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概率论与数理统计强化讲义_数三_

考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
概率论与数理统计强化讲义（数三）
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
课程配套讲义是学习的必备资源，帮帮为大家精心整理了高质量的配套讲义，确保同学们学习的方便与高效。该讲义是帮帮结合大纲考点及考研辅导名师多年辅导经验的基础上科学整理的。内容涵盖考研的核心考点、复习重点、难点。结构明了、脉络清晰，并针对不同考点、重点、难点做了不同颜色及字体的标注，以便同学们复习时可以快速投入、高效提升。除课程配套讲义外，帮帮还从学习最贴切的需求出发，为大家提供以下服务，打造最科学、最高效、最自由的学习平台：
I 0.94 II Cn2 0.94 0.06 III 1 0.94
B 发生 A 不发生的概率相等，求 A 发生的概率.
第 2 页
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
【答案】
2 3
1 1 1 , P B A , P A B ,则 P A B ___ 4 3 2
例 8. P ( A ) 【答案】
1 3
题型二三大概型
方法点拨：三大概型是指古典概型、几何概型、伯努利概型。古典概型就是常说的排列组合问题，考的少，几何概型注意体积、面积的计算，伯努利概型，需要注意一下“至多”和“至少”的问题。例 1.在区间 -1,1 之间任取两个数 X，Y 则二次方程 t 2 Xt Y 0 有两个正根的概率为 ___ 【答案】
P max X , Y 0 =___

3 4 , P X 0 P Y 0 , 则 7 7
【答案】
5 7
设 A,B,C 是随机事件，且

学渣分享逆袭南京大学考研成功案例

学渣355+逆袭南大cs学硕引言一直想写一个与众不同的经验贴，这个文档从考研成绩刚出来就开始写，我有点拖沓，一直拖一直拖，分好几次才终于完成。

内容有点多，更像是在和你们讲述我的考研经历和方法，希望学弟学妹们能够坚持看完，里面提到的书籍、视频最后面有一个汇总。

希望能够帮到你们！考研期间在王道论坛找到了很多资料，受益颇多，现在终于如愿被录取，甚是感激，希望能用这篇经验贴为后面考南大计算机的学弟学妹们加油！2018年2月6日考研过去了将近一个半月，成绩公布后的第三天。

之所以现在才写经验贴，是因为一直没什么时间。

前一段时间毕设开题答辩一团糟，找工作也不是很顺利。

355+分还是有些出乎意料，仿佛看到了一片曙光，分数不高不低，甚至没法确定是否能够进入复试，如果大家看到这篇帖子，也就说明初试过了（没错，我就是这么爱玩）。

2018年3月30日（复试结束半个月，复试通过，学硕排名前十被录取）下面开始分享一下这几个科目我的复习方法，按照考试顺序进行：政治一（60+）讲实话，政治算是我比较慌的一门，因为从小记性不好，文科很烂，而且个人来讲读书很少，大学快毕业写出来的东西和小学相比感觉没什么进步（从这篇经验贴的文笔不难看出）。

如果你有和我同样的顾忌，请你相信我，考研政治很简单，紧跟肖秀荣爷爷就对了。

不管每年考前大家怎么传，题目怎么漏，请你记住，你爷爷永远是你爷爷。

肖爷爷出一本书你就买一本，政治你要做的就是一开始对照着最厚的那本全书（名字是精讲精练），做一遍肖爷爷的1000题，做完之后再看几遍（至少一遍吧）。

后面会出一本《知识点提要》，是一些比较重要的知识点，不可能全部背住，但请你尽可能熟悉。

再后面的时政是一本小书，买来翻翻看看就好！《命题人讲真题》要当考试一样自己独立完成选择题，大题可以不看。

《肖八肖四》选择题和上一本一样，一定要独立完成，再看答案！大题请你全部背住，全部背住，全部背住！（如果你实在记不住，也要把每道题答的那些点记一下，考试的时候编，但为什么要尽可能背呢，因为书上某些话某些词逼格更高一些，你可能编不出来）。

考研概率强化讲义(全题目)资料

考研概率与数理统计第一章随机事件和概率第一节基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。

若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。

李正元刘西恒王式安强化班讲义

x → x0
4°设 lim f ( x ) = 0 ，x→x0 时 g（x）局部有界，则 lim ( f ( x) g ( x) ) = 0 （无穷小量与有界
x → x0 x → x0
变量之积为无穷小．） 2．幂指函数的极限及其推广设 lim f ( x ) = A＞0， lim g ( x) = B则 lim f ( x)
二、重点考核点
这部分的重点是： ①掌握求极限的各种方法． ②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法． ③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算．
§1
1．不等式性质
极限的重要性质
设 lim x n = A， lim y n = B ，且 A＞B，则存在自然数 N，使得当 n＞N 时有 xn＞yn．
= lim = 1⋅
tan x(1 − cos x) 1 lim x →0 x(1 − cos x) x →0 1 + tan x + 1 + sin x 1 1 = ． 2 2
【例 2】求 I = lim
4 x2 + x − 1 + x + 1 x 2 + sin x
x →−∞
【解】作恒等变形，分子、分母同除
1 = lim (1 + t a ) t →0 + 2 1 2
1 −1 a
⋅ t a −2
⎧ 0 ⎪ 1 ⎪ =⎨ ⎪ 2 ⎪ ⎩ +∞
(a＞2) (a = 2) (0＜a＜2)
因此（α，β） = ( 2， ) ．分别求左、右极限的情形，分别求 lim x 2 n −1与 lim x 2 n 的情形
0
x → x0

