【中考12年】浙江省温州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题9 三角形
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2001-2012年某某某某中考数学试题分类解析汇编(12专题)
专题9:三角形
一、选择题
1. (2001年某某某某3分)等腰三角形的一个底角是30°,则它的顶角是【】
A.30° B.40° C.75° D.120°
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】根据等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理,它的顶角是1800-2×300=1200。
故选D。
2. (2001年某某某某3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则tanA的值是【】
A.4
3
B.
3
4
C.
3
5
D.
4
5
【答案】A。
【考点】锐角三角函数定义。
【分析】根据正切函数定义,得tanA=BC4
AC3
=。
故选A。
3. (2002年某某某某4分)在△ABC中,点D、E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,AE=3,EC=2,那么S△ADE:S△ABC等于【】
A.2:3 B.3:5 C 9:4 D 9:25
【答案】D。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】∵AE=3,EC=2,∴AE3 AC5
=。
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC。
∴
22
ADE
ABC
S AE39
S AC525
∆
∆
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
==。
故选D。
4. (2004年某某某某4分)如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,CA=4,那么sinA 等于【 】
(A)
43 (B) 34 (C) 53 (D)5
4 【答案】C 。
【考点】锐角三角函数定义, 【分析】根据正弦函数定义,得sinA=
BC 3
AB 5
=。
故选C 。
5. (2006年某某某某4分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则 cosA 等于【 】
A.
512 B. 513 C. 125 D. 1213
【答案】D 。
【考点】勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】∵在△ABC 中,∠C=90°,BC=5,AC=12,∴根据勾股定理得2222AB BC AC 51213=+=+=。
∴根据余弦函数定义求解:AC 12
cosA=
AB 13
=。
故选D 。
6. (2007年某某某某4分)如图,在ABC ∆中,AB =AC =5,BC =6,点E ,F 是中线AD 上的两点,则图中阴影部分的面积是【 】
A.6
B.12 【答案】A 。
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。
【分析】根据等腰三角形轴对称的性质,△CEF 与△BEF 全等,从而图中阴影部分的面积等于△ABD 的面积。
根据等腰三角形三线合一的性质,由BC =6,得BD=3。
在Rt△ABD 中根据勾股定理,得AD=4。
∴阴影部分的面积=△ABD的面积=1
346
2
⨯⨯=。
故选A。
7. (2008年某某某某4分)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB 的值是【】
(A)2
3
(B)
3
2
(C)
3
4
(D)
4
3
【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质,锐角三角函数定义。
【分析】∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,且CD=2,∴AB=2CD=4。
又∵AC=3,∴
AC3
sinB=
AB4
=。
故选C。
8. (2008年某某某某4分)以OA为斜边作等腰直角三角形OAB,再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰
直角三角形OBC,如此继续,得到8个等腰直角三角形(如图),则图中△O AB与△OHJ的面积比值是【】
(A)32 (B)64 (C)128 (D)256
【答案】D。
【考点】等腰直角三角形的性质。
【分析】由已知,知相邻两个等腰直角三角形中大的是小的的2倍,因此,△OAB与△OHJ的面积比值是28=256。
故选D。
9. (2009年某某某某4分)如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连结DE,则△BDE的周长是【】
A.7+5 B.10 C.4+25 D.12
【答案】B。
【考点】等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】∵△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分∠BAC交BC于点E,
∴根据等腰三角形三线合一的性质,得BE=4,AE⊥BC。
∵点D为AB的中点,
∴直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质,得DE=BD=3。
∴△BDE的周长是3+3+4=10。
故选B。
10. (2010年某某某某4分)如图,已知一商场自动扶梯的长l为10米,该自动扶梯到达的高度h为6米,自动扶梯与地面所成的角为θ,则tanθ的值等于【】
A.3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
【答案】A。
【考点】勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】根据勾股定理可得θ角的邻边为8米,从而根据正切函数定义,得
63
tan==
84。
故选A。
11. (2011年某某某某4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是【】
A、
5
13
B、
12
13
C、
5
13
D、
13
5
【答案】A。
【考点】锐角三角函数的定义。
【分析】直接利用锐角三角函数的定义求解,sinA为∠A的对边比斜边,求出即可:sinA=BC5
AB13
=。
故
选A。
二、填空题
1. (2001年某某某某3分)如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=1,∠DAB=30°,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积为53,AD的长是▲ .
2. (2002年某某某某5分)Rt△ABC中,∠C=Rt∠,BC=4,AB=5,则tanB=▲
【答案】3
4。
【考点】勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】∵Rt△ABC中,∠C=Rt∠,BC=4,AB=5,∴由勾股定理得AC=3。
∴tanB=AC3 BC4
=。
3. (2006年某某某某5分)如图,在直线m上摆故着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=1
2 CE,
F、G分别是BC、CE的中点,FM∥AC,GN∥DC.设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=10,则S2= ▲ .
