完整版几何概型的经典题型及答案

几何概型的常见题型及典例分析
一•几何概型的定义
1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 .
2. 特点：
（1） 无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；
（2） 等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等 . 构成事件A 的区域长度（面积或体 积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系：
（1） 联系：每个基本事件发生的都是等可能的.
（2） 区别：①古典概型的基本事件是有限的， 几何概型的基本事件是无 限的；
②两种概型的概率计算公式的含义不同.
.常见题型
（一）、与长度有关的几何概型
分析：在区间［1,1］上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间［1,1］的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量
x 的取值范围的
3.计算公式:P （A ）
例1、在区间［1,1］上随机取一个数
x 1
X ，cos 2-的值介于0到2之间的概
率为（
).
A.- 3
B.
C.
D.
区间长度有关，符合几何概型的条件 解：在区间［1,1］上随机取一个数X ,即x ［
0到-之间,需使
x
或 x
2
2 2 3
3 2 2 2
••• 1 x 2或-x 1，区间长度为
3 3
由几何概型知使cos —x 的值介于0到1之间的概率为
2 2
2
符合条件的区间长度 J 1
所有结果构成的区间长 度 2 3 .
例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随
意安装两盏路灯 C,D ，问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的 概率是多少？
思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型.
解 记E : “ A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB
1
等分，由于中间长度为妙3=10米,
方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地
取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解.
例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R 的概率 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1 ） O 也就是说，
样本空间所对应的区域 G 是一维空 间（即直线）
上的线段 MN 而有利场合所对 应的区域G 是长度
不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。

［解法1］.设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦,
11］
时’要使co 吟的值介于
故选A.
-P(E)
10
30 题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能 M K
O N
图1-1
图1-2
直径MN 垂直于EF 和E i F i ,与他们分别相交于K 和K i (图1-2)。

依题设条 件，样本空间所对应的区域是直径 MN 有L(G)=MN=2R 注意到弦的长度 与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是 KK ,有
2
R - C C 2
L(G K ) KK 1 2OK 2、R
2
,3R
以几何概率公式得P
L(G A )
3R 3
L(G)
2R
2
[解法
2].如图1-1所示，设园 O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一 条,直径MN 弦EF,它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。

设OK=x 则 x [-R,R], 所以 L(G)=2R
设事件 A 为“任意画的弦的长度不小于 R ”，则 A 的有利场合是
2 R 2~X^ R ,
P(A)
塞
2R
[评注]本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和 有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。

两种解法各有特色， 解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法 2引进变量x 把 代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便， 但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。

例4、在长为12cm 的线段AB 上任取一点M,并以线段AM 为边作正方形， 求这个正方形的面积介于 36cm 与81cm 之间的概率.
分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的 线段AB 上任取一点M 求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率. 解：记“面积介于36cm 与81cm 之间”为事件A ,事件A 的概率等价于 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系 练习：
2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立 即乘上车的概率是(
)
解不等式，得 x
所以 L(G A )
2 3
R 3R 2
于是 “长度介于6cm 与 9cm 之间”的概率，所以, P(A)= 9 6_1 ----- ----
12
4
解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件 A,试验的所有结果构成的区
1
域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P （A ）=五.答 案：A
x — 2
3、已知集合A ｛x| — 1<x<5｝，B =｛x| >0｝，在集合A 中任取一个元素
3— x
x ，则事件“ x € A n B ”的概率是 _______ .
解析：由题意得A =｛x| — 1<x<5｝，B = ｛x|2<x<3｝，由几何概型知：
1 1
在集合A 中任取一个元素x ，则x € A n B 的概率为P^.答案：-
6 6
4、小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出 考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班， 求 小赵等车
时间不多于10分钟的概率. 分析：因为客车每小时一班，而小赵在0〜60分钟 之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 ，所以
他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的 长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何 概型的条件，且属于几何概型中的长度类型. 解析：设A=｛等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A 恰好是到 站等车的时刻位于
（二）、与面积有关的几何概型
内随机取一点，取到的点到 0的距离大于1的概率为（
A £ B. 1
10 9 C. 1
1
1
D. [50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时， 由几何概型的概率公式’得计監咒'即此
即60分钟，因此, 人等车时间不多于 10分钟的概率为
例1、ABCD 为长方形，AB 2, BC
1,0为AB 的中点，在长方形ABCD
A
A. —
B. 1 —
C.
D. 1 -
4 4 8 8
分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的, 基
本事件是无限多个，所以符合几何概型• 解:长方形面积为2,以0为圆心,1为
半径作圆，在矩形内部的部分（半
C
点评：本小题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是不可数的, 属于几何概型中典型的面积之比。

