2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形(教学案)含解析

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形
例1、（2018年浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，
c =___________．
【答案】 (1).
(2). 3
【变式探究】【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是
（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A 【解析】 所以
，选A.
【变式探究】 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。

若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π
6
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。

【答案】 （1）A （2）45
【提分秘籍】解三角形的方法技巧
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

【举一反三】
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】A
【解析】∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理， 得c ＝23b ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°。

热点题型二 判断三角形的形状
例2、（2018年北京卷）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –． （Ⅰ）求∠A ；
（Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A = (2) AC 边上的高为
【变式探究】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 。

(1)求角A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状。

【解析】(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2，∴A ＝60°。

(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°。

由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝3。

∴32sin B ＋3
2cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1。

∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°。

∴B ＋30°＝90°，B ＝60°。

∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形。

【提分秘籍】 判断三角形形状的方法技巧
解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。

另外，在变形过程中要
注意A，B，C的范围对三角函数值的影响。

【举一反三】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】A
热点题型三与三角形面积有关的问题
例3．（2018年全国Ⅲ卷理数）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
【变式探究】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【变式探究】在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b 。

(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积。

【解析】(1)由2a sin B ＝3b ，得2a ＝3b
sin B
，
又由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a 3，所以sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝π
3。

(2)由(1)及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝36， 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283，由S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为73
3。

【提分秘籍】
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2
bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。

(2)已知三角形的面积解三角形。

与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。

【举一反三】
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932 C.33
2 D ．
3 3
【答案】C
1. （2018年全国Ⅲ卷理数）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
2.（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】(1). (2). 3
【解析】由正弦定理得,所以
由余弦定理得（负值舍去）.
3. （2018年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
4. （2018年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】(1) ∠A=
(2) AC边上的高为
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．
由正弦定理得=，∴sin A=．
∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，
∴AC边上的高为．
5. （2018年全国I卷理数）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】(1) .
(2).
【解析】
1.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
1510
【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，
△ABE中，，，
．
又，
，
，．
综上可得，△BCD面积为
2
2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
2
3sin a
A
（1）求sin B si n C;
（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.
【答案】（1）2
3
.（2）333
+
【解析】
3.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a,b=2. （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积.
【答案】(1)4
c=；3
【解析】
又△ABC 的面积为
【考点】 余弦定理解三角形；三角形的面积公式
4.【2017天津，理15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3
sin 5
B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4
A +的值.
【答案】 (1) 13b =72
26
【解析】
（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =
，可得4
cos 5
B =.由已知及余弦定理，有，所以13b =.
由正弦定理,得.
所以，b 13sin A 313（Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得
，所以，
.故.
1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =（ ）
（A （B （C ）- （D ）-
【答案】C
【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以
，
．由余
弦定理，知，故选C ．
2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4c o s 5A =，5
cos 13
C =，1a =，则b = ．
【答案】
21
13
3.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若=13AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得
,选A.
4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若，则
的最小值是
▲ .
【答案】8.
【解析】，又，因
即最小值
为8.
【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，
则a 的值为 .
【答案】8
【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A
C
= ．
【答案】1
【解析】
【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2
【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
，即
，解得BE 6+2，平移AD ，当
D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
，即
，解得62所以AB 的取值范围为62）
.
【2015江苏高考，15】（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知.
（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值
【答案】（1；（2
【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：
2
B A π-=
；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）29
,]28
.
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛
⎭
⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π
3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－1
2
. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π
6，
即10<t <18.
故在10时至18时实验室需要降温．
（2014·江西卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π
4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．
（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π
4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π
3
，k ∈Z.。