高中数学 第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义． 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．
其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，且p ＝x a ＋y b ＋z c ．若p ＝0，则x ＝y ＝z ＝0.( ) (2)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) (3)以原点O 为起点的向量OP →
的坐标和点P 的坐标相同．( ) (4)若OP →
＝(2,3,0)，则点P 在平面xOy 内．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A ．A
B →，A
C →，A
D →
B ．AB →，AA 1→，AB 1→
C ．
D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →
D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→
C [由题意知，
D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →
不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
3．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2
＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________.
【导学号：46342147】
a ＝(4，－8,3)
b ＝(－2，－3,7) [由题意知a ＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →
＝
e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →
}能否作为空间的一个基底．
[解] (1)如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →
， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，
a ＋
b ＋
c ＝AC 1.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C ．
[答案] C
(2)设OA →＝xOB →＋yOC →
，则
e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，
即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
y －3x ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1
此方程组无解．
即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →， 所以OA →，OB →，OC →
不共面．
所以{OA →，OB →，OC →
}能作为空间的一个基底．
1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．
[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)C ．
∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，
此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．
故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．
如图3­1­29，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →
＝
b ，OP →＝
c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →
.
图3­1­29
[思路探究]
利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用
a ，
b ，
c 表示
[解] 连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →
)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12C ．
BE →
＝BC →＋CE →＝BC →
＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →
)＝－a －12b ＋12
C ．
AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →
＋12
(PO →
＋OC →
)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12
C ． EF →
＝12CB →＝12OA →＝12
a .
2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23
PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →
的实数x ，y ，z 的值分别为( )
【导学号：46342148】
A ．－23，16，1
6
B ．23，－16，1
6 C ．－23，16，－16
D ．－23，－16，16
D [
如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫
23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D ．]
[1．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？
提示：
分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →
的坐标是多少？ 提示：BA →
＝(－a ，－b ，－c )．
如图3­1­30，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，
棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →
的坐标．
图3­1­30
[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建
立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→
表示出来，再写出它们的坐标．
[解]
法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．
∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→
，
∴BN →
的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→
的坐标为(1，－1,2)．
又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →
的坐标为(－1,1，－2)．
法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →
＝(－1,1，－2)．
3.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图3­1­31所示建立空间直角坐标系．
图3­1­31
(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →
的坐标．
[解] (1)由图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，
C 1(0,2,2)，
D 1(0,0,2)，
(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．
所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →
＝(0,2，－1)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →
不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →
共线 B ．OA →，OB →
共线
C ．OB →，OC →
共线
D ．O ，A ，B ，C 四点共面
D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →
共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．] 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →
的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →
的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →
的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →
的坐标相同
D [因为A 点不一定为坐标原点，所以A ，B ，C 都不对；由于AB →＝OB →－OA →
，故D 正确．] 3．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →
＋
yOB →＋zOC →
，则(x ，y ，z )为( )
【导学号：46342149】
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，23 A [如图，由已知OG →＝34
OG →
1
＝34
(OA →＋AG 1→)
＝34[OA →＋13
(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14
.]
4．三棱锥P ­ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，
N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →
的坐标为________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，－12 [
MN →
＝BN →－BM →
＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，0，－12.]
5．如图3­1­32所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，P 是
CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：
图3­1­32
(1)AP →；(2)AM →.
[解] 如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中连接AC ，AD 1，
(1)AP →＝12
(AC →＋AA 1→)
＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝1
2(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)
＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12a ＋b ＋1
2c ．。