2022-2023学年新人教版九年级下数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年初中九年级下数学月考试卷
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________
考试总分：130 分 考试时间： 120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计80分 ）
1. 一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ）
A.1
B.−1
C.±1
D.±1和
0 2. 下列四个图案中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.
3. −|−12|的相反数的倒数是 （ ）
A.12
B.−12
C.2
D.−2
4. 如图是小玲收到妈妈送给她的生日礼盒，则图中礼盒的俯视图是( )A.
B. 1
−1
±1
±10
−|−|12
12
−1
2
2
−2
(
)
C. D.
5. 下列运算中，错误的是（ ）
A.√8÷√2=2
B.√3×√12=6
C.√18−√2=4
D.√
(−3)2=3
6. 如果式子5x −4的值与10x 互为相反数，则x 的值是（ ）A.415B.−415C.154D.−154
7. 如图，将△ADE 绕D 点旋转得到△CDB ，点A 与点C 是对应点，点C 在DE 上，下列说法错误的是
( )
A.AD =DC
B.AE//BD
C.DE 平分∠ADB
D.AE =BC
8. 钦州港口2018年全年吞吐量突破亿吨，达到102000000吨，其中数据102000000用科学记数法表示
为( )
A.102×106
B.10.2×107
C.1.02×107
D.1.02×108
9.
如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC 于点E ，DF 平分∠ADC ，交EB 的延长线于
÷=2
8–√2–√×=6
3–√12−−√−=4
18−−√2–√=3(−3)2−−−−−√5x−410x x
4
15−41515
4−154
点F，BC=6，CD=3，则BEBF为（）
A.23
B.34
C.25
D.35
10. 如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）
A.ADAB=AEBC
B.AEBC=ADBD
C.DEBC=AEAB
D.ADAB=DEBC
11. 两个数2−m和−1在数轴上从左到右排列，那么关于x的不等式(2−m)x+2>m的解集是( )
A.x>−1
B.x<−1
C.x>1
D.x<1
12.
小明不慎将一块三角形形状的玻璃摔成如图所示标有1，2，3，4的四块，他要
将其中的一块碎片带去玻璃店配原来同样大小的三角形形状的玻璃．请你告诉他
应带上（ ）
A.第1块
B.第2块
C.C、第3块
D.第4块
13. 如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E，且AC=2，AE=√3．则^BO的长是( )
A.√3π9
B.2√3π9
C.√3π3
D.2√3π3
14. 小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差为( )
A.0.5
B.5
C.10.5
D.50
15. 小芳说：“我的矩形面积为6．”小丽说：“我的矩形周长为6．”下面说法不正确的是( )
A.小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系
B.小丽：你的矩形周长不可能是6，我的矩形面积也不可能是6
C.同学小文：你们的矩形都可能是正方形
D.同学小华：小丽的矩形面积没有最大值
16. 如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外
角∠ACF．以下结论：
①AD//BC；
②∠ACB=2∠ADB；
③DB平分∠ADC；
④∠ADC=90∘−∠ABD；
⑤∠BDC=12∠BAC．
其中正确的结论有( )
A.1 个
B.2个
C.3个
D.4个
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）
17. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为3的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为________．
18. 在一个盒子中有红球，黑球，黄球共20个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，得到红
球的概率为，得到黑球的概率为，则这20个球中黄球有________个．
19. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是________．
三、解答题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）
20. 为鼓励居民节约用电，某市采用价格调控手段达到省电目的．该市电费收费标准如下表（按月结算）：
解答下列问题：
(1)某居民12月份用电量为180度，请问该居民12月应缴电费多少元？
(2)设某月的用电量为x度 (0<x≤300) ,试写出不同用电量范围应缴的电费（用x表示）.
(3)某居民12月份缴电费180元，求该居民12份的用电量.
21. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上统计图，解答下列问题：
(1)本次接受调查的市民共有________人；
(2)扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是________；
(3)请补全条形统计图.
