高中数学集合练习题及答案

高中数学集合练习题及答案
一、单选题
1．已知{}{||2},0A x Z x
B x x N x =∈<=∈>∣∣∣，则A B =（ ） A ．{1}
B ．{0,1}
C ．{0,1,2}
D ．∅
2．已知集合{}
24A x x =≤，集合{}
*
1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}0,1,2
C ．{}1,2,3
D ．{}1,2,3,4
3．已知集合{}
2
|8120A x x x =-+<，{|14}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）
A ．{1，2}
B ．{}2,4
C ．{3}
D ．∅
4．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则
()Z A B =（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5．设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =≤≤=，则()U A B =（ ） A ．{0,4,5} B ．{0,1,3,4,5} C ．{4,5} D ．{0} 6．设集合P ，Q 均为全集U 的非空子集，且U ()P Q P =∩，则U ()P Q =∩（ ）
A ．P
B ．Q
C ．∅
D ．U
7．已知集合{}
21A x x =<，{}
e 2x
B x =<，则A B =（ ）
A ．()1,1-
B ．()1,ln 2-
C ．()0,ln 2
D ．()ln 2,1
8．已知集合{22},{13}A x
x B x N x =-<<=∈-<∣∣，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．1,0,1,2
C ．[)1,2-
D ．()2,3-
9．已知集合{}
2
0A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．{}4a a ≤
B ．{}4a a ≥
C ．{}4a a ≤-
D ．{}4a a ≥-
10．已知集合{}2log 1M x x =<，{}
2
1N x x =≤，则M N ⋃=（ ）
A ．(],1-∞
B ．(),2-∞
C ．[)1,2-
D ．(]0,1
11．已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．集合N A x x ⎧⎫
=∈⎨⎬⎭⎩
31，()}
{
N log B x x =∈+≤211，S A ⊆，S B ⋂≠∅，则集合S 的个数为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
13．已知集合{}21A x x =-<<，{}lg B x y x ==，则()R A B =（ ）
A ．(),1-∞
B ．[)1,+∞
C ．(]2,0-
D ．()0,1
14．设全集U =R ，集合{}
21A x x =-≤，{}
240x
B x =-≥，则集合(
)U
A
B =（ ）
A ．()1,2
B ．(]1,2
C ．[)1,2
D ．[]1,2
15．已知集合{5,3,1,0,2,4},{1,2,4},{5,0,2}U A B =---=-=-，则()U A B ⋃=（ ） A ．{2}
B ．{3}-
C ．{3,1,2}-
D ．{5,3,1,0,4}---
二、填空题
16．集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{
}2
5B x x =≤，那么A B =______. 17．设集合{}{
}2
3,650A x x B x x
x =≤=-+≤，则A
B =________.
18．已知条件:212p k x -≤≤，:53q x -≤≤，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______．
19．已知集合()
{}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.
20．已知集合{}
4194,A x x n n *==-+∈N ，{}
6206,B y y n n *
==-+∈N ，将A B 中的所
有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前n 项和的最大值为___________.
21．从集合M={}1,2,3,4,,2021中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为______
22．集合{}
31A x x =-<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =___________.
23．已知集合{}
()216,x
A x
B a ∞=≤=-，，若A B ⊆则实数a 的取值范围是____.
24．已知集合{}1,2,4,8A =，集合B =｛x x 是6的正因数｝，则A B ⋃=__________. 25．用符号“∈”或“∉”填空： （1）3
4
______N ；
（2）4-______Z ； （3）1
3
______Q ；
（4）2π-______R .
三、解答题
26．已知集合()3
,12y A x y a x ⎧⎫-==+⎨⎬-⎩⎭与集合()()(){}2
,1115,1B x y a x a y a =---=≠±，满
足A B ⋂≠∅，求实数a 的值.
27．已知集合{}
22|430A x x ax a =-+<，集合{}
2
|560B x x x =-+≤．
(1)当1a =时，求A B ,A B ;
(2)设0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
28．设全集U ＝R ，集合{}|32A x a x a =≤≤+，1|284x
B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭
．
(1)当1a =-时，求()U A B ⋃； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．
29．已知集合{}
2560A x
x x =--≤∣，集合{}
26510B x x x =-+>∣，集合09x m C x x m -⎧⎫
=≤⎨⎬--⎩⎭
∣.
