苏科版八年级数学上册 第3章 勾股定理 同步练习

勾股定理及其应用
练习1
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD ＝8，则DE的长为．
第1题第2题第4题
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a＝4，b＝3，则大正方形的面积是．
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，则AB＝．
4．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．
5．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
6．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．
（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．7．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积．
8．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
参考答案
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD ＝8，则DE的长为5．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝5，
故答案为5．
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a＝4，b＝3，则大正方形的面积是25．
【解答】解：由勾股定理可知大正方形的边长＝＝＝5，
∴大正方形的面积为25，
故答案为25．
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，则AB＝3．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC＝3，∠C＝90°，
∴AB＝＝＝3，
故答案为3．
4．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．
【解答】解：由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3
2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案为：27．
5．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是锐角三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81，
∴92＜72+82，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）当最长边是12时，x＝＝；
当最长边是x时，x＝＝13，
即x＝13或．
6．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．
（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第5个勾股数组为（12，35，37）．
（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1．
7．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积．
【解答】解：连接AC，
∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13，
∴DC2+AC2＝122+52＝169，AD2＝132＝169，
∴DC2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝24．
答：此木板的面积为24．
8．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
练习2
1．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为cm2．
第1题第2题第3题第4题
2．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点A，B，C均在格点上，点D为AB的中点，则线段CD的长为．
3．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E 重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB ＝45°，求CB部分的高度为m．
4．《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）DF为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）EF即为2寸（注：一尺为10寸），则门宽AB为尺．
5．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是米．
6．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．
7．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？
（3）对于偶数，这个关系（填“成立”或“不成立”）．
（4）你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
8．如图①，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将一把含有45°角的直角三角板的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使得∠MOB＝90°，此时∠CON角度为度；
（2）将上述直角三角板从图1绕点O按逆时针旋转到图③的位置，当ON恰好平分∠AOC时，求∠AOM的度数；
（3）若这个直角三角板绕点O按逆时针旋转到斜边ON在∠AOC的内部时（ON与OC、OA不重合），试探究∠AOM与∠CON之间满足什么等量关系，并说明理由．
9．如图所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分别以三边AB，AC及BC为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．
参考答案
1．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为81cm2．
【解答】解：∵正方形的边长为（cm），
∴此正方形的面积为92＝81（cm2），
故答案为：81．
2．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点A，B，C均在格点上，点D为AB的中点，则线段CD的长为．
【解答】解：∵AC＝2，BC＝3，AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AB＝，
故答案为．
3．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E 重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB ＝45°，求CB部分的高度为（2+）m．
【解答】解：设CB部分的高度为xm．
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD＝xm．
在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）．
∵CE＝CF＝CD+DF，
∴2x＝x+2，
解得：x＝2+．
∴BC＝（2+）（m）．
答：CB部分的高度约为（2+）m，
故答案为：（2+）．
4．《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）DF为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）EF即为2寸（注：一尺为10寸），则门宽AB为10.1尺．
【解答】解：设单门的宽度是x米，根据勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2，
解得：x＝5.05，
则2x＝10.1尺，
故答案为：10.1．
5．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是6米．
【解答】解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米，