考研概率强化讲义(全题目)资料

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。

考研干货：考研政英数命题组下来的人

考研政英数命题组下来的人1./肖秀荣：1991—2004年为教育部考试中心全国硕士研究生政治理论入学统一考试命题组成员，曾任政治命题组副组长及学科组长。

统治考研政治半壁江山，预测猜题准。

据推算，今年肖老爷子年龄应该有74了，如果退休了，政治就真的不好考了。

/才逸：2000—2010年受聘于教育部考试中心，曾任研究生入学考试政治命题组学科组长。

对命题思路把握的很准，每年也出考前预测8套卷和4套卷，但知名度不高。

/王顺生：1992—2003年连续12年担任全国硕士研究生入学考试政治命题组组长。

2./张剑：1999—2003年任教育部考试中心研究生入学考试英语命题组成员。

黄皮书很有名。

/毕金献：1989—1998年受聘于教育部考试中心，曾任研究生入学考试英语命题组组长。

/冯小诗：1999—2003年任研究生入学考试英语命题组组长。

/吴一安(就是那个2010考研大作文出火锅的，是考研以来最难的)：2010年任研究生入学考试英语命题组组长。

/张振中：1990年起受聘于教育部考试中心，任全国研究生入学统一考试英语命题组成员，曾连续四年担任全国研究生入学统一考试英语命题组组长。

3./王式安：1987—2001年任研究生入学考试数学命题组组长。

讲概率论，和李永乐出了一个系列的书。

/季文铎：近几年刚退。

/蔡燧林：1992—2000年任研究生入学考试数学命题组组长。

高数非常牛，人称命题机器，但是现在基本不出书了。

/胡金德：1989—2001年任研究生入学考试数学命题组成员。

负责线性代数。

/范培华：曾参加全国硕士研究生入学考试数学命题工作14年。

好早之前出过题，应该是讲概率统计的。

/龚冬保：现在不出书了。

/周概容：1987—2003年任研究生入学考试数学命题组成员，曾任命题组组长。

负责概率统计。

/单立波：曾任数学命题组组长。

现在应该还有他的一本小册子在卖，是李王系列的。

注：李永乐、李正元从来都不是命题人。

根据保密协议，命题人离开命题组3年后，身份才可以公开，但仍然不得泄露包括其他命题人信息、题库试题等保密内容。

2011考研数学概率论与数理统计强化课程讲义全

2011考研强化班概率论与数理统计讲义第1讲随机事件和概率1．1 知识网络图1．2 重点考核点的分布(1)样本空间与随机事件．*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)．*(3)条件概率与概率的乘法公式．**(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)．**(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式．(6)伯努利(Bernoulli)概型．各个考核点前面加“**”表示重点考核点；“*”表示次重点考核点；括号前没有标注的表示一般考核点(下同)．1．3 课上复习内容1．3．1 预备知识在复习“概率论”之前，我们需要掌握“二值集合”、“组合分析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容，下面将有关内容作一简单介绍：1．3．1．1 二值集合集合是一个不能给出数学定义的概念，尽管如此，我们仍然可以给它一个定性描述．所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体．构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素．集合通常用大写字母A，B，C表示，其元素用小写字母a，b，c表示．设A是一个集合，如果a是A的元素，记作a∈A，用“1”表示这一隶属关系；如果a 不是A的元素，记作a∈A(或a∉A)，用“0”表示这一隶属关系．因此，我们称这种集合为“二值集合”，在初等概率论中，我们只研究这样的集合．有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论，这里不再重复．下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍．例1设A＝{2，4，8}，则集合A的所有子集是，{2}，{4}，{8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，{2，4，8}．注意，在考虑集合A的所有子集时，不要把空集和它本身忘掉．设A，B是两个集合．如果A⊂B，B⊂A，那么称集合A与B相等，记作A＝B．很明显，含有相同元素的两个集合相等．例2设A＝{0，2，3}，B＝{x|x为方程x3－5x2＋6x＝0的解}，则A＝B．设A，B是两个集合．如果B的每一个元素对应于A的唯一的元素，反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素，那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系，并称A与B等价，记作A～B．与自然数集N等价的任何集合，称为可列集．显然，一切可列集彼此都是等价的．今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个)，并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个)．例3设A＝{a|a＝2n，n∈N}，B＝{b|b＝n2＋1，n∈N}，则A～B．由上面的讨论可以看出，集合的分类如下：1．3．1．2 组合分析中的几个定理1．加法原理定理1设完成一件事有n类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成．若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，……，第n类方法有m n种，并且这m1＋m2＋…＋m n种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有m1＋m2＋…＋m n种方法．2．乘法原理定理2设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……第n步有m n种方法，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有m1m2…m n种方法．3．排列定义1 从n个不同元素中，每次取出m个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n 个元素中每次取出m个元素的排列．