安徽六校教育研究会2018届高三第一次联考试题数学(理科)参考答案

x2 2 1 y 1 ( k12 ) x 2 2k1mx m 2 1 0 ， 4 4 y k x m 1
因为直线 AB 与椭圆相切，所以 4k12 1 m 2 0 ，所以 | m | 4k12 1 ，同理 | n | 4k2 2 1 ， 所以 S 4 4k12 1 4k 2 2 1 1 k12 1 k2 2 4 16k12 k2 2 4(k12 k2 2 ) 1 k12 k2 2 (k12 k2 2 ) 1 4 17 4(k12 k2 2 ) 2 (k12 k2 2 )
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所以 Tn b1 b2 bn 16n 2 16n 1 1 1 1 1 1 1 ．…12 分 4 2 2 4 2 2 4 4 1 2 2 2 2 (2 n 1) (2 n 1) (2 n 1) 4 n 4 n 1 1 3 3 5
1 1 1 18.解： （1）当 n 1 时， 2S1 (a1 )2 ，即 2a1 (a1 )2 ，解得 a1 ， 2 2 2 1 1 2S n (an )2 2S n an 2 an ……………………① 2 4 1 2S n 1 an 12 an 1 ……………………② 4 2 2 ①-②： 2an an an 1 an an 1 ，所以 an 2 an 12 an an 1 0 ，即 (an an 1 )(an an 1 1) 0 ， 因为 {an } 是正项数列，所以 an an 1 1 0 ，即 an an 1 1 ，其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n 2 ， 1 1 1 所以 {an } 是以 为首相，1 为公差的等差数列，所以 an (n 1) 1 n ．……………6 分 2 2 2 1 1 （2）因为 an n ，所以 an 1 n ， 2 2 1 2 1 (n ) (n ) 2 2n 1 1 1 1 2 2 所以 bn ， 4 2 2 1 1 1 1 1 1 (2n 1) (2n 1) (n )2 (n )2 (n ) 2 (n )2 (n ) 2 (n ) 2 2 2 2 2 2 2
12 ，所以 n 48 ．…………………………………………………………6 分 n 5 （2）由（1）可得，一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 P p3 (0.037 0.013) 5 ， 8
又因为 p2 0.25
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由题意知 X 服从二项分布， k 5 k 3 2 k P ( x k ) C2 ( ) ( ) (k 0,1, 2) ， 8 8 所以随机变量 X 的分布列为
1 3 BD 3 ， AD CD BC PA PD 1 ， 所 以 A(1, 0, 0) ， B (0, 3, 0) ， C ( , , 0) ， 2 2 1 3 P( , 0, ) ， 2 2 1 3 所以 PA ( , 0, ) ， AB (1, 3, 0) ．设平面 PAB 的法向量 n ( x, y , z ) ，则 2 2 1 3 z0 PA n 0 x ，令 x 3 ，则 y 1 ， z 1 ，所以 n ( 3,1,1) ． 2 2 x 3 y 0 AB n 0 65 同理可得平面 PBC 的法向量 m ( 3,1,3) ，所以 cos m, n ， 65 65 所以二面角 A PB C 大小的余弦值为 ．…………………………………………12 分 65
X P
0 9 64
1 30 64
2 25 64
5 5 E ( X ) np 2 ． …………………………………………………………………………12 分 8 4
21．解： （1）依题 | PM || PF | ， 所以 | PE | | PF || PE | | PM || ME | 4 （为定值） ， | EF | 2 3 ， 4 2 3 所以点 P 的轨迹是以 E ， F 为焦点的椭圆，其中 2a 4 ， 2c 2 3 ， x2 所以 P 点轨迹 C 的方程是 y 2 1 ．…………………………………………………………4 分 4 （2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得 S 8 ； ②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为 0， 设 AB 的方程为 y k1 x m ， BC 的方程为 y k 2 x n ，则 CD 的方程为 y k1 x m ， AD 的方 程为 y k 2 x n ，其中 k1 k2 1 ， | m ( m) | 2|m| 直线 AB 与 CD 间的距离为 d1 ， 1 k12 1 k12 | n ( n) | 2|n| 同理直线 BC 与 AD 间的距离为 d 2 ， 1 k22 1 k2 2 2| m| 2|n| 所以 S d1 d 2 ……（*） 2 1 k1 1 k2 2
安徽教育研究会 2018 届高三数学（理科）参考答案
一．选择题 1-5 B AC AA 6-10 DBCDD 11-12 BC
