初中数学知识点精讲精析 二元一次方程与一次函数

5.6 二元一次方程与一次函数
学习目标
1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系。

2.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。

知识详解
1. 二元一次方程与一次函数的关系
（1）从两者的定义看，一般地，形如ax + by = c (其中a、b、c是常数，且ab≠0)的方程称为二元一次方程，它反映两个未知数x、y的取值所要满足的条件（即方程的解的意义）；形如y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）的函数称为一次函数，它反映自变量x 与函数y的一种对应关系．
（2）从两者的关系看，二元一次方程ax + by = c与一次函数y=kx+b的表达式可以相互转化，从“形”的角度看，二元一次方程的解就是相应直线上点的坐标．事实上，二元一次方程对应的图形是一条直线，二元一次方程的所有解恰与直线上所有点形成一一对应的关系。

2.方程组和对应的两条直线的关系：
（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；（2）两条直线的交点坐标是对应的方程组的解。

3. 二元一次方程组的解与一次函数图象的关系
（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；
（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次
方程组的解．
（3）解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．
注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．
【典型例题】
例1. 二元一次方程的图象如图所示，则这个二元一次方程为（）
A．x-3y=3
B．x+3y=3
C．3x-y=1
D．3x+y=1
【答案】A
【解析】两点确定一条直线，找到直线上的任意两点代入函数关系式y=kx+b，解出k，b，就是直线的方程．
例2. 以二元一次方程3x-4y=8的解为坐标的所有点组成的图象也是一次函数y= 的图象．
【答案】y= 3
4x-2
【解析】3x-4y=8，4y=3x-8，y= 3
4x-2
例3. 一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点在二元一次方程-2x+by=18上，则b=
【答案】18 7
【解析】一次函数y=3x+7中，令x=0，则y=7，即一次函数与y轴的交点是（0，7）；把x=0，
y=7代入-2x+by=18，得：7b=18，即b=18 7
【误区警示】
易错点1：运用交点坐标解题
1.已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，-1），则a= ，b=
【答案】a=2，b=3．
【解析】本题可将交点坐标分别代入两个二元一次方程中，然后联立两式，可得出关于a、b的二元一次方程组．通过解方程组可求出a、b的值。

易错点2：运用次数解题
2.已知关于x、y的方程
3m2n2m3n
3x5y7
+-
-=
是二元一次方程，根据题意，可列出关于m
、
n的二元一次方程组为
【答案】
3m2n1 2m3n1
+
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
【解析】根据二元一次方程的定义可得x和y的次数均为1，继而可得出关于m，n的二元一次方程组．
【综合提升】
针对训练
1. 已知
x3
y2
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
和
x2
y1
⎧
⎨
⎩
＝
＝
是二元一次方程ax+by=-3的两个解，则一次函数y=ax+b与y轴
的交点是
2. 有一个二元一次方程组无解，小明以此二元一次方程组的两个方程作为一次函数所画的两条直线交点．
3. 如图，两直线交点B的坐标可以看作二元一次方程组的解．
1.【答案】（0，-3 7）
【解析】把
x3
y2
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
和
x2
y1
⎧
⎨
⎩
＝
＝
代入二元一次方程ax+by=-3，得出一个关于a、b的方程组，
求出方程组的解，得出一次函数的解析式，再令x=0即可．
2.【答案】无
【解析】二元一次方程组无解，即不存在能使两式同时成立的x，y的值，则以此二元一次方程组的两个方程作为一次函数所画的两条直线无交点．
3.【答案】
y2x
y x3⎧
⎨
-+⎩
＝
＝
【解析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应该先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
课外拓展
坐标系的由来
有一天，笛卡尔（1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。

他就拼命琢磨。

通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。

突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。

蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。

他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点P来表示它们（如图1）。

同样，用一组数（a，b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图2）。

于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。