22. 如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，围成四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当四边形ABCD满足________时，四边形EFGH是菱形；
(3)当四边形ABCD满足________时，四边形EFCH是矩形，请予以证明．
23. 如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60∘，∠ACB＝45∘，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．）
24. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备在一个个体车主和一个出租车公司选择一家签定月租车合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月租费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象如图，观察图象解答下列问题：
(1)分别求y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)每月行驶的路程为多少时，两家的月租车费用相同？
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2400km，那么这个单位租哪家的车合算，并说明理由？25. 已知二次函数y=−12x2−x+3.
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）画出抛物线的图象；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y有最大值还是最小值？是多少？
26. 如图1，以正方形ABCD的相邻两边AD，CD为边向外作等边三角形，得到△ADE ，△DCF，
点G，H分别是AE，CF的中点，连接AF，GH．
(1)问题发现：GHAF=________；
(2)猜想论证：如图2，若四边形ABCD是矩形，其他条件不变，则(1)中结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，在(2)的条件下，点P，Q分别为AF，GH的中点，连接PQ，DQ，猜
想PQ，DQ的位置关系，并加以证明．
参考答案与试题解析
2022-2023学年初中九年级下数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计80分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
有理数的乘方
【解析】
可以考虑是±1以及0，若符合条件，就是所求．
【解答】
解：由于13=1，(−1)3=−1，03=0，
即±1或0符合.
故选D ．
2.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，故D 是轴对称图形.故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
倒数
相反数
绝对值
【解析】
根据相反数及倒数的求法直接进行求解即可.
【解答】
解：根据题意， −|−12|=−12，
∵−12的相反数是12，
∴12的倒数是2.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
从上面看到的图叫做俯视图．按照礼盒的位置摆放和左视图的定义判断．【解答】
解：从上面看的是四个矩形．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
二次根式的乘法
二次根式的除法
二次根式的减法
二次根式的化简求值
【解析】
本题考查二次根式的乘除法与减法运算．
【解答】
解：A．√8÷√2=√8÷2=√4=2，故正确；
B．√3×√12=√3×12=√36=6，故正确；
C．√18−√2=3√2−√2=2√2，故错误；
D．√(−3)2=√9=3，故正确．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
解一元一次方程
列代数式求值
【解析】
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】
根据题意得：5x−4+10x＝0，
移项合并得：15x＝4，
解得：x=415，
7.
【答案】
B
【考点】
旋转的性质
平行线的性质
【解析】
由旋转的性质可得AD=CD，AE=BC，∠E=∠B，∠ADE=∠EDB，可得DE平分∠ADB，利用排除法可求解．【解答】
解：∵△ADE旋转到△CDB，
∴AD=CD，AE=BC，
∠ADE=∠EDB，故选项A和D不符合题意，
∴DE平分∠ADB，故选项C不符合题意．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
8.
解：102000000用科学记数法表示为：1.02×10
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
矩形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
B
【考点】
解一元一次不等式
数轴
【解析】
先根据题意判断出2−m<−1 ，即2−m<0 ，再根据不等式的基本性质求解即可．【解答】
解：由题意知2−m<−1.
∵ (2−m)x+2>m，
∴ (2−m)x>m−2，
不等式两边同时除以2−m，得x<−1，
∴不等式(2−m)x+2>m的解集为x<−1.
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的应用
【解析】
此题应采用排除法通过逐个分析从而确定最终答案．
【解答】
解：4只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
1，3则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
而2不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“2”去，
根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃．
故选：B．
13.
【答案】
B
圆周角定理
弧长的计算
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
连接OC ，先根据勾股定理判断出△ACE 的形状，再由垂径定理得出CE =DE ，故^BC =^BD ，由锐角三角函数的定义求出∠A 的度数，故可得出∠BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【解答】
解：连接OC ，
∵△ACE 中，AC =2，AE =√3，AE ⊥CD ，
∴CE =√22−(√3)2=1，
∵sinA =CEAC =12，
∴∠A =30∘，
∴∠COE =60◦，
∴CEOC =sin ∠COE ，即1OC =√32，解得OC =2√33，
∵AE ⊥CD 且CE =ED ，
∴^BC =^BD ，
∴^BD =^BC =60π×2√33180=2√3π9．
故选B.
14.