(1)求A B ；
(2)若A C C =，求实数m 的值取范围.
30．四人共同管理一个保险箱，该保险箱要同时插入几把不同的钥匙才能打开．约定四人中要有三位到场才可以打开此箱，问至少要有几把钥匙才能开箱，这些钥匙应如何分配？
【参考答案】
一、单选题 1．A 【解析】 【分析】
首先列举表示集合A ，再求A B . 【详解】
由条件可知{}1,0,1A =-,{}
0B x x N x =∈>，所以{}1A B ⋂=. 故选：A 2．C 【解析】 【分析】
化简集合A ，根据集合B 中元素的性质求出集合B. 【详解】
{}
24[2,2]A x x =≤=-，{}
*1B x x N x A =∈-∈且，
{1,2,3}B ∴=,
故选：C 3．C 【解析】 【分析】
解出不等式28120x x -+<，然后可得答案. 【详解】
因为{}{}2
|8120|26A x x x x x =-+<=<<，{}{}142,3B x Z x =∈<<=
所以{}3⋂=A B ， 故选：C 4．C 【解析】 【分析】
首先求出集合B ，再根据交集的定义求出A B ，即可得解； 【详解】
解：因为{}7372322B x x x x ⎧
⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}24A x x =-<<，所以
3|22A B x x ⎧
⎫
=-<<
⎨⎬⎩
⎭
，则()1A B -∈，()0A B ∈，()1A B ∈，所以()3Z A B =； 故选：C 5．A 【解析】 【分析】
由集合的补集和交集的运算可得. 【详解】 由题可得{1U
A x x =<或3}x >，
所以(
){0,4,5}=U
A B ．
故选：A ． 6．B 【解析】 【分析】 依题意可得U
P Q ⊆，即可得到U
Q P ⊆
，从而即可判断；
【详解】
解：因为U ()P Q P =∩，所以U
P Q ⊆，所以U
Q P ⊆
，所以U ()P Q Q =∩；
故选：B 7．B 【解析】 【分析】
由已知，分别求解出集合A 、集合B 的范围，然后直接求解交集即可. 【详解】
由已知，集合{}
2
1A x x =<，即集合{}11A x x =-<<， 集合{
}2x
B x e
=<，即集合{}ln 2B x x =<，
因为1
1ln ln 21ln e e
-=<<=，
所以A B ={}1ln 2x x -<<. 故选：B. 8．A 【解析】 【分析】 由交集定义计算． 【详解】
{}{12}0,1.A B x x ⋂=∈-<=N ∣
故选：A ． 9．C 【解析】 【分析】
结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果. 【详解】
由题意可得220a +≤，解得4a ≤-， 故选：C 10．C 【解析】 【分析】
求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】
∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C . 11．D 【解析】 【分析】
根据集合的交运算结果，即可求得参数值. 【详解】
因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =. 故选：D. 12．C 【解析】 【分析】
根据分式不等式和对数不等式求出集合A 和B ，利用交集的定义 和集合的包含关系即可求解. 【详解】 由
x
3
1，得03x <≤， 所以}{N ,,A x x ⎧⎫
=∈=⎨⎬⎭⎩
31123. 由()log x +≤211，得11x -<≤． 所以()}
{
}{N log ,B x x =∈+≤=21101．
由S A ⊆，S B ⋂≠∅，知S 中必含有元素1，可以有元素2,3．
所以S 只有{}1，{}12，，{}13，，{}123，，，即集合S 的个数共4个． 故选：C. 13．B 【解析】 【分析】
求出定义域得到集合B ，从而求出补集和交集. 【详解】
{}()212,1A x x =-<<=-，{}()00,B x x ∞=>=+，所以
(][),21,R
A =-∞-⋃+∞，所以
(
)[)1,R
A B ∞⋂=+.
