新高中人教B版数学必修五课时作业：1.2应用举例(含答案)

§ 1.2应用举例(二)
.2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理
及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．
1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视
线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )
2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ________．
一、选择题
1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝β
C．α <β D ．α＋β＝ 90°
2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯
角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()
40
A． 20 3 m，33m
B． 10 3 m,20 3 m
C． 10(3－ 2) m,203 m
1520
D. 2 3 m，3 3 m
3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、 B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()
A． 30＋ 30 3 m B． 30＋ 153m
C． 15＋ 30 3m D ．15＋ 33m
4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()
A． 2h 米 B. 2h 米
C. 3h 米 D ． 22h 米
5．在某个地点测得某山岳仰角为θ，对着山岳在平行地面上行进600 m 后测仰角为原
来的 2 倍，持续在平行地面上行进2003m 后，测得山岳的仰角为本来的 4 倍，则该山岳的高度是 ()
A． 200 m B． 300 m
C． 400 m D． 100 3 m
6．平行四边形中， AC ＝ 65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是() A． 16B． 17.5C． 18D． 18.53
二、填空题
7．甲船在 A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正向
北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上
时甲船行驶了 ________海里．
8．△ ABC 中，已知 A ＝ 60°，AB ∶ AC ＝ 8∶5，面积为 10 3，则其周长为 ________．9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得悉，
该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．
三、解答题
11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
12．已知圆内接四边形ABCD 的边长 AB ＝ 2，BC＝ 6， CD＝ DA ＝ 4，求圆内接四边形
ABCD 的面积．
能力提高
13．如下图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行
丈量．已知 AB ＝ 50 m ，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝ 110 m，求∠ DEF 的余弦值．
14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．
1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用
解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．
2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据
需要求出所求的角．
§ 1.2 应用举例 (二)
答案
知识梳理
1
1．上
下
2.2absin C
作业设计
1． B 2．A
[h
＝ 20tan 60 ＝°20 3(m)． h
40
3(m)． ]
甲 乙
＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°3
1
＝ PB
60×
＝ 30
3．A
[ 在△ PAB 中，由正弦定理可得
60 ，PB ＝ 2 ，
－3
sin 30 ° sin 15 °sin 15 °
h ＝PBsin 45 ＝°(30＋ 30 3)m.]
4. A [如下图，
BC ＝ 3h ， AC ＝h ，
∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝ 2h.]
5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ
∴ cos 2 θ＝
3
，∴ θ＝ 15°，∴ h ＝ 200 3·sin 4＝θ300 (m) ． ] 2
6．A
[ 设两邻边 AD ＝ b ， AB ＝ a ，∠ BAD ＝α，
则 a ＋b ＝ 9， a 2＋ b 2－ 2abcos α＝ 17， a 2＋ b 2－ 2abcos(180 °－ α)＝65.
解得： a ＝ 5， b ＝ 4， cos α＝ 35或 a ＝ 4， b ＝ 5， cos α＝ 3
5，
∴ S
＝ ab sin
＝α16.]
7．北偏东 30°
3a
分析
如下图，设到
C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，
则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，
BC
AC
由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝
sin B ，
∴
1 ＝ 3 ， sin ∠ CAB sin 120
°
∴ sin ∠ CAB ＝ 1
，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝
30°， 2
∴ BC ＝AB ＝ a ，
∴ AC 2＝ AB 2
＋BC
2
－ 2AB ·BCcos 120°＝ a 2＋ a 2－ 2a 2
·－ 1
＝ 3a 2，∴ AC ＝ 3a.
2
8． 20
分析
1 3k 2
＝10 3.
设 AB ＝ 8k ， AC ＝ 5k ， k>0，则 S ＝ AB ·AC ·sin A ＝ 10
2
∴ k ＝1， AB ＝ 8， AC ＝ 5，由余弦定理：
2
2
2 2
2
1 BC ＝AB
＋ AC
－ 2AB ·AC ·cos A ＝ 8 ＋ 5
－ 2×8×5× ＝ 49.
2
∴ BC ＝7，∴周长为 AB ＋ BC ＋ CA ＝ 20.
27 π 9. 5
分析
不如设三角形三边为
a ，
b ，
c 且 a ＝ 6， b ＝ c ＝ 12，
由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
＝7
，
cos A ＝ b ＋ c － a ＝ 12 ＋12 － 6
2bc 2×12×12 8 ∴ sin A ＝1－ 7 2
＝ 15
.
88
1 1 3 15
由 (a ＋ b ＋ c) ·r ＝ bcsin A 得 r ＝
5
.
2
2
∴ S
2 27π
内切圆
＝ πr＝
5
.
2
10.3
分析
设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰
艇抵达渔船的最短时间为
t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－
2×10×9tcos 120 ，°解得 2
或 t ＝－
5
t ＝ 3
12(舍 )．
11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋β，
∠ ABC ＝ 90°－ α，∠ BAC ＝ α－ β，∠ CAD ＝ β.
依据正弦定理得：AC＝BC，
sin∠ ABC sin∠ BAC
即AC
＝
BC
，－－
∴AC＝BCcos α＝hcos α.
－－
在 Rt△ACD中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝hcosα sin β
－.
即山高 CD 为hcosα sin β
－.
12．解连结 BD ，则四边形面积
S＝ S△ABD＋ S△CBD＝1A B·AD·sin A ＋1B C·CD·sin C.
22
∵A ＋ C＝ 180°，∴ sin A＝ sin C.
1
∴S＝2(AB ·AD ＋ BC·CD)·sin A ＝16sin A.
由余弦定理：在△ ABD 中， BD 2＝22＋42－2×2×4cos A＝ 20－16cos A ，在△ CDB 中， BD 2＝ 42＋ 62－ 2×4×6cos C＝ 52－ 48cos C，
∴20－16cos A＝ 52－ 48cos C.
1
又 cos C＝－ cos A，∴ cos A＝－2.∴ A＝ 120 °.
∴四边形 ABCD的面积 S＝ 16sin A ＝ 8 3.
13．解作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF于 M.
DF＝MF 2＋DM 2＝302＋ 1702＝ 10 298(m)，
DE＝DN 2＋ EN 2＝502＋ 1202＝ 130(m) ，
EF＝－2＋BC 2＝902＋ 1202＝150(m) ．
在△ DEF 中，由余弦定理的变形公式，得
22－ DF222－ 10216
DE ＋EF＝130 ＋150×298 cos∠ DEF＝2DE·EF ＝65
.
2×130 ×150
16
即∠ DEF 的余弦值为65.
14．解如下图：
∠CBD ＝ 30°，∠ ADB ＝30°，∠ ACB ＝45°∵ AB ＝30，
∴BC＝30，
30
BD ＝＝30 3.
tan 30°
在△ BCD 中，
CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴ CD＝30，即两船相距30 m.。