定理3从n个不同元素中，有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列)，共有n m种不同的排列．例4 袋中有N个球，其中M个为白色，从中有放回地取出n个：①N＝10，M＝2，n＝3；②N＝10，M＝4，n＝3．考虑以下各事件的排列数：(Ⅰ)全不是白色的球．(Ⅱ)恰有两个白色的球．(Ⅲ)至少有两个白色的球．(Ⅳ)至多有两个白色的球．(Ⅴ)颜色相同．(Ⅵ)不考虑球的颜色．答案是：①当M＝2时，(Ⅰ)83．(Ⅱ)3×22×8．(Ⅲ)3×22×8＋23．(Ⅳ)3×22×8＋3×2×83＋83(或103－23)．(Ⅴ)23＋83．(Ⅵ)103．②当M＝4时，将上面的2→4，8→6即可．分析这是一个可重复的排列问题．由定理3，可求出其排列数．问题恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的22×8，而不是1倍或6倍的？提示根据加法原理．定理4 从n 个不同元素中，无放回地取出m 个(m ≤n )元素进行排列(简称为选排列)共有)!(!)1()1(m n n m n n n -=+--种不同的排列．选排列的种数用mn A (或mn P )表示，即)!(!m n n A m n -=特别地，当m ＝n 时的排列(简称为全排列)共有n ·(n －1)(n －2)·…·3·2·1＝n ! 种不同排列．全排列的种数用P n (或nn A )表示，即P n ＝n !，并规定0!＝1．4．组合定义2 从n 个不同元素中，每次取出m 个元素不考虑其先后顺序作为一组，称为从n 个元素中每次取出m 个元素的组合．定理5 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合(简称为一般组合)共有(1)(1)!!!()!n n n m n m m n m --+=-种不同的组合．一般组合的组合种数用mn C (或⎪⎪⎭⎫⎝⎛m n )表示，即 ,)!(!!m n m n C m n -=并且规定.10=n C 不难看出m m nnm A C p =⋅例5 袋中有N 个球，其中M 个为白色，从中任取n 个： ①N ＝10，M ＝2，n ＝3；②N ＝10，M ＝4，n ＝3．考虑以下各事件的组合数： (Ⅰ)全不是白色的球． (Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球． (Ⅳ)至多有两个白色的球． (Ⅴ)颜色相同． (Ⅵ)不考虑球的颜色．答案是：①当M ＝2时，(Ⅰ).0238C C (Ⅱ).1822C C (Ⅲ).1822C C(Ⅳ)211203328282810().C C C C C C C ++或 (Ⅴ).38C (Ⅵ)⋅310C②当M ＝4时，(Ⅰ).0436C C (Ⅱ).1624C C (Ⅲ).06341624C C C C +(Ⅳ))(34310360426141624C C C C C C C C -++或． (Ⅴ).3634C C +(Ⅵ)⋅310C分析(略)定理6 从不同的k 类元素中，取出m 个元素．从第1类n 1个不同元素中取出m 1个，从第2类n 2个不同的元素中取出m 2个，……，从第k 类n k 个不同的元素中取出m k 个，并且n i ≥m i ＞0(i ＝1，2，…，k )(简称为不同类元素的组合)，共有iik k m n ki m n m n m n C CC C ∏==12211 种不同取法．例6 从3个电阻，4个电感，5个电容中，取出9个元件，问其中有2个电阻，3个电感，4个电容的取法有多少种？解这是一个不同类元素的组合问题．由定理6知，共有60151413252423==C C C C C C即60种取法．例7 五双不同号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配对(即不成双)，求(Ⅰ)排列数；(Ⅱ)组合数．答案是：(Ⅰ)141618110C C C C ；(Ⅱ).1212121245C C C C C分析(略)1．3．1．3 微积分概率论可以分为“高等概率论”与“初等概率论”．初等概率论是建立在排列组合和微积分等数学方法的基础上的．全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的“概率论”就是初等概率论．微积分作为初等概率论的基础知识，除了我们已经比较了解的“函数、极限、连续、可导、可积”等概念之外，还应了解下面的有关概念．1．可求积与不可求积在微积分中，求不定积分与求导数有很大不同，我们知道，任何初等函数的导数仍为初等函数，而许多初等函数的不定积分，例如x x x x x xx x x x x d 1,d sin ,d ln 1,d sin ,d e 322+⎰⎰⎰⎰⎰- 等，虽然它们的被积函数的表达式都很简单，但在初等函数的范围内却积不出来．这不是因为积分方法不够，而是由于被积函数的原函数不是初等函数的缘故．我们称这种函数是“不可求积”的．因此，我们可以将函数划分为：在初等概率论中，正态分布密度函数就是属于可积而不可求积的一类函数． 2．绝对收敛(1)任意项级数的绝对收敛所谓任意项级数是指级数的各项可以随意地取正数、负数或零．下面给出绝对收敛与条件收敛两个概念．定义3 若任意项级数nn u∑∞=1的各项取绝对值所成的级数||1nn u∑∞=收敛，则称级数nn u ∑∞=1是绝对收敛的；若||1nn u∑∞=发散，而级数n n u ∑∞=1收敛，则称级数n n u ∑∞=1是条件收敛的．例如，级数nn n 1)1(11+∞=-∑是收敛的，但各项取绝对值所成的级数 ++++=-+∞=∑nn n n 1...211|1)1(|11是发散的，因而级数n n n 1)1(11+∞=-∑是条件收敛．又如，级数2111)1(n n n +∞=-∑各项取绝对值所成级数++++=-+∞=∑222111211|1)1(|nnn n是收敛的，因而级数2111)1(n n n +∞=-∑是绝对收敛的．定理7 若级数nn u∑∞=1绝对收敛，则nn u∑∞=1必定收敛．证明令),2,1()0(0)0(|)|(21=⎩⎨⎧<≥=+=n u u u u u v n n n n n n ，，于是）⋯=≥≥,2,1(0||n v u n n ．由||1nn u∑∞=收敛，根据正项级数的比较判别法，可知级数n n v ∑∞=1是收敛的．考虑到，||2n n n u v u -= 根据级数的基本性质，可知级数nn u∑∞=1也是收敛的．根据上面的定理，判断任意一个级数nn u∑∞=1的收敛性，可以先判断它是否绝对收敛．如果||1nn u∑∞=收敛，则n n u ∑∞=1也收敛．