故选：B. 14．C 【解析】 【分析】
解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答.
【详解】
解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)U
B =-∞，
所以(
)[1,2)U
A B =.
故选：C 15．B 【解析】 【分析】
按照并集和补集计算即可. 【详解】
由题意得，{5,1,0,2,4}A B =--，所以(){3}U A B =-．
故选：B.
二、填空题
16．{}2,0,2-
【解析】 【分析】
根据集合A 的含义，直接求解A B ⋂即可. 【详解】
因为集合A 表示元素为偶数的集合，又{}
2
|5{|B x x x x =≤=≤≤，
故{}2,0,2A B ⋂=-. 故答案为：{}2,0,2-.
17．[1,3]
【解析】 【分析】
根据交集的定义求解即可. 【详解】
解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 .
18．[2,)-+∞
【解析】 【分析】
设{}212A x k x =-≤≤，{}53B x x =-≤≤，则A B ⊆，再对A 分两种情况讨论得解. 【详解】
记{}212A x k x =-≤≤，{}53B x x =-≤≤， 因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆. 当A =∅时，212k ->，即3
2
k >，符合题意； 当A ≠∅时，32k ≤
，由A B ⊆可得215k -≥-，所以2k ≥-，即322
k -≤≤. 综上所述，实数的k 的取值范围是[2,)-+∞． 故答案为：[2,)-+∞．
19．(){}0,0
【解析】 【分析】
根据题意，得到两集合均为点集，联立2
y x y ⎧=⎨=⎩求解，即可得出结果.
【详解】
因为集合()
{}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，
集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，
联立20y x y ⎧=⎨=⎩
，解得0
0x y =⎧⎨=⎩
则(){}0,0M
N =.
故答案为：(){}0,0.
20．1472
【解析】 【分析】
由题意设4194n b n =-+，6206m c m =-+，根据n m b c =可得326m n -=，从而
312194n n a b n ==-+，即可得出答案.
【详解】
设4194n b n =-+，由41940n b n =-+>，得48n ≤ 6206m c m =-+，由62060m c m =-+>，得34m ≤
A B 中的元素满足n m b c =，即41946206n m -+=-+，可得326m n -=
所以2
23
m n =
+，由,*m n N ∈,所以3,*n k k N =∈ 所以312194n n a b n ==-+，
要使得数列{}n a 的前n 项和的最大值，即求出数列{}n a 中所以满足0n a ≥的项的和即可. 即121940n a n =-+≥，得16n ≤，则116182,2a a == 所以数列{}n a 的前n 项和的最大值为12161822
1614722
a a a ++++=
⨯= 故答案为：1472
【解析】 【分析】
剔除集合中是3的倍数，5的倍数的元素，即可得出结果. 【详解】
集合M 中，3的倍数有20216733⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20214045⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有202113415⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
个， 则剩下的元素个数为2021(673404134)1078-+-=个. 故答案为：1078.
22．{}34x x ≤<
【解析】 【分析】
求出{}24A x x =<<与{}3B x x =≥，进而求出A B . 【详解】
31x -<，解得：24x <<，故{}24A x x =<<，3782x x -≥-解得：3x ≥，故{}3B x x =≥，所以A B ={}34x x ≤<
故答案为：{}34x x ≤<
23．4a >
【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性求出集合A ，再根据A B ⊆列出不等式，即可的解. 【详解】
解：{}
(]216,4x
A x ∞=≤=-，
因为A B ⊆， 所以4a >. 故答案为：4a >.
24．{1,2,3,4,6,8}
【解析】 【分析】
先化简集合B ，再求两集合的并集. 【详解】
因为B =｛x x 是6的正因数｝{1,2,3,6}=， 所以{1,2,3,4,6,8}A B =. 故答案为：{1,2,3,4,6,8}. 25． ∉， ∈， ∈ ∈
【分析】
（1）利用元素与集合的关系判断. （2）利用元素与集合的关系判断. （3）利用元素与集合的关系判断. （4）利用元素与集合的关系判断. 【详解】 解：
3
4
∉N ； 4-∈Z ； 1
3
∈Q ； 2π-∈R .
