2020学年高中数学第3章推理与证明11.1归纳推理学案北师大版选修1-2(2021-2022学年)
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1。
1 归纳推理
1.归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,这种推理方式称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理. 思考:由归纳推理得到的结论一定是正确的吗?
[提示] 不一定正确.因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,其结论还需要证明其正确性.
1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ) ①归纳推理是由一般到一般的推理过程; ②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理;
③归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确; ④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能. A.①② B.②③ C.①③
D .③④
A [归纳推理是由特殊到一般的推理,故①②不正确,易知③④均正确,故选A 。
] 2.若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ) A .至多等于3
B .至多等于4
ﻬC .等于5
ﻩ D.大于5
B [n =2时,可以;n =3时,为正三角形,可以;n =4时,为正四面体,可以;n =5时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与边长相等,不可能.]
3.由集合{a 1},{a1,a 2},{a 1,a2,a 3}
,……
的子集个数归纳出集合{a1,a 2,a 3,…,a n}的子集个数为________.
2n
[集合{a 1}有两个子集∅和{a1},集合{a 1,a 2}的子集有∅,{a 1},{a 2},{a 1,a 2}共4个子
集,集合{a1,a2,a3}有8个子集,由此可归纳出集合{a1,a2,a3,…,a n}的子集个数为2n个.]
数式中的归纳推理
【例1】(1)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()
A.28ﻩB.76
C.123
D.199
(2)已知f(x)=错误!未定义书签。
,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(f n-1(x))(n〉1,且n∈N
+),则f3(x)的表达式为______________,
猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为________.
思路点拨:(1)记an+b n=f(n),观察f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)之间的关系,再归纳得出结
论.
(2)写出前几项发现规律,归纳猜想结果.
(1)C(2)f3(x)=\f(x,1-4x)fn(x)=错误!未定义书签。
[(1)记an+b n=f(n),
则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11。
通过
观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N+,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=
f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f
(9)=123.
ﻬ所以a10+b10=123.
(2)f1(x)=f(x)=错误!,
f2(x)=f1(f1(x))=错误!未定义书签。
=错误!,
f3(x)=f2(f2(x))=错误!未定义书签。
=\f(x,1-4x),
由f1(x),f2(x),f3(x)的表达式,归纳f n(x)=错误!未定义书签。
.]
已知等式或不等式进行归纳推理的方法
1.要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.
2.要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.
3.提炼出等式(或不等式)的综合特点.
4.运用归纳推理得出一般结论.
1.经计算发现下列不等式:\r(2)+18〈2错误!,错误!未定义书签。
+错误!未定义书
签。
<2\r(10),错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
<2错误!未定义书签。
,……根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b都成立的条件不等式:________。
当a+b=20时,有a+错误!未定义书签。
〈2错误!未定义书签。
,a,b∈R+[从上面几个不等式可知,左边被开方数的和均为20,故可以归纳为a+b=20时,错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
<2错误!。
]
数列中的归纳推理
【例2】 (1)在数列{a n}中,a1=1,a n+1=-错误!未定义书签。
,则a2019等于()
A.2 B.-错误!
C.-2ﻩD.1
(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图:
ﻬ由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形,故被称为三角形数,试结合组成三角形数的特点,归纳第n个三角形数的石子个数.
思路点拨:(1)写出数列的前几项,再利用数列的周期性解答.
(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律,如1=1,3=1+2,6=1+2+3;也可以直接分析三角形数与n的对应关系,进而归纳出第n个三角形数.
(1)C [a1=1,a2=-错误!未定义书签。
,a3=-2,a4=1,…,数列{an}是周期为3的数列,2019=673×3,∴a2 019=a3=-2。
]
(2)[解]法一:由
1=1,
3=1+2,
6=1+2+3,
10=1+2+3+4,
可归纳出第n个三角形数为1+2+3+…+n=错误!。
法二:观察项数与对应项的关系特点如下:
分析:
归纳:第n个三角形数的石子数应为错误!未定义书签。
数列中的归纳推理
在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和;
(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解;
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前几项和公式.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2a n+1(n=1,2,3,…).
(1)求a2,a3,a4,a5;
ﻬ(2)归纳猜想通项公式a n.
[解](1)当n=1时,知a1=1,
由an+1=2a n+1,
得a2=3,
a3=7,a4=15,a5=31。
(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,
a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,
可归纳猜想出an=2n-1(n∈N+).
几何图形中的归纳推理
[探究问题]
1.某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,试求
f(1),f(2),f(3),f(4)的值.
[提示]观察图形可知,f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20。
2.上述问题中,试用n表示出f(n)的表达式.
[提示]由题意可得:下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数,即f(2)=f(1)+3;f(3)=f(2)+6;f(4)=f(3)+10;…;f(n)=f(n-1)+错误!。
将以上(n-1)个式子相加可得
f(n)=f(1)+3+6+10+…+错误!
=错误![(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=\f(1,2)错误!未定义书签。
=错误!。
ﻬ【例3】有两种花色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()
A.26ﻩB.31
C.32 ﻩ D.36
思路探究:解答本题可先通过观察、分析找到规律,再利用归纳得到结论.
B[法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:
以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.
法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形),故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:6+5×(6-1)=31.]
在题干不变的条件下,第6个图案中周围的边有多少条?
[解]各个图形周围的边的条数如下表:
边的条数为18+8×(6-1)=58条.
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展现数字之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:
3.根据图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为________.
509 [分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想.图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29,因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.]
1.归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质,所以“前提真而结论假"的情况是有可能发生的,结论是否正确,需要经过理论证明或实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.(2)一般地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.(3)归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
2.归纳推理的思维过程大致是:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤:
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
1.判断正误
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.()
(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.( )
(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.( )
[答案](1)√(2)√(3)×
2.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A.6n-2ﻩ B.8n-2
C.6n+2 ﻩ D.8n+2
C[a1=8,a2=14,a3=20,猜想a n=6n+2。
]
3.已知12=\f(1,6)×1×2×3,12+22=错误!×2×3×5,12+22+32=错误!×3×4×7,12+22+34+42=错误!未定义书签。
×4×5×9,则12+22+…+n2=________.(其中n∈N*).
\f(1,6)n(n+1)(2n+1)[根据题意归纳出12+22+…+n2=错误!n(n+1)(2n+1),下面给出证明:(k+1)3-k3=3k2+3k+1,则23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,……,(n+1)3-n3=3n2+3n+1,累加得(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n,整理得12+22+…
+n2=错误!未定义书签。
n(n+1)(2n+1).]
4.有以下三个不等式:
(12+42)(92+52)≥(1×9+4×5)2,
(62+82)(22+122)≥(6×2+8×12)2,
(202+102)(1022+72)≥(20×102+10×7)2。
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论.
ﻬ[解]结论为:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
证明:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2c2+b2d2+2abcd)
=a2d2+b2c2-2abcd=(ad-bc)2≥0。
所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
ﻬ。