这样一来，我们可以借助于正项级数的判别法来判断任意项级数的敛散性了．但是，当级数||1nn u∑∞=发散时，不能由此推出级数n n u ∑∞=1也发散．在初等概率论中，我们将用绝对收敛这一概念来给出离散型随机变量均值的定义． (2)无穷积分的绝对收敛定义4 如果函数f (x )在任何有限区间[a ，b ](b ＞a )上可积，并且积分x x f ad |)(|⎰+∞收敛，那么，我们称积分x x f ad )(⎰+∞是绝对收敛的．此时，我们也称函数f (x )在无穷区间[a ，＋∞)上绝对可积．定理8 若积分x x f ad )(⎰+∞绝对收敛，则x x f ad )(⎰+∞必定收敛．上面的定理的逆定理并不成立，也就是说，从x x f ad )(⎰+∞的收敛性，不能推出x x f ad |)(|⎰+∞也收敛，例如，积分⎰+∞-d sin x xx是收敛的，但是积分x xx d |sin |0⎰+∞却发散．这一点与定积分不同，对于定积分，从x x f bad )(⎰的存在性，必能推出xx f bad |)(|⎰存在．若积分x x f ad )(⎰+∞收敛，而积分x x f ad |)(|⎰+∞发散时，则称积分x x f ad )(⎰+∞为条件收敛的．例如积分x xxad sin ⎰+∞是条件收敛的．在初等概率论中，我们将用绝对可积这一概念来给出连续型随机变量均值的定义． 1．3．2 样本空间与随机事件1．随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象．在一组不变的条件S 下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象．这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果．在一组不变的条件S 下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象．这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种．一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性．随机现象的偶然性又称为它的随机性．在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性．2．随机试验与随机事件为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验．如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行．(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果．(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果．那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验．一般用字母E表示．问题“一个具体的人，在一次乘车郊游时，因发生交通事故而受伤”，是否为随机试验？在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用ω表示；而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为Ω．例8设E1为在一定条件下抛掷一枚匀称的硬币，观察正、反面出现的情况．记ω1是出现正面，ω2是出现反面．于是Ω由两个基本事件ω1，ω2构成，即Ω＝{ω1，ω2}．例9 设E2为在一定条件下掷一粒骰子，观察出现的点数．记ωi为出现i个点(i＝1，2，…，6)．于是有Ω＝{ω1，ω2，…，ω6}．问题例8、例9中样本空间Ω的子集个数是多少？为什么？所谓随机事件是样本空间Ω的一个子集，随机事件简称为事件，用字母A，B，C等表示．因此，某个事件A发生当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生，记为ω∈A．在例9中，Ω＝{ω1，ω2，…，ω6}，而E2中的一个事件是具有某些特征的样本点组成的集合．例如，设事件A＝{出现偶数点}，B＝{出现的点数大于4}，C＝{出现3点}，可见它们都是Ω的子集．显然，如果事件A发生，那么子集{ω2，ω4，ω6}中的一个样本点一定发生，反之亦然，故有A＝{ω2，ω4，ω6}；类似地有B＝{ω5，ω6}和C＝{ω3}．一般而言，在例9中，任一由样本点组成的Ω的子集也都是随机事件．1．3．3 事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种．事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”．如果没有特别的说明，下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间Ω中进行的．1．事件的包含关系与等价关系设A，B为两个事件．如果A中的每一个样本点都属于B，那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为A⊂B或B⊃A．如果A⊃B与B⊃A同时成立，那么称事件A与事件B等价或相等，记为A＝B．在下面的讨论中，我们经常说“事件相同、对应概率相等”，这里的“相同”指的是两个事件“等价”．2．事件的并与交设A，B为两个事件．我们把至少属于A或B中一个的所有样本点构成的集合称为事件A与B的并或和，记为A∪B或A＋B．设A ，B 为两个事件．我们把同时属于A 及B 的所有样本点构成的集合称为事件A 与B 的交或积，记为A ∩B 或A ·B ，有时也简记为AB ．3．事件的互不相容关系与事件的逆设A ，B 为两个事件，如果A ·B ＝，那么称事件A 与B 是互不相容的(或互斥的)．对于事件A ，我们把不包含在A 中的所有样本点构成的集合称为事件A 的逆(或A 的对立事件)，记为.A 我们规定它是事件的基本运算之一．在一次试验中，事件A 与A 不会同时发生(即A ·A ＝，称它们具有互斥性)，而且A与A 至少有一个发生(即A ＋A ＝Ω，称它们具有完全性)．这就是说，事件A 与A 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=+∅=⋅.,ΩA A A A 问题 (1)事件的互不相容关系如何推广到多于两个事件的情形？(2)三个事件A ，B ，C ，ABC ＝与⎪⎩⎪⎨⎧∅=∅=∅=BC AC AB ,, 关系如何？根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律： (1)A (B ＋C )＝AB ＋AC (分配律)． (2)A ＋BC ＝(A ＋B )(A ＋C )(分配律)．