圆）面积为二，因此取到的点到0的距离大于1的面积为2
，则取到
2
2
的点到0的距离大于1的概率为
取到的点到0的距离大于1的面
积
故选B.
例2、如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的 分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红 色，靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运 会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设运动员射的箭 都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的， 那么射中黄心的概率为多少？
思路点拨 此为几何概型，只与面积有关. 122 rnk
解记“射中黄心”为事件 B,由于中靶点随机地落在面积为
122~2
的大圆内，而当中靶点落在面积为1 论卅的黄
心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为 P(B) 1 2 2
12.22cm 2
4
2 2 - 1222 cm 2 4
0.01. 即：“射中黄心”的概率是 0.01.
方法技巧事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积 为最大环的圆面积.
例3、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大 于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入 E 中的概率为 ___________________
解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 勺内部（含边界），而 区域E 表示单位圆及其内部，因此 P
12。

4 4
16
例4、在三角形 ABC 中任取一点 P,证明：△ ABP 与
厶ABC 的面积之比大于 口 的概率为42。

n n
思考方法本题的随机点是 ABP 的顶点P ,它等可 能的分布在 ABC 中，因此，与样本空间对应的平 面区域是 ABC ，注意到 ABP 于ABC 有公共边 AB,所以的面积决定于顶点P 离底边AB 的距离。

这样不难确定与有利场合相对应的平面区域。

解设 ABP 与 ABC 的面积之比为 丄」，ABC 的高CD 为h ， ABP 的 n
1 h
高PG 为hi ,公共底边AB 的长为c ，（图2）则S ABP 2ch h n 1 S ABC 1 ch h n 2
h
i
过点P 作EF//AB,交CD 于 H,则有立场合所对应的平面区域为
CEF .于
s EFC
S
ABC
由此，原题得证。

评注本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因三角形 ABC 于三角 形ABP 有公共底边AB,所以，实际变化着的量只有一个（即点P 于AB 的 距离），问题还比较简单，对于较复杂的平面区域，常常要根据题设选定 两个变量，由各自的约束条件确定样本空间于有立场合的相应区域。

例5、将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率.
解：设M
“3段构成三角形”.x y 分别
表示其中两段的长度，则第三段的长度为
L x y
.
（X y ）| 0 x L,0 y L,0 x y L .
是所求概率为P
S EFC S ABC
注意至U EF//AB ， EFC ~ ABC ,且 CH=h -h i
h- h=」h
由题意，X, y, L x y 要构成三角形，须有x y L x y ,即
练习
1、ABC 助长方形，A 吐2, BC = 1, 0为AB 的中点•在长方形ABCD 内随 机取一点，取到的点到0的距离大于1的概率为
解析：对应长方形的面积为2X 1 = 2,而取到的点到0的距离小于等于1
1 2
时，其是以O 为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为2x nX12
1
=1冗，那么满足条件的概率为：1— 27 = 1—：答案：B
故M (x, y)|x y
L 2，y
L f —, x 2
L 2 °
如图
1 所示， 可 知所求 K 概率为
1. 2
L
M 的面积 2 2 1
P(M )
的面积
L 2 4 •
2
例6 已知函数f (x) _ 2 —x
+ ax — b. 若a 、b 都是 从区间［0,4］任取的一个数，则f(1) >0成立的概
率是
解 f (1) _ — 1 + a -
-b >0, 即卩 a b > 1,如图：
o7^
A(1,0) 9
S A ABC
,B (4,0) , C(4,3) , S\ABC = ^， P =
9
2_ _ _9
S E 4X4_ 32.
答案:
9
32
C.
° -1-n
x (L
(L y
y 7
x y) x ,
x y) y ，即
2、设一K a < 1，— 1< b < 1,则关于x 的方程x 2 + ax + b 2= 0有实根的
积为1,总的事件对应面积为正方形的面积, 故概率为4.答案：B
3、已知 Q = {( x , y)| x + y <6, x >0, y >0}, A = {( x , y)| x <4, y >0, x — 2y >0}，若向区域Q 上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率
区域为三角形OCD 及其边界.
容易求得D(4,2)恰为直线x = 4, x — 2y = 0, x + y = 6三线的交点. 1 1
则可得S A AOB= 2^ 6X 6= 18, S A OCD = 4X 2= 4.所以点P 落在区域A 的
概率为备9.答案：D
x y .2
4、在区域x y '.2
0内任取一点P,
概率是(
)
1 1
A ・二 B.
C. 2
4
解析：由
题知该方程有
实
—K a < 1,
—K b < 1,
作平面区域如右图: a 2— 4b 2 > 0,
B. C. D.
解析：作出两集合表示的平面区域如图所示•容易得出
Q 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界，A 表示的
1
则点P 落在单位圆x 2+y 2= 1内的概率为()
解析：区域为△ ABC 内部(含边界)，则概率为
5、在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ,贝U 使点P 到三个顶点的距
离至少有一个小于1的概率是 _________ .
解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ ABC
相交出三个扇形(如图所示)，当P 落在阴影部分时符 合要求.
X2
1 3
6、在区间［0,1］上任意取两个实数a ，b ，J 则函数f(x)=歹+ ax — b 在区 间［—1,1］上有且仅有一个零点的概率为 _______ .
2
解析：f '(x) = ^x + a ，故f (x)在x € ［ — 1,1］上单调递增，又因为函数 1 3
f(x) = ^x + ax — b 在［—1,1］上有且仅有一个零点，即有f( — 1) • f(1)<0 1 1 1 1
成立，即(—2— a — b )( 2 + a — b )<0，则(2+ a + b )( 2+ a — b )>0，可化为 0< a <1 0< b <1
B.
C. D.
P =
S 半圆 S ^ABC
.答案：D
P = 3X （*X 亍X12
）
=干.答案:
6
0< a <i 0< b wi 1
2+ a — b>0
或 2 + a — b<0, 面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何
概
1 3
型可以知道，函数f (x) = 2x 3+ ax — b 在［—1,1］上有且仅有一个零点的 概率为可行域的面积除以直线 a = 0, a = 1, b = 0, b = 1围成的正方形的 面积，计算可得面积之比为6。