【答案】
A
【考点】
方差
【解析】
先分别计算前后的方差，再根据方差的意义即方差是反映数据波动大小的量即可得出答案．
【解答】
解：由题意知，原来的平均年龄为¯x ，
每位同学的年龄10年后都变大了10岁，
则平均年龄变为¯x +10，
且每个人的年龄增加了10岁，
原来的方差S
2=1
1n [(x 1−¯x)2+(x 2−¯x)2+⋯+(x n −¯x)2]=0.5，10年后的方差S 22
=1n [(x 1+10−¯x −10)2+(x 2+10−¯x −10)2+⋯+(x n +10−¯x −10)2]=1n [(x 1−¯x)2+(x 2−¯x)2+⋯+(x n −¯x)2]=0.5，
所以10年后的方差不变．
故选A.
15.【答案】
D
【考点】
三角形的面积
二次函数的最值
矩形的性质
反比例函数的应用
【解析】
【解答】解：如图所示：
A ，由题意，可知ab =6，2(x +y)=6，
∴b =6a ，y =−x +3，故A 正确；
B ，若2(a +6a )=6，则a +6a =3，
∴a 2−3a +6=0．∵Δ=9−4×6<0，
∴此方程无解，故小芳的矩形周长不可能等于6．
∵S =x(3−x)，∴x(3−x)=6，∴x 2
−3x +6=0，
此方程无解，故小丽的矩形面积不可能等于6．
故B 正确；C ，a =6a ，∴a 2=6，a =√6（a =−√6不合题意，舍去）；
x =−x +3，∴2x =3，∴x =32，
∴这两个矩形都可能是正方形，故C 正确；
D ，S =x(3−x)，当x =32时，S 有最大值，故D 错误．
故选D ．
16.
【答案】
D
【考点】
三角形的外角性质
三角形内角和定理
平行线的判定与性质
【解析】
①由AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，求出∠EAD =∠DAC ，由三角形外角得∠EAC =∠ACB +∠ABC ，且∠ABC =∠ACB ，得出∠EAD =∠ABC ，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．
②由AD//BC ，得出∠ADB =∠DBC ，再由BD 平分∠ABC ，所以∠ABD =∠DBC ，∠ABC =2∠ADB ，得出结
论∠ACB =2∠ADB ，
③在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180∘，利用角的关系
得∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180∘，得出结论∠ADC =90∘−∠ABD ；④由∠BAC +∠ABC =∠ACF ，得出12∠BAC +12∠ABC =12∠ACF ，再与∠BDC +∠DBC =12∠ACF 相结合，得
出12∠BAC =∠BDC ，即∠BDC =12∠BAC ．
【解答】
解：①∵AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，
∴∠EAD =∠DAC ，
∵∠EAC =∠ACB +∠ABC ，且∠ABC =∠ACB ，
∴∠EAD =∠ABC ，
∴AD//BC ，
故①正确．
②由①可知AD//BC ，
∴∠ADB =∠DBC ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD =∠DBC ，
∴∠ABC =2∠ADB ，
∵∠ABC =∠ACB ，
∴∠ACB =2∠ADB ，
故②正确．
③∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD =∠DBC ，
∵∠ADB =∠DBC ，∠ADC =90∘−12∠ABC ，
∴∠ADB 不等于∠CDB ，∴③错误；
④在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180∘，
∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，
∴∠ACD =∠DCF ，
∵AD//BC ，
∴∠ADC =∠DCF ，∠ADB =∠DBC ，∠CAD =∠ACB
∴∠ACD =∠ADC ，∠CAD =∠ACB =∠ABC =2∠ABD ，
∴∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180∘，
∴∠ADC +∠ABD =90∘
∴∠ADC =90∘−∠ABD ，
故④正确；
⑤∵∠BAC +∠ABC =∠ACF ，
∴12∠BAC +12∠ABC =12∠ACF ，
∵∠BDC +∠DBC =12∠ACF ，
∴12∠BAC +12∠ABC =∠BDC +∠DBC ，
∵∠DBC =12∠ABC ，
∴12∠BAC =∠BDC ，即∠BDC =12∠BAC ．
故⑤正确．
故选D.
二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）
17.