【答案】4。
【考点】等边三角形的判定和性质,平行四边形的性质。
【分析】根据正三角形的性质,∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°,
∴AB∥HF∥DC∥GN。
如图,设AC与FH交于P,CD与HG交于Q,
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形。
∵F、G分别是BC、CE的中点,
∴BF=MF=1
2
AC=
1
2
BC,CP=PF=
1
2
AB=
1
2
BC。
∴CP=MF,CQ=BC,QG=GC=CQ=AB。
∴S1=1
2
S,S3=2S。
∵S1+S3=10,∴1
2
S+2S=10。
∴S=4。
4. (2007年某某某某5分)如图,若D,E分别是AB,AC中点,现测得DE的长为20米,则池塘的宽BC是▲米。
【答案】40。
【考点】三角形中位线定理。
【分析】根据三角形中位线等于第三边一半的性质直接得出结果:BC=2DE=40米。
5. (2007年某某某某5分)星期天小川和他爸爸到公园散步,小川身高是160cm ,在阳光下他的影长为80cm ,爸爸身高180cm ,则此时爸爸的影长为 ▲ cm. 【答案】90。
【考点】相似三角形的应用。
【分析】在同一时刻身高和影长成正比,即在同一时刻的两个人,影子,经过人头部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似。
∵身高与影长成正比例,即=小川身高爸爸身高小川的影爸爸的影长长,即80=
160180
爸爸的影长
, ∴爸爸的影长=
18080
=90160
⨯(cm )。
6. (2008年某某某某5分)如图,点A 1,A 2,A 3,A 4在射线OA 上,点B 1,B 2,B 3在射线OB 上,且 A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3.若△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三 角形面积之和为 ▲ .
【答案】10.5。
【考点】平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等高三角形面积的性质。
【分析】∵A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2,∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3,∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3。
∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3。
又∵△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,
∴
12222333B B A B 1B B 2A B ==。
∴2334A A 1A A 2
=。
∵A 3B 2∥A 4B 3,∴223A B A ∆和233B A B ∆高是相等的。
∴
A2B2A322A3B2B333S A B 1
S A B 2
∆∆==。
又∵△A 3B 2B 3的面积是4,∴A2B2A3S ∆ = 14=22
⨯。
同理可得:A3B3A4S ∆ =2A3B2B3S ∆=2×4=8;A1B1A2S ∆=12A2B1B2S ∆=1
2
×1=0.5。
∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5。
7. (2009年某某某某5分)如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=8,cosA=
4
3
,则AC 的长是 ▲
【答案】6。
【考点】锐角三角函数定义。
【分析】直接根据余弦函数定义求解:3
AC AB cosA 864
=⋅=⨯
=。
8. (2010年某某某某5分)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR 使得∠R=90°,点H 在边QR 上,点D ,E 在边PR 上,点G ,F 在边_PQ 上,那么△PQR 的周长等于 ▲ .
【答案】27133+
【考点】全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】在直角△ABC 中,根据三角函数即可求得AC ,进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR 的长,在直角△QRP 中运用三角函数即可得到RP 、QP 的长,就可求出△PQR 的周长:
延长BA 交QR 于点M ,连接AR ,AP 。
∵AC=GC,BC=FC ,∠ACB=∠GCF,
∴△ABC≌△GFC(SAS )。
∴∠CGF=∠BAC=30°。
∴∠HGQ=60°。
∵∠HAC=∠BAD=90°,∴∠BAC+∠DAH=180°。
又AD∥QR,∴∠RHA+∠DAH=180°。
∴∠RHA=∠BAC=30°。
∴∠QHG=60°。
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°。
∴△QHG 是等边三角形。
∴3
AC AB cos304232
=⋅︒=⨯
=。
∴QH=HA=HG=AC=23。
在Rt△HMA 中,3
HM AH sin60233AM HA cos6032
=⋅︒=⨯==⋅︒= ,。
在Rt△AMR 中,MR=AD=AB=4.∴QR 2334723=++=+。
∴QP=2QR=1443+,PR=QR•3736=+。
∴△PQR 的周长等于RP+QP+QR= 27133=+。
9. (2011年某某某某5分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3=10,则S 2的值是▲.
三、解答题
1..(2001年某某某某4分)如图,已知:点A,B、C、D在同一条直线上,CE∥DF,AE∥BF,且AE=BF.求证:AC=BD.