(3)B A B A ⋅=+ (德·摩根律)．(4)B A B A +=⋅(德·摩根律)．有了事件的三种基本运算我们就可以定义事件的其他一些运算．例如，我们称事件AB 为事件A 与B 的差，记为A －B ．可见，事件A －B 是由包含于A 而不包含于B 的所有样本点构成的集合．例10 在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？ (3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立． 4．事件的独立性设A ，B 是某一随机试验的任意两个随机事件，称A 与B 是相互独立的，如果P (AB )＝P (A )P (B )．可见事件A 与B 相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系．所谓事件A 与B 相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性，即当P (B )≠0时，A 与B 相互独立也可以用)()|(A P B A P =来定义．由两个随机事件相互独立的定义，我们可以得到：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．如果事件A ，B ，C 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P 则称事件A ，B ，C 相互独立．注意，事件A ，B ，C 相互独立与事件A ，B ，C 两两独立不同，两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立．因此，相互独立一定是两两独立，但反之不一定．例11 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？解由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+===()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？1．3．4 概率的定义与性质1．概率的公理化定义定义5 设E 是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E 中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P (A )(其中A 为任一随机事件)，且P (A )满足以下三条公理，则称函数P (A )为事件A 的概率．公理1(非负性) 0≤P (A )≤1．公理2(规范性) P (Ω)＝1．公理3(可列可加性) 若A 1，A 2，…，A n ，…两两互斥，则).()(11i i i i A P A P ∑∞=∞==由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质．性质1(有限可加性) 设A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则).()(11i ni i n i A P A P ∑===性质2(加法公式) 设A ，B 为任意两个随机事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )．性质3 设A 为任意随机事件，则P (A )＝1－P (A )．性质4 设A ，B 为两个任意的随机事件，若A ⊂B ，则P (B －A )＝P (B )－P (A )．由于P (B －A )≥0，根据性质4可以推得，当A ⊂B 时，P (A )≤P (B )．例12 设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率．解设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示利用事件的关系与运算导出．例13 设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===2．概率的统计定义定义6 在一组不变的条件S 下，独立地重复做n 次试验．设μ是n 次试验中事件A 发生的次数，当试验次数n 很大时，如果A 的频率f n (A )稳定地在某一数值p 附近摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值p 为事件A 在条件组S 下发生的概率，记作.)(p A P =问题 (1)试判断下式p n n =∞→μlim成立吗？为什么？(2)野生资源调查问题池塘中有鱼若干(不妨假设为x 条)，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号．用A 表示事件{任捞一条带记号}，问下面两个数2004,200x 哪个是A 的频率？哪个是A 的概率？为什么？3．古典概型古典型试验：(Ⅰ)结果为有限个；(Ⅱ)每个结果出现的可能性是相同的．等概完备事件组：(Ⅰ)完全性；(Ⅱ)互斥性；(Ⅲ)等概性．(满足(Ⅰ)，(Ⅱ)两条的事件组称为完备事件组)定义7 设古典概型随机试验的基本事件空间由n 个基本事件组成，即Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }．如果事件A 是由上述n 个事件中的m 个组成，则称事件A 发生的概率为⋅=nm A P )( (1－1) 所谓古典概型就是利用式(1－1)来讨论事件发生的概率的数学模型．根据概率的古典定义可以计算古典型随机试验中事件的概率．在古典概型中确定事件A 的概率时，只需求出基本事件的总数n 以及事件A 包含的基本事件的个数m ．为此弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A 包含了哪些基本事件是非常重要的．例14 掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．解设A ＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况：(Ⅰ)Ω1＝{同面、异面}，n 1＝2．(Ⅱ)Ω2＝{正正、反反、一正一反}，n 2＝3．(Ⅲ)Ω3＝{正正、反反、反正、正反}，n 3＝4．于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m 1＝1，于是有21)(=A P ．而对于(Ⅱ)来说，m 2＝1，于是有31)(=A P ．而对于(Ⅲ)来说，m 3＝1，于是有41)(=A P ．