数学建模案例分析土豆施肥量效果分析

复相关系数：
R SR ST 293.33 0.95 328
由此观之，此多项式回归模型的拟合效果显然大大优 于线性回归模型。
注意：至此为止，我们并没有考虑两种肥料（氮和钾）的交叉作用，若要 反映交互作用，则公式中应该出现交叉项 x1 x2 。
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( yi y) 328
2 i
ˆ i y ) 108 .33 ( y
2 i
ˆ i ) 219.67 ( yi y
2 i
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1、线性回归模型
复相关系数：
R SR ST 108.33 0.57 328
显然，模型（1）对所给数据的拟合效果较差，由对数据 的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合 适的。
由公式：
Fj uj S E /(n p 1) ~ F (1, n p 1) ， j 1,2,, p
计算得：
F1 10.11， F2 12.63， F3 0.94 ， F4 37.87 ， F5 4.26
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偏差平方和： ST ( yi y) 328
2 i
ˆ i y) 293.33 回归平方和： S R ( y
2 i
ˆ i ) 34.67 残差平方和： S E ( yi y
2 i
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2、多项式回归模型
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2. 多项式回归模型
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2、多项式回归模型
2 2 模型2： y 0 1 x1 2 x2 3 x1 4 x2
数据矩阵：
1 1 1 1 1 1 1 0 X 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
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数据的中心标准化
首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令
x1
N 260 ， 60
x2
K 370 100
注意：这里 260 和 370 是中位数，60 和 100 是极值差距。 如果说，施肥量 x1 , x 2 与土豆产量 y 有很密切的关系，则应该有：
二. 简化后的题目
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二、简化后的题目
在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆 产量结果见附表，求土豆产量与施肥量之间的关系。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N(kg) 200 200 200 260 260 260 320 320 320 K(kg) 270 370 470 270 370 470 270 370 470 产量Y (t) 48 37 49 44 42 52 49 43 59
回归分析数学建模案例
土豆施肥效果分析（1992年全国数学建模竞赛）
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4、系数的显著性检验
重新考虑
模型4：
2 y 0 1 x1 2 x2 4 x2 5 x1 x2
经过计算得回归方程：
2 ˆ y 40.7 2.83x1 3.16x2 9.5x2 2.25x1 x2
N
产量 (t/ha) 11．02 12．70 施肥量 (kg/ha) 0 47
K
产量 (t/ha) 15．75 16．76
49
73 98 147 11．04 40．09 41．26 42．17 40．36 42．73
56
84 112 168 224 280 336 392
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4、系数的显著性检验
偏差平方和： ST ( yi y) 328
2 i
复相关系数：
R SR ST 309 .2 0.97 328
ˆ i y) 309.2 回归平方和： S R ( y
2 i
ˆ i ) 18.8 残差平方和： S E ( yi y
偏差平方和： ST ( yi y) 328
2 i
ˆ i y) 313.7 回归平方和： S R ( y
2 i
ˆ i ) 14.3 残差平方和： S E ( yi y
2 i
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3、含交叉项的多项式回归模型

经计算得： ˆ ( X X ) 1 X Y (39.67,2.83,3.16,1.5,9.5)
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2、多项式回归模型
故得回归方程：
2 ˆ 39.67 2.83x1 3.16x2 1.5x12 9.5x2 y
4、系数的显著性检验
对显著水平 0.05 ，查表得到临界值 F0.05 (1,3) 10.13。 逐个检查，发现 F j ( j 1,2,3,4,5) 中最小的一个是 F3
F3 0.94 F0.05 (1,3) 10.13
所以首先考虑剔除最不显著的变量 x3 x12 。
18．98 27．35
0 49
6．39 9．48
93
140 186 279
34．86
38．52 38．44 37．73
98
147 196 294
12．46
14．33 17．10 21．94
101
135 202
32．29
34．03 39．45
259
336 404 471
43．15
43．46 40．83 30．75
对显著水平 0.05 ， 查表得到临界值 F0.05 (1,4) 7.71。 逐个检查，发现 F j ( j 1,2,4,5) 中最小的一个是 F5
F5 4.32 F0.05 (1,4) 7.71
因此，在此模型中 x5 x1 x2 项作用最不显著。若要进 一步剔除的话，则可以考虑剔除 x5 x1 x2 这一项。
施肥量与产量关系的实验数据如下：
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土豆施肥量与产量数据表
N
施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha)
K
施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha)
P
产量 (t/ha)
0 34 67
15．18 21．36 25．72
0 47
经计算得： ˆ ( X X ) 1 X Y (47,2.83 ,3.16)
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1、线性回归模型
故得回归方程：
ˆ 47 2.83x1 3.16x2 y
偏差平方和： ST 回归平方和： S R 残差平方和： S E
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y f ( x1 , x2 )
其中 f ( x1 , x2 ) 可能是线性函数，也可能是多项式函数，或者是其他类型的函 数，探求 f ( x1 , x2 ) 的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。
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1. 线性回归模型
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目
录
3.含交叉项的多项式回归模型
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3、含交叉项的多项式回归模型
模型3：
2 y 0 1 x1 2 x2 3 x12 4 x2 5 x1 x2
经过同样的计算可得回归方程：
2 ˆ 39.67 2.83x1 3.16x2 1.5x12 9.5x2 y 2.25x1 x2
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5、进一步的剔除分析
但是，剔除 x5 x1 x2 后，重复前面的步骤，得到的回归方 程的残差 S E 39.1 ，与不剔除 x5 x1 x2 时的残差 S E 18.8 相比， 增加太快。同时也考虑到实际问题中氮和钾的交互作用是客 观存在的，故仍保留 x5 x1 x2 项。最终选定（4）为模型。
372
465 558
38．43
43．87 42．77
391
489 587
22．64
21．34 22．07
651
46．22
685
24．53
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生菜施肥量与产量数据表
P
施肥量 (kg/ha) 0 24 产量 (t/ha) 33．46 32．47 施肥量 (kg/ha) 0 28
1、线性回归模型
模型1：
y 0 1 x1 2 x2
数据矩阵和向量：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Y (48,37,49,44,42,52,49,43,59)
2 i
结论：虽然模型（ 4 ）的复相关系数比模型（ 3 ）的稍 微小一点（仅小0.01），但0.97已经足够大，可以认为拟合 效果很好。
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5、进一步的剔除分析
再作系数的显著性检验：
F1 10.25， F2 12.8 ， F4 38.4 ， F5 4.32
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目
录
一. 原题简介
二. 简化后的题目 1. 线性回归模型 2. 多项式回归模型 3. 含交叉项的多项式回归模型
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一. 原题简介
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一、原
题
某研究所为了研究 N、P、K 三种肥料对于土豆和生菜的作用， 分别对每种作物进行了三组实验， 实验中将每种肥料的施用量分为 10 个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将 另二种肥料固定在第 7 个水平上，实验数据如下列表格所示，其中 ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示千克，试建立反映施肥量与产量关 系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价．
14．56
16．27 17．75 22．59 21．63 19．34 16．12 14．11
93
140 186 279 372 465 558 651
16．89
16．24 17．56 19．20 17．97 15．84 20．11 19．40
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复相关系数：
R SR ST 313 .7 0.98 328
从而复相关系数 R 更大，所以拟合效果得到进一步改善。
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4、系数的显著性检验
现在对模型（3）中的系数做一次显著性检验，各系数 的偏回归平方和为：
u1 48.2 ， u 2 60.2 ， u3 4.5 ， u 4 180.5 ， u5 20.3