2014届高考数学二轮复习典例总结训练：《圆锥曲线中的热点问题》

圆锥曲线中的热点问题
1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.
2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0
时，直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
2．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2
|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1
k2
|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：
|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，
|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
3．弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题
例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l
与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 解 (1)由已知得c ＝22，c
a ＝
63
. 解得a ＝23，又b 2
＝a 2
－c 2
＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 212＋y
24
＝1.
得4x 2
＋6mx ＋3m 2
－12＝0.①
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝
x 1＋x 2
2＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m
4
； 因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB .
所以PE 的斜率k ＝2－
m
4
－3＋
3m 4＝－1.
解得m ＝2.
此时方程①为4x 2
＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.
此时，点P (－3,2)到直线AB ：
x －y ＋2＝0的距离d ＝
|－3－2＋2|2
＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2
.
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆
方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
椭圆x 2
2＋y 2
＝1的弦被点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________．
答案 2x ＋4y －3＝0
解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.
∵A ，B 在椭圆上，∴x 21
2＋y 2
1
＝1，x 22
2
＋y 2
2＝1.
x 1＋x 2
x 1－x 2
2
＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
即
y 1－y 2
x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－1
2
，
即直线AB 的斜率为－1
2
.
∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，
即2x ＋4y －3＝0.
考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题
例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为1
2
，直线l 经过椭圆C 的右焦点F
交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →
，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；
(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y
后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →
把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，
BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定
点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直
线就不相交于定点．
解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12
，a 2＝b 2＋c 2
，
∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为
y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，
又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －，x 24＋y
23
＝1，
消去y 得(3＋4k 2
)x 2
－8k 2x ＋4k 2
－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－123＋4k
2，
又由MA →＝λAF →
，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝
x 1
1－x 1
，同理μ＝
x 2
1－x 2
， ∴λ＋μ＝
x 11－x 1＋x 2
1－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 2
1－
x 1＋x 2＋x 1x 2
＝8k 2
3＋4k 2－k 2
－
3＋4k 2
1－8k 23＋4k ＋4k 2
－123＋4k
＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－8
3
.
(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相
交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线
AE 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫52
，0，
∵l AE ：y －y 2＝
y 2－y 1
4－x 1
(x －4)，
当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
＝－x 1y 2－
y 2－y 1
－x 1
＝－x 1
k x 2－
－3k x 2－x 1
－x 1
＝－8k －2kx 1x 2＋5k
x 1＋x 2
－x 1
＝
－8k
＋4k
2
－2k k 2－
＋5k ·8k
2
－x 1
＋4k
2
＝0.
∴点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0在直线l AE 上． 同理可证，点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0也在直线l BD 上． ∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，
∴|O 1M |＝x 2
＋42
， 又|O 1A |＝x －
2
＋y 2
，
∴
x －
2
＋y 2
＝x 2
＋42
，
化简得y 2
＝8x (x ≠0)．
又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2
＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2
＝8x .
(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
将y ＝kx ＋b 代入y 2
＝8x 中，
得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2
＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.
由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk
k
2
， ① x 1x 2＝b 2
k
2，
②
因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1
， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，
(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0
③
将①，②代入③得2kb 2
＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2
b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题
例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2
＋y 2
＝4的直径．l 1，l 2是过点
P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭
圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
解 (1)由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝1，
a ＝2.
所以椭圆C 1的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2
＋y 2
＝4， 故点O 到直线l 1的距离
d ＝
1
k 2
＋1
，
所以|AB |＝24－d 2
＝2
4k 2
＋3
k 2＋1
. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4.
消去y ，整理得(4＋k 2
)x 2
＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.
所以|PD |＝8k 2
＋1
4＋k
2.
设△ABD 的面积为S ，则S ＝1
2·|AB |·|PD |
＝84k 2
＋34＋k 2
， 所以S ＝
324k 2
＋3＋
134k 2
＋3
≤322
4k 2
＋3·
13
4k 2
＋3
＝
1613
13
， 当且仅当k
＝±
10
2
时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±
10
2
x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于
参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．
已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐
标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：
(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π
6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在
以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．
解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 2
2＝1，抛物线C 2的方程为y 2
＝9x .
(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝
3
3
(x －m )，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3
3x －m x 2
6＋y 2
2＝1，
消去y 整理得2x 2
－2mx ＋m 2
－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2
－8(m 2
－6)>0， 即－23<m <23，
①
而x 1x 2＝m 2－6
2
，x 1＋x 2＝m ，
故y 1y 2＝
33(x 1－m )·3
3
(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2
] ＝
m 2－6
6
.
欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →
>0，
又F (－2,0)，即FC →·FD →
＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②
由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．
1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项
(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．
(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法
定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．
3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2
＋3y 2
＝a 2
(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2
>3k 2
1＋3k
2；
(2)若AC →＝2CB →
，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． (1)证明 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴， 故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1
k
y －1.
将x ＝1k
y －1代入x 2＋3y 2＝a 2
，消去x ，
得⎝
⎛⎭
⎪⎫3＋1k 2y 2－2y k
＋1－a 2
＝0， ①
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k
2－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 2＋3(1－a 2
)>0，
整理得⎝
⎛⎭
⎪⎫1k
＋3a 2
>3，
即a 2
>3k
2
1＋3k
2.
(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由①， 得y 1＋y 2＝
2k
1＋3k
2，
因为AC →＝2CB →
，得y 1＝－2y 2， 代入上式，得y 2＝－2k
1＋3k
.
于是，△OAB 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝3
2|y 2|
＝
3|k |1＋3k 2≤
3|k |23|k |＝32
. 其中，上式取等号的条件是3k 2
＝1，即k ＝±3
3
. 由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±
3
3. 将k ＝
33，y 2＝－33及k ＝－33
， y 2＝
3
3
这两组值分别代入①， 均可解出a 2
＝5.
所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2
＋3y 2
＝5.
(推荐时间：70分钟)
一、选择题 1． 已知方程
x 2
k ＋1＋
y 2
3－k
＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( ) A ．k <1或k >3 B ．1<k <3 C ．k >1
D ．k <3
答案 B
解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＋1>03－k >0
k ＋1>3－k
，
解得1<k <3.选B.
2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨
迹方程是
( )
A.x 29－y 216＝1
B.
x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216
＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C
解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，
所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线
的右支，方程为x 29－y 216
＝1(x >3)． 3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半
径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是
( ) A ．(0,2)
B ．[0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞) 答案 C
解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，
又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，
∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，
又y 0≥0，∴y 0>2.
4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8
答案 C
解析 设P (x 0，y 0)，则
x 204＋y 2
03＝1，即y 2
0＝3－3x 2
04， 又因为F (－1,0)，
所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14
x 20＋x 0＋3 ＝14
(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，
所以(OP →·FP →)max ＝6.
5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在
第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是
( )
A ．(0，＋∞)
B ．(13，＋∞)
C ．(15
，＋∞) D ．(19，＋∞) 答案 B
解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.
由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，
且r 1>r 2,2r 2>r 1，
∴2c <10,2c ＋2c >10，
∴52<c <5⇒1<25c 2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c
； e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c
. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13
. 二、填空题
6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m
＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5
解析 ∵方程x 25＋y 2m
＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.
∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，
∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：
025＋12m
≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.
7． 设F 1、F 2为椭圆x 24
＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________．
答案 －2
解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．
此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)，
∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)，
∴PF →1·PF →2＝－2.
8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y
轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．
答案 522
－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x
得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得
d 1＋d 2＝|PA |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2，
|PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ，
即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2
＝522， 所以d 1＋d 2的最小值为522
－1. 9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使
得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．
答案 [1，＋∞)
解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.
即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨
⎪⎧ a >0a －1≥0，解得a ≥1.
三、解答题 10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103
分别交于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求线段MN 的长度的最小值．
解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为
D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.
故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，
设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k 3
)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，
得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.
设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2. 由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k
(x －2)， 联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k
)． ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83
. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83
. 11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA
与PB 的斜率之积为－12
. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点．
(1)解 由题知：y
x ＋2·y x －2＝－12. 化简得x 22
＋y 2
＝1(y ≠0)． (2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：x ＝my ＋1，代入x 2
2
＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.
y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2
(x －x 1)， 令y ＝0，
得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2
＝my 1＋1＋
my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．
方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，
l ：y ＝k (x －1)，代入x 22
＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，
x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2
(x －x 1)，
令y ＝0，得x ＝x 1＋
y 1x 2－x 1y 1＋y 2
＝x 1＋k x 1－x 2－x 1k x 1＋x 2－ ＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2
＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．
12．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M
外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
解 (1)设圆P 的半径为r ，
则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，
∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，
∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外，
且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，
∴b 2＝a 2－c 2＝3.
∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23
＝1(x ＝－2)． (2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4，
∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)．
圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.
①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )， ⎩⎪⎨⎪⎧ |－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2 解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－24b ＝－2.
∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24
x － 2. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 23＝1
y ＝24x ＋
2 化简：7x 2＋8x －8＝0 ∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87， ∴|AB |＝1＋k
2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187
.。