辽宁省大连市渤海高级中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年辽宁省大连市渤海高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．若复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）
A．B．1 C．D．2
2．复数z=的共轭复数是（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．若有一个线性回归方程为=﹣2.5x+3，则变量x增加一个单位时（）
A．y平均减少2.5个单位B．y平均减少0.5个单位
C．y平均增加2.5个单位D．y平均增加0.5个单位
4．已知=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
6．下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式
B．由a
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
7．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
8．已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）
A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）
9．曲线（θ为参数）的对称中心（）
A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上
10．虚数（x﹣2）+yi中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A． B． C． D．
11．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z=2﹣3i，则在复平面内，z对应的点的坐标是．
14．不等式＜0的解集为．（用区间表示）
15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
16．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W= ．
三、解答题：（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．某班主任对全班40名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：
（Ⅰ）请完善上表中所缺的有关数据；
（Ⅱ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“喜欢玩游戏与作业量的多少有关系”？
附：
χ2=
．
18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
=bx+a ；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：b=，a=﹣b ．）
19．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l
的参数方程是（t 为参数），l 与C 交与A ，B 两点，
|AB|=
，求l 的斜率．
20．设函数f （x ）=|x ﹣4|+|x ﹣a|（a ＞1），且f （x ）的最小值为3，若f （x ）≤5，求x 的取值范围．
21．以直角坐标系的原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为（1，﹣5），点M 的极坐标为（4，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为
，圆C 以M 为圆心、4为
半径．
（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系．
22．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，且f （x+2）≥0的解集为． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若a ，b ，c ∈R ，且=m ，求证：a+2b+3c ≥9．
2016-2017学年辽宁省大连市渤海高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．若复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）
A．B．1 C．D．2
【考点】A8：复数求模．
【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z===1+i，则
|z|==．
故选：C．
2．复数z=的共轭复数是（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
【解答】解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
3．若有一个线性回归方程为=﹣2.5x+3，则变量x增加一个单位时（）
A．y平均减少2.5个单位B．y平均减少0.5个单位
C．y平均增加2.5个单位D．y平均增加0.5个单位
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】回归方程y=﹣2.5x+3，变量x增加一个单位时，变量y平均变化﹣（﹣2.5x+3），及
变量y平均减少2.5个单位，得到结果．
【解答】解：回归方程y=﹣2.5x+3，变量x增加一个单位时，
变量y平均变化﹣（﹣2.5x+3）=﹣2.5，
∴变量y平均减少2.5个单位，
故选：A．
4．已知
=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
【考点】A3：复数相等的充要条件．
【分析】复数为实数的充要条件是虚部为0．和复数相等，求出m、n即可．
【解答】解：∵，
由于m、n是实数，
得
∴，
故选择C．
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；
“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；
“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．
【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．
故选B
6．下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【考点】F6：演绎推理的基本方法；F7：进行简单的演绎推理．
【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．
【解答】解：A是演绎推理，C、D为类比推理．
只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选B
7．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；
B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．
【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．
故选：D
8．已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）
A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上，得到线性回归方程一定过的点．
【解答】解：∵ =1.5， =4，
∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）
根据线性回归方程一定过样本中心点得到，线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，4）
故选：D．
9．曲线（θ为参数）的对称中心（）
A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上
【考点】QK：圆的参数方程．
【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．
【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，
故选：B．
10．虚数（x﹣2）+yi中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A． B． C． D．
【考点】A6：复数代数形式的加减运算．
【分析】点（x，y）在以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（与x轴交点除外），表示圆上的点与原点连线的斜率，数形结合可得．
【解答】解：由题意可得y≠0，且（x﹣2）2+y2=1，
∴点（x，y）在以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（与x轴交点除外），
∵表示圆上的点与原点连线的斜率，
易得直线OA与OB的斜率分别为，﹣
数形结合可知的取值范围为：
故选：B
11．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
【考点】F1：归纳推理．
【分析】根据所给的以5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．
【解答】解：∵55=3125，56=15625，57=78125，
58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…
可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，
∵2011÷4=502…3，
∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，
故选D．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
【考点】3R：函数恒成立问题；3K：函数奇偶性的判断；5A：函数最值的应用．
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时
的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
【解答】解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数z=2﹣3i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（2，﹣3）．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的几何意义即可得出．
【解答】解：复数z=2﹣3i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
14．不等式＜0的解集为（﹣∞，0）∪（9，+∞）．（用区间表示）
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】根据两数相乘积异号得负的取符号法则变形，即可求出解集．
【解答】解：不等式转化为x（9﹣x）＜0，且9﹣x≠0，
可得出x（x﹣9）＞0，
转化为：或，
解得：x＞9或x＜0，
则不等式的解集为（﹣∞，0）∪（9，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（9，+∞）．
15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3 ．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
16．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W= 2πr4．
【考点】F3：类比推理．
【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．
【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；
∴W=2πr4；
故答案为：2πr4
三、解答题：（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．某班主任对全班40名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：
（Ⅰ）请完善上表中所缺的有关数据；
（Ⅱ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“喜欢玩游戏与作业量的多少有关系”？
附：
χ2=
．
【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表即可；
（Ⅱ）计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）填写列联表，如下；
…
（Ⅱ）将表中的数据代入公式： χ2=
，
得x 2
=
，…
计算得χ2≈6.599＞3.841，
所以有95%把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系…
18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
=bx+a ；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：b=，a=﹣b．）
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想
【解答】解：（1）由表中数据求得=11， =24，
由b===，
a=﹣b=24﹣×11=﹣
y关于x的线性回归方程=x﹣…
（2）当x=10时， =，
|﹣22|=＜2；
当x=6时， =，|﹣12|=＜2．
所以，该小组所得线性回归方程是理想的．…
19．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，
|AB|=，求l的斜率．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直
线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan2α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
20．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3，若f（x）≤5，求x的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】利用不等式的性质对|x﹣4|+|x﹣a|进行放缩，求出其用a表示的最小值，因为f（x）的最小值为3，从而求出a值，把f（x）代入f（x）≤5，然后进行分类讨论求解．
【解答】解：因为|x﹣4|+|x﹣a|≥|（x﹣4）﹣（x﹣a）|=|a﹣4|，…
所以|a﹣4|=3，即a=7或a=1…
由a＞1知a=7；…
∴f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|≤5，
①若x≤4，f（x）=4﹣x+7﹣x=11﹣2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；
②若4＜x＜7，f（x）=x﹣4+7﹣x=3，恒成立，故4＜x＜7；
③若x≥7，f（x）=x﹣4+x﹣7=2x﹣11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；
综上3≤x≤8，
故答案为：3≤x≤8．…
21．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），
点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．
【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
（II）先化直线l的参数方程为普通方程，求出圆心坐标，用圆心的直线距离和半径比较可知位置关系．
【解答】解（I）直线l的参数方程为，（t为参数）
圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．
（II）因为对应的直角坐标为（0，4）
直线l化为普通方程为
圆心到，
所以直线l与圆C相离．
22．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．
【考点】&2：带绝对值的函数；R6：不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为，即|x|≤m 的解集为，故m=1．
（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（）
=1++++1++++1，利用基本不等式证明它大于或等于9．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|
≥0的解集为，
即|x|≤m 的解集为，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）
=1++++1++++1
=3++++++≥3+6=9，当且仅当
======1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
2017年6月22日。