【答案】证明:∵CE∥DF,∴∠ACE=∠D。
∵AE∥BF,∴∠A=∠DBF。
又∵AE=BF,∴△ACE≌△BDF(AAS)。
∴AC=BD。
【考点】平行线的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】由CE∥DF,AE∥BF,根据同位角相等的平行线的性质得∠ACE=∠D,∠A=∠DBF,从而由AE=BF,根据AAS可得△ACE≌△BDF,因此得到AC=BD。
2. (2003年某某某某12分)已知△ABC(如图),∠B=∠C=30°。
请设计三种不同的分法,将△ABC分割
成四个三角形,使得其中两个是全等
..三角形,而另外两个是相似
...的直角三角形.请画出分割线段,
..但不全等
标出
...).,并在各种分法的空格线上填空。
(画图工具..能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数
.......(.或记号
不限,不要求证明,不要求写出画法)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.
分法一:
分割后所得的四个三角形中△≌△ ,Rt△∽ Rt△
分法二:
分割后所得的四个三角形中△≌△ ,Rt△∽ Rt△
分法三:
分割后所得的四个三角形中△≌△ ,Rt△∽ Rt△
【答案】解:分法一:分割后所得的四个三角形中△AEF≌△CEF,Rt△ABD∽ Rt△EAD。
分法二:分割后所得的四个三角形中△DEF≌△CEF,Rt△ABD∽ Rt△DAF。
分法三:分割后所得的四个三角形中△AEF≌△DEF,Rt△ABD∽ Rt△DAF。
【考点】作图(复杂作图),开放型,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,全等、相似三角形的判定。
【分析】还有以下分法,答案不唯一:
3. (2004年某某某某8分)如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,且∠EAF=∠C。
求证:(1) ∠EAF=∠B; (2)AF2=FE·FB
【答案】证明:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C。
又∵∠EAF=∠C,∴∠EAF=∠B。
(2)在△AFB与△EFA中,∵∠EAF=∠B,∠AFB=∠EFA,
∴△AFB∽△EFA。
∴AF EF
FB AF
=。
∴AF2=FE·FB。
【考点】平行的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由AB∥CD,根据平行线内错角相等的性质得∠B=∠C,由等量代换即可得∠EAF=∠B。
(2)由△AFB∽△EFA即可得AF EF
FB AF
=,从而AF2=FE·FB。
4. (2006年某某某某8分)如图,点D 、C 在BF 上,AB∥EF,∠A=∠E,BC=DF , 求证AB=EF .
【答案】证明:∵AB∥EF,∴∠B=∠F(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠A=∠E,BC=FD 。
∴△ABC≌△EFD(AAS)。
∴AB=EF。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】由AB∥EF,根据两直线平行,内错角相等可得∠B=∠F,从而由AAS 证得△ABC≌△EFD,得AB=EF 。
5. (2007年某某某某8分)已知:如图,12,C D ∠=∠∠=∠ ,求证:AC AD =
【答案】证明:∵12,C D ∠=∠∠=∠ ,AB=AB , ∴△ABC≌△ABD(AAS )。
∴AC=AD。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知和公共边AB ,根据AAS 可得△ABC≌△ABD,从而AC=AD 。
6. (2008年某某某某9分)文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画
出
图形,写出“已知”,“求证”(如图),她们对各自所作的辅助线描述如下:
文文:“过点A 作BC 的中垂线AD ,垂足为D”; 彬彬:“作△ABC 的角平分线AD”.
数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正.” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里. (2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.
【答案】解:(1)作辅助线不能同时满足两个条件。
(2)证明:作△ABC的角平分线AD,∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD与△ACD中,∵∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS)。
∴AB=AC。
【考点】等腰三角形的判定,全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)线段BC的中垂线可以直接作出的,不需要附带“过点A作”。
(2)根据已知条件利用AAS可证△ABD≌△ACD,得出AB=AC。
7. (201 2年某某某某8分)如图,在方格纸中,△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上,现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形,
(1)在图甲中画出一个三角形与△PQR全等;
(2)在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等
....
【答案】解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
【考点】作图(复杂作图),全等图形。
【分析】(1)过A 作AE∥PQ,过E 作EB∥PR,再顺次连接A 、E 、B 。
(答案不唯一) (2)∵△PQR 面积是:
1
2
×QR×PQ=6,∴连接BA ,BA 长为3,再连接AD 、BD ,三角形的面积也是6,但是两个三角形不全等。
(答案不唯一)
8. (2012年某某某某9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B 处有人发出求救信号,他立即沿AB 方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C 处入海,径直向B 处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处,再向B 处游去.若CD=40米,B 在C 的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B 处?请说明理由.
(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
【答案】解:由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°。
∵BD
tan BCD CD ∠=,∴BD=CD•tan∠BCD=40×tan55°≈57.2。
∵CD cos BCD BC ∠=,∴CD 40
BC 70.2cos BCD cos55==≈∠︒。
∴()()57.270.2
t 1038.6t 35.12 2
=+===乙甲秒,秒。
∴t t >乙甲。
答:乙先到达B 处。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数定义。
【分析】在Rt△CDB 中,利用三角函数即可求得BC ,BD 的长,则求得甲、乙的时间,比较二者之间的大小即可。