【答案】
9π
【考点】
多边形的内角和
【解析】
因为图中的圆形喷水池形成的内角和度数为360∘，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可．
【解答】
解：四边形的内角和为360∘，
阴影部分的面积和为一个圆的面积，
故圆形喷水池的面积为π⋅32
=9π．
故答案为：9π．
18.
【答案】
6
【考点】
概率公式
利用频率估计概率
列表法与树状图法
【解析】
根据题意可先求出红球和黑球的个数，然后进行求解即可．
【解答】
解：由题意得：
黄球的个数为：20−12×20−15×20=6（个）；
故答案为6．
19.
【答案】
8+8√2
【考点】
正多边形和圆
【解析】
根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
【解答】
由题意可得，
AD=2+√222×2=2+2√2，
∴四边形ABCD的周长是：4×(2+2√2)=8+8√2，
三、解答题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）
20.
【答案】
解：(1)由题意，得 150×0.50+(180−150)×0.65=94.5，
即该居民12月应缴交电费94.5元.
(2)若某户的用电量为x度，则
0<x≤150 时，应付电费0.50x元；
150<x≤250时，应付电费[0.65(x−150)+75]元；
250<x≤300时，应付电费[0.80(x−250)+140]元.
(3)因为 180>140 ，
所以该居民12份的用电量超过250度.
由(2)得： 0.80(x−250)+140=180，
解得 x=300.
答：该居民12份的用电量为300度．
【考点】
一元一次方程的应用——其他问题
列代数式求值
统计表
列代数式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，得 150×0.50+(180−150)×0.65=94.5，
即该居民12月应缴交电费94.5元.
(2)若某户的用电量为x 度，则
0<x ≤150 时，应付电费0.50x 元；
150<x ≤250时，应付电费[0.65(x −150)+75]元；
250<x ≤300时，应付电费[0.80(x −250)+140]元.(3)因为 180>140 ，
所以该居民12份的用电量超过250度.
由(2)得： 0.80(x −250)+140=180，
解得 x =300.
答：该居民12份的用电量为300度．
21.
【答案】
2000
28.8∘
(3)D 选项的人数为2000×25%=500.补全条形图如下：
【考点】
扇形统计图
条形统计图
【解析】
（1）将A 选项人数除以总人数即可得；
（2）用360◦乘以E 选项人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以D 选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；
【解答】
解：(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人.
故答案为：2000.
(2)扇形统计图中，扇形E 的圆心角度数是360∘×1602000=28.8∘.
故答案为：28.8∘.(3)D 选项的人数为2000×25%=500.
补全条形图如下：
22.
【答案】
(1)证明：∵EH//BD，FG//BD，
∴EH//FG.
同理，EF//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
AC=BD
AC⊥BD
【考点】
平行四边形的判定
菱形的判定
平行四边形的性质与判定
矩形的判定
【解析】
(1)由已知条件得到EH//BD，CF//BD，求得EH//FG，同理，EF//HG，于是得到结论；
(2)根据EH//BD，HG//EF，求得四边形BDHE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EH=BD，同理，HG=AC，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(3)由DG//AC，BD//FG，得到四边形DOCG是平行四边形，推出平行四边形DOCG是矩形，根据矩形的性质得到∠G=90∘，于是得到结论．
【解答】
(1)证明：∵EH//BD，FG//BD，
∴EH//FG.
同理，EF//HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)解：当四边形ABCD满足AC=BD时，四边形EFGH是菱形；
证明：∵EH//BD，HG//EF，
∴四边形BDHE是平行四边形，
∴EH=BD，
同理，HG=AC，
∵AC=BD，
∴EH=GH，
∴平行四边形EFGH是菱形.
故答案为：AC=BD．
(3)解：当四边形ABCD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，
证明：如图，
∵DG//AC，BD//FG，
∴四边形DOCG是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90∘，
∴平行四边形DOCG是矩形，
∴∠G=90∘，
∴平行四边形EFGH是矩形.
故答案为：AC⊥BD．
23.