答案：石
8 8
7、已知函数 f (x) = x 2— 2ax + b 2, a , b € R.
(1) 若a 从集合｛0,1,2,3｝中任取一个元素，b 从集合｛0,1,2｝中任取一个 元素，求方程f(x)二0有两个不相等实根的概率；
⑵ 若a 从区间［0,2］中任取一个数，b 从区间［0,3］中任取一个数，求方 程f (x) = 0没有实根的概率.
解：⑴：a 取集合｛0,1,2,3｝中任一个元素，b 取集合｛0,1,2｝中任一个 ••• a , b 的取值的情况有(0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2), (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2).
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数 为12.
设“方程f (x) = 0有两个不相等的实根”为事件 A ,
当a >0, b >0时,方程f(x)二0有两个不相等实根的充要条件为 a >b. 当 a >b 时，a , b 取值的情况有(1,0) , (2,0) , (2,1) , (3,0) , (3,1), (3,2),即A 包含的基本事件数为6 ,
一 6 1
•••方程f(x) = 0有两个不相等实根的概率 P(A) = 12=-.
由线性规划知识在平 1+ a + b>0 1 + a + b<0
(2) v a从区间［0,2］中任取一个数,b从区间［0,3］中任取一个数,则试验的全部结果构成区域Q=｛( a , b)|0 < a< 2,0 < b< 3｝,这是一个矩形区域，其面积S Q = 2X 3= 6.
设“方程f(x) = 0没有实根”为事件B,则事件B所构成的
区域为M= ｛( a , b)|0 < a< 2,0 < b< 3 , a v b｝,
1 即图中阴影部分的梯形，其面积 S & 6 — q X 2X 2= 4.
% 3 为一。

4
点评：本题所求事件的本质是在 ACB 内部做一条射线CM ，所构成的 区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易 易犯的错误是，用长度的比得出 2 1
1二这一错误结果。

V 2
2
由几何概型的概率计算公式可得方程 f(X )= 0没有实根的概率
P(B)= S M S Q 2 3.
(三) 、与角度有关的几何概型
例1、在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线0C ,
求使得 AOC 和 BOC 都不小于30°的概率？
分析：此题关键是搞清过O 作射线OC 可以在扇形的任意位
置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的
解：记事件A 是“做射线OC ，使得 AOC 和 BOC 都不小于30
AON BOM MON 300，则符合条件的射线OC 应落在扇形
MON 中，所以P(A)
MON 的度数 30° 1 AOB 的度数 900 3
例2、如图所示，在等腰直角 VABC 中，过直角顶点C 在 ACB 内部做 一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求
AM AC 的概率。

