组合数学(引论)
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也就是：机智+精巧。
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
答案：有1万种选法。
2. 奇偶性
第 12 页
结束
2. 奇偶性
在某些情况下，利用计数问题的奇偶性， 很容易得到结论。
例如，若某事件的发生总是奇数，那么就能够 断定该事件至少会发生一次 (存在性确定)。
当然，也可以用奇偶性来证明某些对象是根本 不可能存在的。例如图论中的七桥问题。
例. 构造5阶幻方。 11 19 7 15 3
23 6 14 2 10
5 18 1 9 22
17 25 13 21 4
24 12 20 8 16
第 23 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
3）折角法
……
4.四色问题
第 24 页
结束
4. 四色问题
4. 四色问题
5.欧拉回路问题
第 25 页
结束
5. 欧拉回路问题
n>2时幻方存在！ 当n为奇数时，幻方很容易构造！
下面介绍几种n为奇数时的构造方法。
第 19 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
1）德拉鲁布方法
将1置于顶行中间，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正下方。
第 20 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
第7页
结束
组合数学历史与发展
第8页
结束
组合数学与计算机科学
吴文俊院士： 每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新
的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的 分支也是在时代的要求下产生的。
信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变 革，而组合数学则将显示出它的重要作用。
Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁：
第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.4 棋盘多项式与有限制条件的排列 3.5 有禁区的排列 3.6 广义的容斥原理 3.7 广义容斥原理的应用 3.8 第二类Stir1ing数的展开式 3.9 欧拉函数 3.10 n对夫妻问题 3.11 Mobius反演定理 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 鸽巢原理的推广 3.15 Ramsey数
5.欧拉回路问题
6.最短路径问题
第 26 页
结束
6. 最短路径问题
6. 最短路径问题
7.纠错编码问题
第 27 页
结束
7. 纠错编码问题
7. 纠错编码问题
结束
第 28 页
结束
第1章 排列与组合
1.1 加法法则与乘法法则 1.2 一一对应 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例
组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定 能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突 破点就是发展组合数学。
二、学习方法
第9页
结束
二、学习方法
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。最 主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的转 换。但是，要学好组合数学并非易事，既需要一 定的数学修养，也要进行相当的训练。
直观计算 另一方法
淘第汰六人轮数： 2一场一对比应赛 比赛场数 最后一轮：1 场比赛 因总为计要：淘汰101000场个人， 所以要进行100场比赛！
第 11 页
结束
例2. 从10个人中选出一个总统、一个副总统、一个 财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？
解答： 用数字0~9代表10个人。然后将选中的号码 放在下表中的职位下面。
第2章 递推关系与母函数
2.1 递推关系 2.2 母函数 2.3 Fibonacci序列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于线性常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 Ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充
1）德拉鲁布方法
将1置于顶行中间，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正下方。
例. 构造5阶幻方。 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
第 21 页
更直观的问题： 1. 四个人围绕圆桌就坐，有多少种坐法？ 2. 五个人分十七元钱，有多少种分法？ 3. 用3种颜色涂立方体的六个面，每个面涂一种
颜色，有多少种涂法？ 4. 从10个人中选出一个总统、一个副总统、一个
财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？
第5页
结束
组合数学分类
计数是组合分析中的中心问题。 计数——有多少个对象符合给定的描 述，或者说有多少种方式使确定的事件 发生。
1. 棋1.盘的覆盖
2.切割立方体
第 16 页
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2. 切割立方体
2. 切割立方体
一个边长为3的立方体，要切割成27个边长为1 的小立方体，问至少要切割几次？
？
？
3.幻方
第 17 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
n阶幻方 —— 把数1~n2排列成n阶方阵，使得行、
列、对角线的和均相同。
例. 三 阶
四阶
三、典型问题举例 第 13 页
结束
三、典型问题举例 (7个)
下面列举一些组合数学中很经典的问题 和它们的解法。可以看到，一些解题方法非 常巧妙, 而其常用的一个技术就是运用“一 一对应”，很能启发人。
1.棋盘的覆盖
第 14 页
结束
1. 棋盘的覆盖
1. 棋盘的覆盖
第 15 页
结束
1. 棋盘的覆盖
习题：1.2~1.5, 1.13, 1.14, 1.16, 1.18~1.20, 1.22, 1.25, 1.27, 1.28, 1.32, 1.34, 1.35, 1.44~1.48, 1.51, 1.53, 1.56
第 29 页
结束
492 3 57 816
1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16
相同数易解。 设相同数为s, 1 ~n2之和为s’ ，则：
s’=
s=s’/n=n(n2+1)/2
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结束
3. 幻方
3. 幻方
问题：
1. n取哪些值幻方存在？ 2. 对给定的n，有多少种不同的n阶幻方？ 3. 如何构造幻方？
组合数学
（ 引论 ）
第1页
结束
教材：
第2页
结束
目录
第1章 排列与组合 第2章 递推关系与母函数 第3章 容斥原理与鸽巢原理 第4章 Burnside引理与Polya定理 第5章 区组设计 第6章 线性规划 第7章 编码简介 第8章 组合算法简介
第3页
结束
目录 .