问题以上讨论的三个结果哪个正确，为什么？例15 求1．3．1预备知识的例5中(Ⅰ)至(Ⅴ)问的概率．答案是：①当M ＝2时，(Ⅰ)⋅31038/C C (Ⅱ)⋅31018/C C (Ⅲ)⋅31018/C C (Ⅳ)1． (Ⅴ)⋅31038/C C②当M ＝4时，(Ⅰ)⋅31038/C C (Ⅱ)⋅3101624/C C C (Ⅲ)310341624/)(C C C C +．(Ⅳ)31034310/)(C C C -． (Ⅴ) 3103634/)(C C C +．分析(略)问题 (1)例15中各问可否使用排列做，为什么？(2)用排列或组合完成例15时哪种方法较为简便？例16 求1．3．1预备知识的例4中(Ⅰ)至(Ⅴ)问的概率．答案是：①当M ＝2时，(Ⅰ)3310/8． (Ⅱ)3210/823⨯⨯． (Ⅲ)33210/)2823(+⨯⨯．(Ⅳ)33310/)210(-． (Ⅴ)33310/)82(+．②当M ＝4时，将上面的2→4，8→6即可．分析(略)问题 (1)例16中各问可否使用组合做，为什么？(2)用元素可重复的排列或组合完成例16时，哪种方法较为简便？(3)小结一下“古典概型”中“有放回地抽取”与“无放回地抽取”时分别应采用的方法．例17 求1．3．1预备知识的例7中“取出的4只都不配对”的概率．答案是：410141618110/P C C C C 或 4111145222210/C C C C C C ．分析(略)例18 从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取3次，求三张都不同号的概率．解这是一个古典概型问题．设A ＝{三张都不同号}．由题意，有n ＝133，m ＝313P ，则 ⋅==169132)(n m A P问题如果我们进一步问三张都同号，三张中恰有两张同号如何求出？另外，本题可否使用二项概型计算？例19 在20枚硬币的背面分别写上5或10，两者各半，从中任意翻转10枚硬币，这10枚硬币背面的数字之和为100，95，90，…，55，50，共有十一种不同情况．问出现“70，75，80”与出现“100，95，90，85，65，60，55，50”的可能性哪个大，为什么？答案是：出现“70，75，80”可能性大，约为82％．分析这是一个古典概型问题．设A ＝{出现“70，75，80”}，由题意，有,2,6104105105101020C C C C m C n +==则 ⋅==184756151704)(n m A P 4．几何概型几何型试验：(Ⅰ)结果为无限不可数；(Ⅱ)每个结果出现的可能性是均匀的．定义4 设E 为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A 所包含的基本事件，则称事件A 发生的概率为,)()()(Ω=L A L A P (1－2) 其中L (Ω)与L (A )分别为Ω与A 的几何度量．所谓几何概型就是利用式(1－2)来讨论事件发生的概率的数学模型．注意，上述事件A 的概率P (A )只与L (A )有关，而与L (A )对应区域的位置及形状无关．例20 候车问题某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 问题 (1)例20可否使用一维均匀分布来计算？(2)举例说明：(Ⅰ)概率为0的事件不一定是不可能事件．(Ⅱ)概率为1的事件不一定是必然事件．例21 会面问题甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P 问题例21可否使用二维均匀分布来计算？1．3．5 条件概率与概率的乘法公式1．条件概率前面我们所讨论的事件B 的概率P S (B )，都是指在一组不变条件S 下事件B 发生的概率(但是为了叙述简练，一般不再提及条件组S ，而把P S (B )简记为P (B ))．在实际问题中，除了考虑概率P S (B )外，有时还需要考虑“在事件A 已发生”这一附加条件下，事件B 发生的概率．与前者相区别，称后者为条件概率，记作P (B |A )，读作在A 发生的条件下事件B 的概率．在一般情况下，如果A ，B 是条件S 下的两个随机事件，且P (A )≠0，则在A 发生的前提下B 发生的概率(即条件概率)为)()()|(A P AB P A B P =， (1－3) 并且满足下面三个性质：(1)(非负性)P (B |A )≥0；(2)(规范性)P (Ω|A )＝1；(3)(可列可加性)如果事件B 1，B 2，…互不相容，那么).|()|(11A B P A B P i i i i ∑∞=∞==问题 (1)条件概率在原样本空间Ω中是某一个事件的概率吗？(2)如何判断一个问题中所求的是条件概率还是无条件概率？(3)在一个具体问题中条件概率如何获得？例22 设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析这是一个条件概率问题．解因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 2．概率的乘法公式在条件概率公式(1－3)的两边同乘P (A )，即得P (AB )＝P (A )P (B |A )． (1－4)例23 在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P问题 (1)例23中，问两件产品为一件正品，一件次品的概率是多少？(2)例23中，将“无放回地抽取”改为“有放回地抽取”，答案与上题一样吗？为什么？例24 抓阄问题五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．分析 (1)什么是“抓阄”问题，如何判断它？(2)例24中“求第二个人抓到的概率”是指“在第一人没有抓到的条件下，第二个人抓到的概率”吗？解这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P所以⋅=⨯=514154)(2A P 问题 (1)本题还有其他方法解决吗？(2)若改成n 个人抓m 个有物之阄(m ＜n )，下面的结论),,2,1()(n k nm A P k == 还成立吗？例25 设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}．试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．例26 加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．问题本题使用加法公式还是乘法公式较为简便？例27 一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或．。