分析：当 AM AC 时，有
ACM AMC ，故欲使 AM AC ，应 有
ACM AMC ，即所作的射线应落在
ACM AMC 时 ACM 的内部。

解析：在AB 上取AD AC,连接CD ，则
ACD 180° 45° 「一 67.50，记“在内部作一条射线 CM ，与线段AB 交
于点M ， AM
AC ”为事件A,则P(A)
67.50
900 3 4，所以，所求概率
例3、在等腰 Rt △ ABC 中，C=90,在直角边 BC 上任取一点 M 求 CAM 300的概率（答案：上3
） 3
（四）、与体积有关的几何概型
例1、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出 1升水，含有病毒的 概
率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的 1升水可以 看
作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区 域，因此可以用体积比公式计算其概率.
解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件 A ，
从而所求的概率为02 例2、任取三条不大于a 的线段，求这三条线段能够成一个三角形的概 率。

思考方法 题设的三条线段互不相干，所以可设置三个独立变量。

注意 到三条线段构成三角形的充要条件，可推得有立场合的约束条件。

由此 原题可以解出。

解 设三条线段的长分别为x 、y 、z ，则样本空间是
0 x a
0 y a （1）
0 z a
有三条线段构成三角形的条件可知，其中的任意两条之和比大于第三条
x y z
线段，于是，有利场合的可能情形是 y z x （2）
z x y
把条件（1）、（ 2）所限制的区域，在空间直角坐标 系中表示出来，有如图2-3所示。

其中（1）所对应的区域G 是正方体OA ,⑵ 所对应 的区
域G A 是六面体OAAA 3A 4,且有
则 P(A)
取出的水的体积 所有水的体积 0.2.
y
LG a 3
1 3
L G A a3-3?l?^?a=〔a3
3 2 2
a1
2 1 p= 23= a3
2
例3、在区间［0,1］上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)| x 2+y2+z2v 1, x > 0,y > 0,z > 0}
(1)构造出随机事件A对应的几何图形；
(2)利用该图形求事件A的概率.
思路点拨：在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z2v 1
表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部.事
件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件.
解：(1) A={(x,y,z)| x2+y2+z2v 1, x>0,y >0,z >0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x>0,y >0,z >0的部分, 如图所示.
(2)由于x,y,z属于区间［0,1］，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
1 4 13
••• P(A)
136
方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形.从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.
(五)、会面问题中的概率
例1、某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等
待的概率。

解析：设事件A表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊
位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9
点到10点之间的x分、y分，则|x-y| <20,0
20 x y 20 <x,y <60, 即卩A （x , y ）| 0 x 60
，以9点为原点，建立平
0 y 60
面直角坐标系如图所示，事件 A 所对应的区域如图中阴影区域所示：
所以，其概率P （A ）=阴影面积/ABCD 面积=5/9。

小结：“会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其 关键是构建相遇的不等式（组），借助于线性规划知识，将其面积之比 求出，使得问题得以解决。