故答案为：∉，∈，∈，∈
三、解答题
26．2-或7
2
【解析】 【分析】
由题意，可得两直线有交点，再由直线平行公式可判断得两直线重合，从而列式求解. 【详解】
因为A B ⋂≠∅，A ≠∅，B ≠∅， 所以直线()121,2a x y a x +-=-≠
与()
()2
1115,1a x a y a ---=≠±有交点，
因为21111a a a --=
+，所以两直线重合， 所以
15
121
a a =--，得223140a a --=， 解得2a =-或72
a =
27．(1)[)2,3A B =， (]1,3A B ⋃= (2)()1,2 【解析】 【分析】
（1）先解出集合AB ，再求A B ,A B ; （2）利用集合法列不等式组求出a 的范围. (1)
当1a =时，{}{}
()222
|430|4301,3A x x ax a x x x =-+<=-+<=.
{}[]2|5602,3B x x x =-+≤=.
所以()[][)1,32,32,3A B ⋂=⋂=， ()[](]1,32,31,3A B ⋃=⋃=.
(2)
当0a >时，{}
()22|430,3A x x ax a a a =-+<=.[]2,3B =. 因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，
所以B A , 只需233a a <⎧⎨>⎩
，解得：1 2.a << 故实数a 的取值范围为()1,2.
28．(1){|1x x ≤或3}x ≥ (2)2(,1)(1,)3
-⋃+∞ 【解析】
【分析】
（1）化简集合B ，根据补集、并集的运算求解；
（2）由条件转化为A ⊆B ，分类讨论，建立不等式或不等式组求解即可.
(1)
当1a =-时，{}3|1A x x =-≤≤，{}1|28|234x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， {||2U B x x x ∴=≤-或3}x ≥，
(){|1U B x x A =≤∴或3}x ≥．
(2)
由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，
当A ＝∅时，则3a ＞a +2，解得a ＞1，
当A ≠∅时，则32231a a a >-⎧⎪+<⎨⎪≤⎩，解得213a -<<， 综上，实数a 的取值范围是2(,1)(1,)3
-⋃+∞． 29．(1)1|13x x ⎧-≤<⎨⎩或162x ⎫<≤⎬⎭
； (2)(]3,1--.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ；
（2）由A C C =，可知A C ⊆，得到不等式组，即得.
(1)
∵{}2560A x x x =--≤∣，{}
26510B x x x =-+>∣，
{|16}A x x ∴=-≤≤，1|3B x x ⎧=<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭
， ∴1|13A B x x ⎧⋂=-≤<⎨⎩或162x ⎫<≤⎬⎭
； (2)
∵{|16}A x x =-≤≤，0{|9}9x m C x x m x m x m -⎧⎫=≤=≤<+⎨⎬--⎩⎭
∣， 由A C C =，得A C ⊆，
961m m +>⎧∴⎨≤-⎩
，解得31m -<≤-， ∴实数m 的值取范围为(]3,1--.
30．详见解析.
【解析】
【分析】
根据题意可知每种相同的钥匙得两把，从4人中选出2人保存为6种不同的方法，进而得到至少有6把钥匙，每人有3把钥匙，然后根据3人能凑齐6把钥匙，2人不能凑齐，进行分配.
【详解】
根据题意可知要使不同的钥匙最少，则每种相同的钥匙得两把，
因为四人中要有三位到场才可以打开保险箱，少于3人就不行，任意2人在一起，就至少少一把钥匙，不能打开，从4人中选出2人保存有6种不同的方法，
所以需要有6把不同的钥匙（每种2把），共12把，分给4人，平均每人3把， 将这6把不同的钥匙分别记为1,2,3,4,5,6，将这四人分别记为A ，B ，C ，D ，
钥匙分配方法不唯一如：
方法一：A ：1 , 2 , 3；B ：3 , 4 , 5；C ：1 , 5 , 6；D ：2 , 4 , 6.
方法二：A ：4 , 5 , 6；B ：2 , 3 , 4；C ：1 , 2 , 6 ；D ：1 , 3 , 5.。