【答案】
这条河的宽度约为19m．
【考点】
解直角三角形的应用
【解析】
如图，过A作AD⊥BC于D，设AD＝x．通过等腰直角三角形的性质推知：DC＝AD＝x，BD＝30−x；然后接Rt△ABD得到：则ADBD=√3，即x30−x=√3．进而求出即可．
【解答】
如图2，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45∘，
∴DC＝AD＝x，BD＝30−x．
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝tan60∘=ADBD=√3，
即x30−x=√3．
解得 x=30√3√3+1≈19(m)．
24.
【答案】
解：(1)设y1=k1x，
根据题意，得 2000=1500k，
解得k1=43,
∴y1=43x.
设y2=k2x+b，
根据题意，得b=1000，①
2000=1500k2+b ②
将①代入②得k2=23，
∴y2=23x+1000.
(2)由图象得，当每月行驶1500千米时，租两家的费用相同．
(3)当x=2400时，
y1=43×2400=3200（元）
y2=23×2400+1000=2600（元）.
∵y1>y2，
∴当每月行驶的路程为2400千米时，选择出租车公司合算．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
一次函数的图象
一次函数的应用
【解析】
【解答】
解：(1)设y1=k1x，
根据题意，得 2000=1500k，
解得k1=43,
∴y1=43x.
设y2=k2x+b，
根据题意，得b=1000，①
2000=1500k2+b ②
将①代入②得k2=23，
∴y2=23x+1000.
(2)由图象得，当每月行驶1500千米时，租两家的费用相同．
(3)当x=2400时，
y1=43×2400=3200（元）
y2=23×2400+1000=2600（元）.
∵y1>y2，
∴当每月行驶的路程为2400千米时，选择出租车公司合算．25.
【答案】
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象的画法
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
二次函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
26.
【答案】
2√33
(2)结论成立．
理由：如图，连结DG，DH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘.
∵△ADE，△DCF都是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60∘.∵AG=GE，CH=FH，
∴∠ADG=∠CDH=30∘，
∴∠ADF=∠GDH=150∘.
∵ADDG=DFDH=2√33，
∴△DGH∽△DAF，
∴GHAF=ADDG=2√33．
(3)PQ⊥DQ．
理由：如图，连结DG，DH，DP，
由(2)可知：△DGH∽△DAF，
∴∠DGQ=∠DAP.
∵DQ，DP分别是△GDH，△ADF的中线，
∴DPDQ=DADG=2√33，
∴ADDP=DGDQ.
∵ADDG=PAQG，
∴△DGQ∼△DAP，
∴∠GDQ=∠ADP，
∴∠ADG=∠PDQ，
∴△ADG∼△PDQ，
∴∠DQP=∠DGA.
∵DA=DE，AG=GE，
∴DG⊥AE，
∴∠DGA=90∘，
∴∠DQP=90∘，
∴DQ⊥PQ．
【考点】
正方形的性质
等边三角形的性质
特殊角的三角函数值
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图，连结DG，DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90∘.
∵△ADE，△DCF都是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60∘.∵点G，H分别是AE，CF的中点，
∴∠GDA=∠CDH=30∘，
∴∠ADF=∠GDH=150∘.
∵ADDG=DFDH=2√33，
∴△DGH∼△DAF，
∴GHAF=ADDG=2√33.
故答案为：2√33．
(2)结论成立．
理由：如图，连结DG，DH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘.
∵△ADE，△DCF都是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠ADE=∠CDF=60∘.∵AG=GE，CH=FH，
∴∠ADG=∠CDH=30∘，
∴∠ADF=∠GDH=150∘.
∵ADDG=DFDH=2√33，
∴△DGH∽△DAF，
∴GHAF=ADDG=2√33．
(3)PQ⊥DQ．
理由：如图，连结DG，DH，DP，
由(2)可知：△DGH∽△DAF，
∴∠DGQ=∠DAP.
∵DQ，DP分别是△GDH，△ADF的中线，
∴DPDQ=DADG=2√33，
∴ADDP=DGDQ.
∵ADDG=PAQG，
∴△DGQ∼△DAP，
∴∠GDQ=∠ADP，
∴∠ADG=∠PDQ，
∴△ADG∼△PDQ，
∴∠DQP=∠DGA.
∵DA=DE，AG=GE，
∴DG⊥AE，
∴∠DGA=90∘，∴∠DQP=90∘，∴DQ⊥PQ．。