第1章 排列与组合
1.1 加法法则与乘法法则 1.2 一一对应 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.5 排列的生成算法 1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例 1.9 Stir1ing公式
例如：四个人围绕圆桌就坐的方法有多少种？
排列与组合，母函数与递推关系， 容斥原理和鸽巢原理，Pólya定理，…
第6页
结束
组合数学历史与发展
神龟背上的幻方
492
<=> 3 5 7
816
行、列、对角线的和均为15
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
答案：有1万种选法。
2. 奇偶性
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2. 奇偶性
在某些情况下，利用计数问题的奇偶性， 很容易得到结论。
例如，若某事件的发生总是奇数，那么就能够 断定该事件至少会发生一次 (存在性确定)。
当然，也可以用奇偶性来证明某些对象是根本 不可能存在的。例如图论中的七桥问题。
例. 构造5阶幻方。 11 19 7 15 3
23 6 14 2 10
5 18 1 9 22
17 25 13 21 4
24 12 20 8 16
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3. 幻方
3. 幻方
3）折角法
……
4.四色问题
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4. 四色问题
4. 四色问题
5.欧拉回路问题
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5. 欧拉回路问题
n>2时幻方存在！ 当n为奇数时，幻方很容易构造！
下面介绍几种n为奇数时的构造方法。
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3. 幻方
3. 幻方
1）德拉鲁布方法
将1置于顶行中间，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正下方。
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3. 幻方
3. 幻方
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组合数学历史与发展
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组合数学与计算机科学
吴文俊院士： 每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新
的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的 分支也是在时代的要求下产生的。
信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变 革，而组合数学则将显示出它的重要作用。
Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁：
第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.4 棋盘多项式与有限制条件的排列 3.5 有禁区的排列 3.6 广义的容斥原理 3.7 广义容斥原理的应用 3.8 第二类Stir1ing数的展开式 3.9 欧拉函数 3.10 n对夫妻问题 3.11 Mobius反演定理 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 鸽巢原理的推广 3.15 Ramsey数
5.欧拉回路问题
6.最短路径问题
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6. 最短路径问题
6. 最短路径问题
7.纠错编码问题
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7. 纠错编码问题
7. 纠错编码问题
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第1章 排列与组合
1.1 加法法则与乘法法则 1.2 一一对应 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例
组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定 能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突 破点就是发展组合数学。
二、学习方法
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二、学习方法
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。最 主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的转 换。但是，要学好组合数学并非易事，既需要一 定的数学修养，也要进行相当的训练。
直观计算 另一方法
淘第汰六人轮数： 2一场一对比应赛 比赛场数 最后一轮：1 场比赛 因总为计要：淘汰101000场个人， 所以要进行100场比赛！
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例2. 从10个人中选出一个总统、一个副总统、一个 财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？
解答： 用数字0~9代表10个人。然后将选中的号码 放在下表中的职位下面。
第2章 递推关系与母函数
2.1 递推关系 2.2 母函数 2.3 Fibonacci序列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于线性常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 Ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充
1）德拉鲁布方法
将1置于顶行中间，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正下方。
例. 构造5阶幻方。 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
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更直观的问题： 1. 四个人围绕圆桌就坐，有多少种坐法？ 2. 五个人分十七元钱，有多少种分法？ 3. 用3种颜色涂立方体的六个面，每个面涂一种
颜色，有多少种涂法？ 4. 从10个人中选出一个总统、一个副总统、一个
财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？
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组合数学分类
计数是组合分析中的中心问题。 计数——有多少个对象符合给定的描 述，或者说有多少种方式使确定的事件 发生。
1. 棋1.盘的覆盖
2.切割立方体
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2. 切割立方体
2. 切割立方体
一个边长为3的立方体，要切割成27个边长为1 的小立方体，问至少要切割几次？
？
？
3.幻方
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3. 幻方
3. 幻方
n阶幻方 —— 把数1~n2排列成n阶方阵，使得行、
列、对角线的和均相同。
例. 三 阶
四阶
三、典型问题举例 第 13 页
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三、典型问题举例 (7个)
下面列举一些组合数学中很经典的问题 和它们的解法。可以看到，一些解题方法非 常巧妙, 而其常用的一个技术就是运用“一 一对应”，很能启发人。
1.棋盘的覆盖
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1. 棋盘的覆盖
1. 棋盘的覆盖
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1. 棋盘的覆盖
习题：1.2~1.5, 1.13, 1.14, 1.16, 1.18~1.20, 1.22, 1.25, 1.27, 1.28, 1.32, 1.34, 1.35, 1.44~1.48, 1.51, 1.53, 1.56
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492 3 57 816
1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16
相同数易解。 设相同数为s, 1 ~n2之和为s’ ，则：
s’=
s=s’/n=n(n2+1)/2
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3. 幻方
3. 幻方
问题：
1. n取哪些值幻方存在？ 2. 对给定的n，有多少种不同的n阶幻方？ 3. 如何构造幻方？
组合数学
（ 引论 ）
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教材：
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目录
第1章 排列与组合 第2章 递推关系与母函数 第3章 容斥原理与鸽巢原理 第4章 Burnside引理与Polya定理 第5章 区组设计 第6章 线性规划 第7章 编码简介 第8章 组合算法简介
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目录 .
第1章 排列与组合
1.1 加法法则与乘法法则 1.2 一一对应 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.5 排列的生成算法 1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例 1.9 Stir1ing公式
例如：四个人围绕圆桌就坐的方法有多少种？
排列与组合，母函数与递推关系， 容斥原理和鸽巢原理，Pólya定理，…
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组合数学历史与发展
神龟背上的幻方
492
<=> 3 5 7
816
行、列、对角线的和均为15