王式安概率论

王式安概率论引言概率论是一门研究随机现象规律的学科，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。

王式安概率论是对概率论的一种独特的研究方法和应用模型。

本文将从基本概念、王式安概率模型、应用实例等方面进行全面、详细、完整且深入地探讨。

基本概念在介绍王式安概率论之前，我们先来回顾一下概率论的基本概念。

随机试验和样本空间随机试验是指在相同条件下可以重复进行的试验，其结果不确定。

样本空间是随机试验所有可能结果的集合。

随机事件和概率随机事件是样本空间的子集，表示某些特定结果的集合。

概率是用来描述事件发生可能性大小的数值，介于0和1之间。

概率公理和概率公式概率公理是概率论的基础，包括非负性、规范化和可列可加性三条公理。

概率公式用来计算事件发生的概率。

王式安概率模型王式安概率模型是一种解决复杂概率问题的方法，它基于王式安分布和王式安定理，能够提供更准确的概率预测。

王式安分布王式安分布是一种连续概率分布，由英国数学家王式安提出。

它在统计学、金融工程、自然科学等领域有广泛应用。

王式安分布的概率密度函数具有对称性和钟形曲线特点。

王式安定理王式安定理是概率论中的一大重要定理，它表明一组独立同分布的随机变量的平均值的分布近似服从正态分布。

王式安定理在概率论和统计学中有广泛应用，是许多统计推断方法的基础。

王式安概率模型的应用王式安概率模型在金融风险评估、天气预测、医学疾病诊断等领域得到了广泛应用。

通过对观测数据的分析和建模，利用王式安概率模型可以对未来事件的概率进行预测，为决策提供科学依据。

应用实例下面将以几个实际应用案例来说明王式安概率论的具体应用。

金融风险评估在金融市场中，了解不同投资品种的风险是非常重要的。

王式安概率模型可以通过分析历史数据，预测不同投资品种的未来风险，并为投资者提供科学的风险评估依据。

天气预测天气预测是人们日常生活中关心的重要问题。

王式安概率模型可以通过分析历史天气数据，建立天气变化模型，从而对未来的天气情况进行预测，为人们的出行和工作提供参考。

2016王式安概率论冲刺班讲义

1 { ) } } 例9 ( 设随机变量 X, 1 4 Y 的概率分布相同 , X 的概率分布为P { X =0 P X =1 = , = 3
1, 若 X >0, ì ï ï ( ) [ , ] , 例1 0 0 0 设随机变量 X ~ U -1 2 随机变量Y = í 0, 若 X = 0, ï î-1, 若 X <0, 则方差 D Y= .
æ æ 1 ö2 ö )设ξ, , ç0 ç ÷ ÷ 的随机变量, 例3 ( 是两个相互独立且均服从正态分布则随机变量 9 6 N η è è 2ø ø )= . | | ξ-η| 的数学期望 E( ξ-η|
)设两个随机变量 X, 例4 ( 且都服从均值为 0, 方差为 1 的正态分布 , 则随机 9 8 Y 相互独立 , 2 )= 变量 |X -Y | 的方差 D( . |X -Y |
例7
1, 如果考生不知道正确解法就瞎猜 , 试求 : 4 ( Ⅰ )该考生答对此选择题的概率 . ( 而不是瞎猜的概率 . Ⅱ )当考生答对了 ,
某一选择题有 4 个选项 , 已知考生知道正确解法的概率为 2 , 考生因粗心犯错的概率为 3
㊃3㊃
主要考点 : 离散型和连续型随机变量 , 分布函数 , 分布律 , 概率密度 , 常见分布 , 随机变量函数 1. 的分布 , 随机变量独立 . 典型例题分析 2. ] , ( }= 例 1 设随机变量 X 与Y 相互独立 , 且均服从 U [ 则 P{ 0, 3 m i n X, Y)<1 .
b 0. 1
( D) a = 0. 1 b = 0. 4.
㊃4㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 )袋中有一个红球 , 例5 ( 两个黑球 , 三个白球 , 现有放回地从袋中取两次, 每次取一个球, 0 9 以 X, 黑球与白球的个数 . Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球 , ( Ⅱ )求二维随机变量 ( X, Y)的概率分布 .

考研概率强化讲义(全题目)

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。

对话海文名师王式安教授

对话海文名师王式安教授——原命题组组长谈09数学概率论复习完美攻略主持人：今天我们非常荣幸的请到了海文考研名师—王式安教授。

王式安教授在1987至2001年担任全国研究生入学考试数学命题组组长，教育部考试中心资深顾问专家，长期主持研究生入学考试数学。

原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任，教授，享受国务院特殊津贴的数学专家。

美国哥伦比亚、南佛罗里达、纽约等大学的客座教授。

王老师是2004年中央电视台唯一采访的考研辅导名师！首先，请王教授为我们分析一下近年数学试卷的题型及其特点。

王式安：在硕士研究生入学考试的数学统考试卷中，尽管概率统计和线性代数所占分数比例完全相同（数一均为20分；数三、数四都是25分）。

但是概率论与数理统计部分得分一般均低于线性代数部分，更远远低于它在数学试卷中占的比例。

这一方面是因为大多数考生在复习和答卷时，把概率论与数理统计放在最后，常因时间紧迫，思虑不周而造成准备不充分，进而导致答卷失误。

还有些数一的考生根据几年以前的试题分析，认为数一的概率论与数理统计的考题比数三和数四的容易，但是他们忽略了近两、三年来，这一情况已经发生了改变，比如今年概率论与数理统计的两个大题，数一的得分率远远低于数三和数四的得分率；再一方面就是概率论与数理统计自身的特点，使一部分考生在复习时难得要领，与微积分和线性代数相比，概率论与数理统计所研究的不是确定性现象，而是随机现象。

因此，在学习方法上，它不但要求学生善于运用形式逻辑，而且必须掌握较强的直观分析技巧，这也就使得考生在复习和解题时感到困难。

从近几年的硕士研究生入学数学考试阅卷结果也可以看出，这部分试题得分率普遍较低，出于对这类题目的畏惧，有些考生甚至完全放弃这部分试题。

接下来，我帮助大家简单地分析一下概率论与数理统计的试题特点：从历年的考题来看，概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题。

大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，考生要能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

王式安考研概率强化讲义啊

第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。

理解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的根本性质，五大公式〔加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯〕，独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。

§1 随机事件与样本空间一、随机试验：E〔1〕可重复〔2〕知道所有可能结果〔3〕无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点ω所有样本点全体——样本空间Ω三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C样本点——根本领件，随机事件由根本领件组成。