根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2
解得：x＝6．
∴折断处离地面高度是6米，
故答案为：6．
6．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
答：旗杆的高度为12米
7．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
a b c
13＝1+24＝2×1×25＝2×2+1
25＝2+312＝2×2×313＝4×3+1
37＝3+424＝2×3×425＝6×4+1
49＝4+540＝2×4×541＝8×5+1
…………
n a＝2n+1b＝2n（n+1）c＝2n（n+1）+1（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？
（3）对于偶数，这个关系不成立（填“成立”或“不成立”）．
（4）你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
【解答】解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；
（2）a2+b2＝c2，理由是：
∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
∴a2+b2＝c2；
（3）对于偶数，这个关系不成立，
故答案为：不成立；
（4）当2n+1＝2019时，n＝1009，
∴当n＝1009时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，∵a2+b2＝c2；
∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
＝0．
8．如图①，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，将一把含有45°角的直角三角板的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使得∠MOB＝90°，此时∠CON角度为75度；
（2）将上述直角三角板从图1绕点O按逆时针旋转到图③的位置，当ON恰好平分∠AOC时，求∠AOM的度数；
（3）若这个直角三角板绕点O按逆时针旋转到斜边ON在∠AOC的内部时（ON与OC、OA不重合），试探究∠AOM与∠CON之间满足什么等量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，
∵∠MOB＝90°，∠MON＝45°
∠AOC＝60°，
∴∠COM＝30°，
∴∠CON＝∠COM+∠MON＝75°，
所以此时∠CON角度为75°．
故答案为75；
（2）直角三角板从图1绕点O按逆时针旋转到图③的位置，
∵ON恰好平分∠AOC时，
∴∠AON＝∠CON＝AOC＝30°，
∴∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝15°．
答：∠AOM的度数为15°；
（3）∠AOM与∠CON之间满足：∠AOM﹣∠CON＝15°，理由如下：
∵∠CON＝∠AOC﹣∠AON
＝60°﹣∠AON
＝60°﹣（∠MON﹣∠AOM）
＝60°﹣（45°﹣∠AOM）
＝15°+∠AOM
所以∠CON﹣∠AOM＝15°．
9．如图所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分别以三边AB，AC及BC为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．
【解答】解：∵82+62＝102，
∴AB2+AC2＝BC2
∴∠BAC＝90°
∴以AB为直径的半圆的面积
以AC为直径的半圆的面积
以BC为直径的半圆的面积S3＝＝π（cm2）
∴
练习3
1．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE…依此类推直到第n个等腰直角三角形，则第n个等腰直角三角形的图形的面积为．（n为正整数）
第1题第2题第3题第4题
2．图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是．3．如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB﹣∠PCD＝°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，
两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于．5．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所对的边分别为a、b、c．
（1）a＝3，b＝4，则c＝；
（2）a＝7，c＝25，则b＝；
（3）c＝3，b＝1，则a＝；
（4）∠A＝30°，a＝2，则b＝；
②若b＝﹣﹣2，则a b＝．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．
7．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．
8．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
9．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
参考答案
1．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE…依此类推直到第n个等腰直角三角形，则第n个等腰直角三角形的图形的面积为2n﹣2．（n为正整数）
【解答】解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
∴S△ABC＝×1×1＝＝21﹣2；
AC＝＝，AD＝＝2…，
∴S△ACD＝××＝1＝22﹣2；
S△ADE＝×2×2＝2＝23﹣2…
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．
故答案为：2n﹣2．
2．图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是或．
【解答】解：AB＝，CD＝，
当EF为斜边时，EF＝，
当EF是直角边时，EF＝，
故答案为：或．
3．如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB﹣∠PCD＝45°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
【解答】解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠P AB﹣∠PCD＝∠P AB﹣∠EAB＝∠P AE，
设正方形网格的边长为a，则P A＝＝，PE＝，AE＝＝a，
∵P A2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵P A＝PE，
∴∠P AE＝∠PEA＝45°，
∴∠P AB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直平分线，
根据性质得出AE＝BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，
即32+（4﹣AE）2＝AE2，
解得：AE＝，
在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，
解得：DE＝．
故答案为：．
5．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所对的边分别为a、b、c．
（1）a＝3，b＝4，则c＝5；
（2）a＝7，c＝25，则b＝24；
（3）c＝3，b＝1，则a＝2；
（4）∠A＝30°，a＝2，则b＝2；
②若b＝﹣﹣2，则a b＝．
【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所对的边分别为a、b、c．
（1）a＝3，b＝4，则c＝5；
（2）a＝7，c＝25，则b＝24；
（3）c＝3，b＝1，则a＝2；
（4）∠A＝30°，a＝2，则b＝2；
②若b＝﹣﹣2，可得：a＝3，b＝﹣2，则a b＝，
故答案为：①（1）5；（2）24；（3）2；（4）2；②
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵BH，CM为△ABC的高，
∴∠BMC＝∠CHB＝90°．
∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．
∴∠BCM＝∠CBH．
∴PB＝PC．
（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，
