三年级
授课内容：认识东、西、南、北方向
精彩片段：
在《认识东、西、南、北方向》新授课中，设计教学活动片段如下：
师：同学们会背关于东、西、南、北方向的儿歌吗？
生：会。

师：以四人为小组，根据儿歌让学生到操场上辨认东、西、南、北方向。

观察东、西、南、北四个方向都有什么建筑？到教室，请各小组的记录纸贴在黑板上，汇报交流各种不同的方法。

自我评价：
学生通过走一走，看一看，想一想，议一议，说一说，再联系之前学过的儿歌，大家一起探讨学习，就能很快地识别出四个方向，使抽象的东西形象化。

授课者：贵州省黔南州福泉市陆坪小学周理菊
第四篇：《三角形边的关系》学习体会
《三角形边的关系》的听课心得体会
八郎小学吕振影 2013年5月
《三角形边的关系》的听课心得体会
2013年5月8日，我有幸在县实验小学参加前郭县小学“更新教学理念，提高教学实效”主题教学研培会，上午共听了三节数学课，感觉教师的设计理念新、把学生真正放在了学习的主体地位。

其中四年级于海燕老师执教的《三角形三边的关系》这节课,给我最大的感受是活、教材处理灵活；动、注重动手操作；放、放飞学生想象。

注重引导学生在亲身参与实验的过程中体验探索的乐趣，总结整个教学环节新颖、科学、成熟。

一、按学生的“习惯性”，思维安排教学环节
1.教学中首先复习了“三角形”的概念，充分体现在“极大尊重
学生认知特点。

2.在摆小棒实验环节中，教师强调实验规则：从三根小棒摆一个三角形，把摆的结果及小棒长度记录在表格中。

二、“开放式”教学的有效性
1.于老师大胆放手，给学生提供了充足的活动空间。

2.实物的运用给本堂课起到了实质性的帮助作用。

运用演示“4厘米、5厘米和9厘米”的一组小棒能否摆成三角形？由于学具的原因，学生在摆这组小棒时都认为可以摆成。

教师如果说不能摆，学生可能不会相信。

但通过课件的演示让学生突破了这一教学难点。

三、在引导学生探索、观察、发现的过程中体会科学的探索方法
1.首先，在循序渐进引导学生探索“怎样的三根小棒才可以摆成三角形”时，充分的渗透了实验操作、分类比较、观察发现、抽象概括的科学思想与方法。

2.其次，人们的实验结果往往要受到实验器材、操作的误差等客观因素的影响。

要求学生养成细致认真、善于观察、勤于思考的科学态度。

总之，听了于老师的课所体现的敢于创新、敢于把自己的设想化作实践的精神，被她上课的那种激情所感染，在课中老师要先有情感，才能开启学生的思维。

她不止是授课，更是与学生心灵与心灵的沟通，同时放手让学生动手操作归纳：老师只是起启发作用，从而印证以学生为主的教学模式。

于老师在课堂教学中以自己的那份热情唤起学生的求知欲，课堂气氛活跃，学生积极配合，探讨问题，课堂效率很高，确实值得我们学习学习。

第五篇：三角形边的关系教学设计
三角形边的关系
教材分析：
三角形边的关系是第二单元《认识图形》里的一个重点内容。

本单元直观上从角和边的维度将三角形进行了分类。

从内在研究三角形三个角的关系和三个边的关系。

本课主要探索三角形边的内在关系并能根据提供的三条线段的长度，判断能否围成三角形。

教学目标：
1、通过画一画、量一量、算一算等实验活动，探索并发现三角形任意两边的和大于第三边。

2、在实验过程中，培养学生自主探索合作交流的能力。

3、应用发现的结论，验证是否所有满足条件的三条线段都能围成三角形。

教学过程：
一、复习导入
1、三角形的定义是什么？
在同一平面上，由三条线段组成的（每相邻两条线段的端点相连）的封闭图形叫做三角形。

2、三角形的三条边有什么样的关系呢？今天我们就来学习三角形三边的关系。

【设计意图】由三角形的定义入课，直接导入课题《三角形边的关系》。

二、探索新知
1、将12cm长线段剪成三段，试着将这些线段围成一个三角形。

（1）独立思考12cm长的线段可以剪成怎样长度的三条线段？（请进行有序的思考，拿出笔写一写）（2）小组交流，做记录（3）动手操作，验证哪几种情况可以围成三角形，哪几种不可以。

（4）组内交流，得出结论
【设计意图】培养学生动手能力，通过动手操作，激发学生探索新知的热情。

2、展示拼完的三角形，集体交流结果
【设计意图】让学生体验成功，激发学习数学的兴趣。

3、观察这些成功的三角形的边的特点，请你们大胆的猜测什么样的三条边一定能拼成三角形？
预设：（1）1长2短（2）三边相等（3）三边都不一样（4）2短大于1长
4、拿出另一条线段，在减一减，拼一拼，对我们的猜想一一验证（1）动手操作
（2）逐条讨论能，有没有不能？（3）经过验证，哪几条猜测是
正确的？
（4）对比这些成功的猜测中，哪一条更具概括性，能够涵盖其他条呢？
【设计意图】先猜测，在一一验证，让学生在实践中探索与验证三角形两边之和大于第三边。

5、同桌互动: 1人随意说三条线段的长度，另1人判断能否拼成三角形。

四、总结。

学习了这节课，谁愿意谈谈自己的感受和收获？设计思路：
依据本校学生的特点先让学生有序思考12厘米长的边可以分成怎样的三段？将分成的数据进行记录。

动手操作，探索哪些能拼成三角形，哪些不能，体会成功的喜悦。

观察成功拼成三角形的三条边地特点，从这些具体的三角形三边之间的关系推想什么样的三条边一定能拼成三角形？先大胆的猜测，再一一验证，最终验证得出：三角形中两边之和大天第三边。

对于两条边之和等于第三边的情况，可以利用活动重点验证。