二．填空题 13． x R ，使得 x 2 2 x 4 0 2 14． 3 15． 15 5 1 16． y x 2 三．解答题 17.解： （1）由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A ，即 3 b 2 c 2 bc ，所以 b 2 c 2 3 bc ， 因为 b 2 c 2 2bc ，所以 3 bc 2bc ，即 bc 3 （当且仅当 b c 时，等号成立） ， 1 3 3 3 3 3 所以 S ABC bc sin A bc ，故 ABC 面积的最大值为 ．……………………5 分 2 4 4 4 c 1 3 a c （2）由正弦定理得， ，所以 sin C sin A sin ， sin A sin C a 2 3 4 13 1 所以 cos C ，又因为 c a ，所以 c a ，所以 C A ，故 C 为锐角， 4 2 13 所以 cos C ， 4 所以 sin B sin[ ( A C )] sin( A C ) sin( C ) 3 3 13 1 3 39 3 sin cos C cos sin C ．………………………………10 分 3 3 2 4 2 4 8
z
19．解： （1）如图取 AB 的中点 E ，连接 DE ，依题 DC // EB ，

P
所以四边形 BCDE 是平行四边形， 所以 DE BC ．因为 E 是 AB 中点， 1 C 所以 AE AB ，故 AE AD DE ， D 2 所以 ADE 为等边三角形，所以 AED 60 ， A B 因为 AB ∥ CD ，所以 EDC 60 ． BC CD ， E y x 所以平行四边形 BCDE 为菱形， 1 所以 EDB EDC 30 ，所以 ADB 90 ，即 BD AD ，又已知 PA BD ，所以 BD 2 平面 PAD ， BD 平面 ABCD ，所以平面 PAD 平面 ABCD ．……………………………6 分 （2）由（1）知， BD 平面 PAD ，平面 PAD 平面 ABCD ，所以如图，以 DA 为 x 轴， DB 为 y 轴，过 D 点与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标 D xyz ．设 AB 2 ，则
4
9 2 (k k 2 )
2 1 2
4 4
9 2 (k12 1 ) k12
4 ，
k12
1 2 （当且仅当 k1 1 时，不等式取等号） ， k12
9 4 ，即 8 S 10 ， 22 由①②可知，8 S 10 ．………………………………………………………………………12 分
20．解： （1）设报考飞行员的人数为 n ，前 3 个小组的频率分别为 p1 ， p2 ， p3 ，则由条件可 得：
p2 2 p1 p3 3 p1 p p p (0.037 0.013) 5 1 2 3 1
解得 p1 0.125 ， p2 0.25 ， p3 0.375 ，
所以 4 4 S 4
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22．解： （1）易知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ) ， 1 1 1 1 x 1 f '( x) e x (ln x ) ，设 h( x) ln x ，则 h '( x ) 2 2 ， x x x x x 当 0 x 1 时， h '( x ) 0 ，当 x 1 时， h '( x ) 0 ，所以 h( x) min h(1) 1 0 ， 故 f '( x) 0 ，所以 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增．………………………………………………4 分 （2）依题 e x ln x a( x 1) 在 (1, ) 上恒成立， 设 g ( x ) e x ln x a ( x 1) （ x 1 ） ，则 g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立， 1 g (1) 0 ， g '( x) e x (ln x ) a ， x 欲使 g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立，则 g '(1) 0 ，得 a e ， 1 1 反之，当 a e 时， g '( x) e x (ln x ) a e x (ln x ) e ， x x 1 2 1 设 r ( x) e x (ln x ) e （ x 1 ） ，则 r '( x ) e x (ln x 2 ) ， x x x 1 2 2 x 2 2 x 2 ( x 1) 2 1 2 1 设 ( x ) ln x 2 （ x 1 ） ，则 '( x) 2 3 0， x x x x x x3 x3 所以 ( x ) 在 (1, ) 上单调递增，所以 ( x ) (1) 1 0 ， 所以 r '( x ) 0 ，所以 r ( x) 在 (1, ) 上单调递增，所以 r ( x) r (1) 0 ， 故 g '( x) 0 ，所以 g ( x) 在 (1, ) 上单调递增， 又 g (1) 0 ，所以 g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立， 综上所述， g ( x) 0 在 (1, ) 上恒成立 a e ， 所以 a 的取值范围是 (, e] ．…………………………………………………………………12 分