假如一次试验结果，某一根本领件ω出现——ω发生，ω出现假如组成事件A的根本领件出现——A发生，A出现Ω——必然事件Φ——不可能事件§2 事件间的关系与运算一．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二．事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三．事件的文字表达与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：“第二次抽取到的是正品〞试用文字表达以下事件：〔1〕122313A A A A A A ；〔2〕123A A A ；〔3〕123A A A ；〔4〕123123123A A A A A A A A A ；再用123,,A A A 表示以下事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =∅≠二．性质 (1)()0P ∅= 〔2〕1212()()()()nn P A A A P A P A P A =++++,i j A A i j =∅≠(3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤三．条件概率与事件独立性(1)()()0,(),()P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率；(2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，,A B 独立,A B 独立,A B 独立,A B 独立；()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =；(3)121212(,,,)()()()1kk i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤称12,,n A A A 互相独立,(2321nn n n n C C C n +++=--个等式)互相独立⨯两两独立。

王式安1987年概率题

王式安1987年概率题王式安1987年概率题是一道经典的数学问题，深受学生和数学爱好者的喜爱。

这道题目引发了人们对概率和统计的深入思考，并且也展示了王式安教授在数学领域的杰出贡献。

题目的具体内容如下：假设有一个箱子，里面装有5个红球和7个白球。

现在将球一个一个地取出，但在取出之前，我们需要做一个随机选择，选择一个球的颜色，然后将选择的球取出，不放回。

那么，在取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率是多少？这道题目涉及到了概率计算以及条件概率的概念。

我们先来分析一下解题过程。

首先，我们需要计算在取出3个球之后，其中正好有2个是红球的情况。

这个问题可以分为两种情况：第一种情况是前两个球是红球，第三个球是白球；第二种情况是前两个球是白球，第三个球是红球。

对于第一种情况，我们需要计算的概率是：取出红球的概率乘以取出红球的概率乘以取出白球的概率。

对于第二种情况，我们需要计算的概率是：取出白球的概率乘以取出白球的概率乘以取出红球的概率。

将这两种情况的概率相加，即可得到取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率。

具体计算如下：第一种情况的概率：(5/12) * (4/11) * (7/10) = 14/110第二种情况的概率：(7/12) * (6/11) * (5/10) = 35/220两种情况的概率相加：14/110 + 35/220 = 49/220所以，取出3个球之后，其中正好有2个是红球的概率是49/220。

这道题目展示了概率计算的基本原理，以及如何利用条件概率解决实际问题。

王式安教授以其出色的解题能力和深厚的数学功底，为数学领域做出了重要贡献。

这道题目也成为了数学竞赛和考试中常见的题型，帮助学生提高他们的数学思维和解题能力。

考研数学+欧几里得数学小程序辅助

考研数学＋欧几里得数学小程序辅助
我目前在听的课程有:武忠祥高数基础课李永乐线代基础课。

我做过的练习册有:
基础阶段:武忠祥高等数学基础篇、《1800》基础篇+《660》欧几里
得数学每日严选题。

强化部分打算有:武忠祥高数强化讲义+李永乐线代强化讲义(二刷)、
王式安概率论强化讲义、《880》。

虽然是应届生考研，但是很多学过东西都忘记了，所以才选择通过大
量的习题来补基础、练手感，及时是高数有一定基础也要多练题，多总结。

至于复习进度和节奏，我觉得大多数应届的同学可能都是大差不差，所以
建议应届的研友在高数方面有不懂的知识点可以去看看欧几里得数学总结。

它里边每道题都分为四大板块。

不跳步分析，易错点分析，考点分析，举
一反三、挺适合咋们的。

原命题组组长王式安谈考研数学命题规律

原命题组组长王式安谈考研数学命题规律大家都知道考研真题的重要性，它反映了我们应该掌握的重点所在。

首先，大家要明确一点：研究生入学考试是一种国家的选拔性考试，而非如英语四六级一样的水平考试。

因而，这种考试的竞争是十分激烈的。

同学们从复习一开始就应该高标准、严要求，不能满足于一般的成绩，而应该像那个冰箱上的广告——没有最好，只有更好。

其次，我们了解这种考试的选拔性质，就可以清楚地理解它的一般命题原则。

研究生入学考试一般来说有两类题肯定是不会考的，一是大家都会的，既然大家都会，就没有区分度，不具备选择功能；一是大多数人都不会的，大家都不会，就等于这道题没出，也无法完成其区分选拔的作用。

因此我的第一个建议就是大家一定要将主要精力放在中等难度的题目上，只要这部分不出差错，我想考研数学过线应该是没问题的。

第三，研究生入学考试数学总共XX年考研阅卷的经验来看，考生在应考中存在三个主要问题。

（1）考生对数学基本概念掌握不牢固，对基本定理停留于记忆层面，理解不透彻，对重要的数学法则，重要的结论不熟练，更不擅于运用。

（2）考生解决数学综合试题和应用题的能力普遍较差，而这类题的分值又往往较高。

（3）没有真正具备数学解题的技能。

最常见的现象是考生拿到题后无从下手，因此，数学考试中常常出现有些考生在有些题目上只能交白卷，这种现象在其他科目的考试中几乎不可能出现。

怎么办?（1）牢牢掌握和理解数学的基本概念、基本定理、重要的数学法则、重要的数学结论等数学基础知识，这些是数学的基本要素，不打牢这个基础，其他一切都谈不上。

（2）通过专门的训练，切实提高数学的解题能力，做到面对任何一道题都能有条不紊地一步步展开分析和运算，考生数学的同学一般都会有过这样的体验，自己没有做出来的题，经别人一说，马上就能恍然大悟，这就是解题能力不强所致，而并不是全然不会做，其实往往就是某一个或两个关键环节没有突破，形成卡壳。

因此要突出对基础知识和主干知识的重点考查。