∴PC＝5．
∵PH＝3，∠CHB＝90°，
∴CH＝4．
设AB＝x，则AH＝x﹣4．
在Rt△ABH中，
∵AH2+BH2＝AB2，
∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．
∴x＝10．
即AB＝10．
7．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．
【解答】解：在△ABD中，
∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADC中，
∵AD＝12m，AC＝15m，
∴DC＝＝9（m），
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+15+5+9＝42m，
△ABC的面积为：×BC×AD＝×14×12＝84m2．
8．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
9．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
练习4
1．如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC 的度数为．
第1题第2题第4题第5题
2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE为边AB的垂直平分线，交BC的延长线于点E，BC＝3，AB＝5，则CE＝．
3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花桂到
2.4m的墙上，则梯角应距墙角m．
4．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为cm．
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝．6．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD．
（2）计算（1）中线段CD的长．
8．如图，一架25dm长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B到墙的距离BO＝7dm．移动梯子使底端B外移至点D，BD＝8dm，求梯子顶端A沿墙下滑的距离AC的长．
9．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．
10．如图，水渠两边AB∥CD，一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排宽EF＝2米，求水渠宽．
11．如图，BF，CG分别是△ABC的高线，点D，E分别是BC，GF的中点，连结DF，DG，DE．（1）求证：△DFG是等腰三角形；
（2）若BC＝10，FG＝6，求DE的长．
勾股定理及应用
参考答案与试题解析
1．如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC 的度数为80°或140°或10°．
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°；
②当CD′＝AD′时，
∵∠CAB＝20°，
∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，
∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，
∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，
∴∠AD″C＝10°，
故答案为：80°或140°或10°．
2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE为边AB的垂直平分线，交BC的延长线于点E，BC＝3，AB＝5，则CE＝．
【解答】解：设CE＝x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4，
∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，
解得x＝．
故答案为：．
3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花桂到
2.4m的墙上，则梯角应距墙角0.7m．
【解答】解：梯脚与墙角距离：＝0.7（m）．
故答案为：0.7
4．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为2cm．
【解答】解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝＝3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝1，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴AD2＝（3﹣AD）2+12，
∴AD＝，
故答案为：．
6．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：（11，60，61）．
【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：（11，60，61）．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD．
（2）计算（1）中线段CD的长．
【解答】解：（1）画角平分线正确，保留画图痕迹
（2）设CD＝x，作DE⊥AB于E，
则DE＝CD＝x，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB＝10，
∴EB＝10﹣6＝4．
∵DE2+BE2＝DB2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
x＝3，
即CD长为3．
8．如图，一架25dm长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B到墙的距离BO＝7dm．移动梯子使底端B外移至点D，BD＝8dm，求梯子顶端A沿墙下滑的距离AC的长．
【解答】解：由题意得：在Rt△AOB中，OB＝7dm，AB＝25dm，
∴OA＝＝24dm，
在Rt△COD中，OD＝8+7＝15dm，CD＝25dm，
∴OC＝＝20dm，
∴AC＝OA﹣OC＝24﹣20＝4dm，
答：梯子顶端A沿墙下滑的距离AC的长为4dm．
9．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，
同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD＝，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，
∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，
∴AD2+CD2＝2．
10．如图，水渠两边AB∥CD，一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排宽EF＝2米，求水渠宽．
【解答】解：过F作FP⊥AB于P，延长PF交CD于Q，
则FQ⊥CD，
∴∠EPF＝∠FQG＝90°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠GFQ＝∠EFP＝45°，
∴∠FGQ＝45°，
∵EF＝2，
∴PF2+PE2＝EF2＝4，
∵PF＝PE，
∴PF＝PE＝，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGD＝105°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠FEG＝60°
∴FG＝EF＝2，
∴FQ2+GQ2＝FG2＝12，
∴FQ＝QG＝，
∴PQ＝PF+FQ＝（）（米），
答：水渠宽为（）米．
11．如图，BF，CG分别是△ABC的高线，点D，E分别是BC，GF的中点，连结DF，DG，DE．（1）求证：△DFG是等腰三角形；
（2）若BC＝10，FG＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵BF，CG分别是△ABC的高线，
∴BF⊥AC，CG⊥AB，且点B为BC的中线，
∴DF＝BC，DG＝BC，
∴DF＝DG，
∴△DFG是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，DF＝DG＝BC＝5．
∵点E为GF的中点，FG＝6，
∴EF＝GF＝3，且DG⊥GF，
∴在直角△DEF中，由勾股定理知，DE＝＝＝4．。