2011年高三文科数学试题及答案

2011年高三文科数学试题及答案
D
的离心率为（ ）
A.53
B.43
C.54
D.74
5. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果B 的（ ） A.7 B.15 C.31 D.63
6. 对定义域内的任意两个不相等实数1
x ，2
x ，下列满足0)]()()[(2
1
2
1
<--x f x f x x 的函数是（ ） A ．2
)(x x f = B ．x
x f 1)(= C ．x x f ln )(= D ．x
x f 5.0)(=
7. 一个几何体按比例绘制的三视
图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）
A.
3
73
m B.
392
m C.372
m
D.3
94m
8. 已知函数m x x x f +-=3)(3
在区间]0,3[-上的最大值与最小值的和为14-，则实数m 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．9-
D ．8-
9. 已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，
在正棱锥内任取一点P ，使得2
1<-ABC P V ABC
S V -的概率是（ ） A ．43 B ．87 C ．21 D ．4
1
10.在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，
b =ABC 的外接圆半径为（ B ）
A ．21
B.1
C.2
D.4
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．
11.记n
S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，6
11a =，则7
S = .
12. 已知向量(1,2),(2,)a b λ=-=，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
13.已知函数
()11sin 24f x x x x =--的图象在点()()00
,A x f x 处的切线斜率为12
，则)
4
tan(0
π
+
x
的值为 ．
14. 某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统
计
统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）．（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线的
极坐标方程为242sin()πρθ+=，则极点到该直线的距离是 .
（2）．（选修4—5 不等式选讲）已知lg lg 0a b +=，则满足不等式2
2
11a b a b λ+++≤的实数λ的范围是 .
（3）．(选修4—1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙O 与⊙'
O 外切，过O 作⊙'
O 的两条切线,,OA OB ,A B 是切点，点C 在圆'
O 上且不与点,A B 重合，则ACB ∠= .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）
16．（本小题12分）已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，向量(1),m =-，3
(cos ,sin )n A A =，且1=⋅n m . （1）求角A ；
（2）若221sin2cos sin 3B B B
+-=-，求tan C .
17.（本小题12分）某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽
取了
频率0.05
0.100.150.200.250.300.350.40
22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.
18.（本小题12分）如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）．
（1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．
19.（本小题12分）已知数列}{n
a 、
}{n
b 满足11=a ，3
2
=a ，
)(2*1
N n b b n
n ∈=+，n
n n
a a b
-=+1.
（1）求数列}{n
b 的通项公式； （2）求数列{}n
a 的通项公式； （3）数列}{n
c 满足)1(log 2
+=n
n
a c )(*
N n ∈，求1335
2121
11
1n
n n S
c c c c c c -+=
+++
20.（本小题13分）已知()()3
2
11ln ,3
2
f x x
g x x
x mx n ==+
++，
直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0
（1）求直线l 的方程及()g x 的解析式；
（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.
21.（本小题14分）已知定点(1,0)C -及椭圆2
2
35x y +=，过点C 的动直线与该椭圆相交于,A B 两点 （1）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （2）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.
2011年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练
数学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题：
二、填空题:
11．
49； 12．()(),44,1-∞-⋃-； 13．2+； 14．800． 15．(1)
； (2) [)1,+∞； (3) 60．
三、解答题：
16．（本小题12分）(1)60,A =
(2)
tan C =
17．（本小题12分）解:(1) 由频率分布条形图知,
抽取的学生总数为5
100
0.05=人. ………………………………4分 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d ,
由4226d ⨯+=100,解得2=d .
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ……………8分
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小
于
90
分
的
概
率
为
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………………
……………………12分 18．（本小题12分）（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是
等腰直角ABC ∆的中位线， EF AC ∴⊥
在
四棱锥
BCEF
A -'中，
E
A EF '⊥，EC
EF ⊥， ……………2分
EF ∴⊥平
面
A EC
'， ……5分 又
⊂
'C A 平面A EC
', EF A C
'∴⊥ …………7分
证
法
二
：
同
证
法
一
EF EC
⊥ …………2分
A O EF
'∴⊥ EF ∴⊥平面A EC '， (5)
分
又
⊂
'C A 平面
A EC
',
EF A C
'∴⊥ ……………………7分
（Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，
4,2==BC EC ,42
1
=⋅=∴∆EC BC S FBC
……8分 又A O
'垂直平分EC ，3
22=-'=
'∴EO E A O A (10)
分
∴
三棱锥BC A F '-的体积为：
3
3
4343131=⋅⋅='⋅=
=∆-''-O A S V V FBC FBC A BC A F ………12分
19．（本小题12分）（1） )
(2*1N n b
b n
n ∈=+，又1
2
1312
b a
a =-=-=。

所以数列}{n
b 是首项1
b 2=，公比2=q 的等比数列。

故
112n n
n b b q -== …… 4分
（2）*
12()n n n
a
a n N +-=∈ 112211
()()...()n
n n n n a
a a a a a a a ---∴=-+-++-+
1
22
121122
2
2
1
-=--=++++=--n n
n n 。

………… 8分 （3）n
a c
n n n n
==+-=+=2log )112(log )1(log 222，)(*
N n ∈，
∴
2121
11111
()(21)(21)22121n n c
c n n n n -+==--+-+
∴
1335
2121
111n
n n S
c c c c c c -+=
+++ 111111
(1)2335
2121
n n =-+-++
--+
11(1)22121
n
n n =-=++
20．（本小题13分）（1）直线l 是函数()ln f x x =在点()1,0处的切线，故其斜率()'11k f ==， 所
以
直
线
l
的方程
为
1.
y x =-
(2分)
又因为直线l 与()g x 的图象相切，所以()3
211
3
2
g x x
x mx n =+++在点
()
1,0的导函数值为 1.
()()1101'116m g n g =-⎧=⎧⎪⎪⇒⎨
⎨==⎪⎪⎩⎩
所以
()32111
326
g x x x x =+-+
（6分）
（2）因为()()()()
2
'ln 10h x f x g x x x
x x =-=--+> （7
分） 所以
()()221(1)112'21x x x x h x x x x x
-+--=--==-
（9分）
当102x <<时，()'0h x >；当1
2
x >时，()'0h x < （11分）
因此，当12
x =
时，()h x 取得最大值
11
ln 224
h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（12分） 所
以
函
数
()
h x 的值域是
1,ln 24⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
.
（13分）
21．（本小题14分）（1）设直线:(1)AB y k x =+， 将:(1)AB y k x =+代入椭圆的方程2
235
x y +=，
消去y 整理得2
222(31)6350
k
x k x k +++-=，
设1
1
(,)A x y ，2
2B(,)x y
则2
2422
61231364(31)(35)0k k k k k x x +⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪⎩
因为线段AB 的中点的横坐标为1
2
-
，解得k =
所以直线AB
的方程为10
x +=
（2）假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使得MA MB ⋅位常数， (1)当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知2
261
2
31
k
k x x
++=-，2
235
1231
k k x x -+⋅= 所以1
2
12()()MA MB x m x
m y y ⋅=--+=2222
1212(1)()()k x x k m x x k m ++-+++
22614
133(31)2m k m m ++=+--，
因为MA MB ⋅是与k 无关的常数，从而有736140,m m +==-， 此时49
MA MB ⋅=，
(2)当直线AB 与x 轴垂直时,此时结论成立， 综上可知，在x 轴上存在定点73
(,0)
M -
，使49
MA MB ⋅=为实
数。