例2、两人约定在20： 00到21： 00之间相见，并且先到者必须等迟到 者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20： 00到21： 00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.
思路点拨 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即-小时.设两 3
人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见， 当且仅当-2 < x-y < -，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.
3 3
解设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时 间范围内相见，
2 2 当且仅当-2 <x-y < 2.
3 3
两人到达约见地点所有时刻（x,y ）的各种可能结果 可
用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人 能在
约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可 能结果
可用图中的阴影部分（包括边界）来表示.
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范 围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为
方法技巧会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概 型.难点
是把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点（x,y ）, 从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面 积型几何概型问题.
（六）、与线性规划有关的几何概型 例1、小明家的晚报在下午5： 30〜6： 30之间的任何一个时间随机地被
S 阴影
S 单位正方形
1
（3）2 12
送到，小明一家在下午6: 00〜7: 00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚
饭开始的时间分别为x、y，然后把这两个
变量所满足的条件写成集合的形式，把问
题转化为线性规划问题进行求解.
解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为
x、y .用(x，y)表示每次试验的结果，则所
有可能结果为：
(x,y)5:30 x 6:30,6 y 7 ，
即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件
A，则事件A 的结果为：A (x, y)5:30 x 6:30,6 y 7, x y，即为图2中阴影部
分区域.S A BCD 11 1，S阴影1 ————.
2 2 2 8
7
所以所求概率为：P _^也8-.
S ABCD 1 8
故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是z.
8
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：
(1)找设变量•从问题中找出两个随机变量，设为x,y ；
(2)集合表示.用(x, y)表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全
部结果和事件A所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.
(3)
作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合
，A
对应的区域的面积.
(4) 计算求解.由几何概型公式求出概率.
(七) 、与定积分有关的几何概型 例1、在区间［1,1］上任取两数a 、b ，求二次方程x 2 ax b 0的两根 都是实
根的概率.
分析：可用(a,b)表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根
的结果的面积，再利用几何概型来解答
解：用(a,b)表示每次试验结果，则所有可能结果为：
求概率为 ：
(八) 、与随机模拟有关的几何概型
例1、如图5,面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可 按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，
若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为—S ，假设正方 n 形ABCD 的边长为2，M 的面积为1,并向正方形ABCD
中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目.
(a, b) 1 a 1, 1 b 1，即为图3中正
方形ABCD 的面积；由方程有实根得：
a 2 4
b 0，则方程有实根的可能结果为 A (a,b)a 2 4b 0, 1
图4中阴影部分区域
S ABCD 2 2 4 ， S 阴影 .阴影部分面积可用定积分来计算 1 1 2 1 3 a da 1 2 a 1
4 12
图5所以 B 2 13，
S 阴影
S ABCD 13
6 4 13 24 0.541
7 .
ib D
1 C M A
a C
a 1, 1
b 1 ，即为 图4
(I )求X 的均值EX ;
(II )求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值 之差在区间(0.03,)内的概率.
k
附表：P(k)
C 1t oooo 0.25t 0.7510000 t t 0 k
2424 2425 2574 2575 P(k) 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590
分析：本题从表面来看似乎与几何概型无关，其实它是一个几何概型的 逆向问题与n 次独立重复实验的综合题，而且本题有别于常规的面积型 概率计算，设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。

解：每个点落入M 中的概率均为P S M 的面积1 .依题意知 S A BCD 4
X ~ B 10000,-
1
(I) EX 10000 2500 .
4 0.9570 0.0423 0.9147.
例2、利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y= 2x 与x 轴、x=± 1 围成的部分)面积.
思路点拨 不规则图形的面积 可
用随机模拟法计算.
解(1)利用计算机产生两组
［0,1］上的随机数,a i =rand ( ) ,
(U)依题意所求概率为P 0.03 4 1 10000
0.03 ， 0.03
10000
0.03 P(2425 X 2575) 2574 C 10000 t 2426
0.25t 0.75
10000 t
2574 C 10000
t 2426
0.25t 0.75 10000 t 2425 C 10000 t 0 0.25t 0.75 10000 1
b i=rand().
(2) 进行平移和伸缩变换,a=(a i-0.5)*2,b=b 1*2,得到一组［0,2］上的均匀随机数.
(3) 统计试验总次数N和落在阴影内的点数Ni.
(4) 计算频率也，则叫即为落在阴影部分的概率的近似值.
N N
(5) 利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率P S
4
(6) 因为丛=S,所以S=纱即为阴影部分的面积•
N 4 N
方法技巧根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值.
(九)、生活中的几何概型
例1、某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一
班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.
分析：假设他在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而
与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件•
解：设A=｛等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P(A)= 辽旦=丄，即此人等车时间不多于10分钟的概率为1.
60 6 6
例2、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？
分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。

解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2 的长度为15,设T是T1T2上的点，且T1T=5, T2T=10,如图所示：
T1 T
T2记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T
上时，事件发生，区域D的测度为15,区域d的测度为5
所以d的测度51
P(A)D
的测度153
答：侯车时间大于10分钟的概率是1/3.
例3、假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率. 分析：
T i T
d的测度10 2
D的测度15 3
例4、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。

乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？
分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T o到达，T2时刻出发。

线段T1T2的长度为15,设T是T1T2上的点，且T o T2=3, TT o=1O,如图所示:
记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T
例5、平面上画有一组平行线，其间隔交替为 1.5cm和10cm任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。

［思考方法］本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此，需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm的圆”之真实含义，找出具有某种等可能的随机点。

注意到定半径的圆的位置决定于圆心，可以取圆心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行
T2
上时，事件A发生，区域D的测度为
所以
15,区域d的测度为15-3-10=2
d的测度
（）D的测度
2
15。