山西省大同市第一中学2019届高三8月开学检测数学(文)试题(解析版)

山西省大同市第一中学2019届高三8月开学检测数学（文）
试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，所在的象限为第一象限．
故选：A．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.设全集，集合，集合，则等
于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：全集，集合，
集合，
，
故选：A．
先化简集合A、B，求出A在U中的补集，再计算．
本题考查集合的化简与运算问题，是基础题目．
3.函数的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数由，故D正确．
故选：D．
直接利用正弦函数的周期公式，求出它的最小正周期即可．
本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．
4.在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图所示，
等腰梯形ABCD中，
，，；
又M为BC的中点，
，
又，
；
；
．
故选：B．
根据平面向量的线性运算与几何意义，表示出，且；两式相加求出的值．
本题考查了平面向量的线性运算与几何意义的应用问题，是基础题目．
5.已知函数，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数，且，
当时，，无解；
当时，，解得，
．
故选：A．
利用分段函数性质求解．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
6.已知p：，，q：，，若为假命题，
则实数m的取值范围为
A. B.
C. 或
D.
【答案】A
【解析】解：由p：，，可得，
由q：，，可得，解得
因为pVq为假命题，所以p与q都是假命题
若p是假命题，则有；若q是假命题，则有或
故符合条件的实数m的取值范围为
故选：A．
由题意，可先解出两命题都是真命题时的参数m的取值范围，再由pVq为假命题，得出两命题都是假命题，求出两命题都是假命题的参数m的取值范围，它们的公共部分就是所求
本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是准确理解复合命题的真假判断规则，
7.已知命题p：，命题q：x，y不都是，则p是q的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：￢：，￢：x，y都是，
则当x，y都是时，满足，
反之当，时，满足，但x，y都是不成立，
即￢是￢充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知p是q的充分不必要条件，故选：A．
根据逆否命题的等价性先判断￢是￢充分不必要条件即可得到结论
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性先判断￢是￢充分不必要条件是解决本题的关键．
8.设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，则
的值为
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】解：对求导得，
令得在点处的切线的斜率，在点
处的切线方程为，
不妨设，
则，
故选：B．
欲判的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题．
9.已知数列对任意的有成立，若，则等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
，
，
，
，
，
两边同时相加得，
则，
故选：A．
利用累加法以及裂项法即可得到结论．
本题主要考查数列递推公式的应用，利用累加法是解决本题的关键．
10.在等差数列中，其前n项的和为，，，则
A. 2018
B.
C. 2017
D.
【答案】B
【解析】解：设等差数列的公差为d，
由题意可得：数列为等差数列，，其公差为．
由，
，解得．
则．
故选：B．
设等差数列的公差为d，由题意可得：数列为等差数列，，其公差为由，解得d，再利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若
，其中x，，则的最大值是
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】解：如图，以O为坐标原点，直线OA为x
轴，建立平面直角坐标系，则：
，，设 ，，
；
；
；
；
；
；
；
，即 时取最大值2．
故选：B．
首先以O为原点，向量的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，并设 ，从而可写出A，B，C三点的坐标，从而根据条件便可得到
，这样便可得到，根据两角和的正弦
公式即可得到，根据 的范围即可得出的最大值．
考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数乘和加法运算，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最大值．
12.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，
则的零点个数是
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】D
【解析】解：R上的偶函数满足，
函数为周期为4的周期函数，
根据周期性画出函数的图象，的图象
根据在上单调递增函数，当时，
当时此时与函数无交点，
结合图象可知有10个交点，
则函数的零点个数为10，
故选：D．
先根据函数的周期性画出函数的图象，以及的图象，结合图象当
时，此时与函数无交点，即可判定函数函数的零点个数
本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数性质，作出其图象，将函数的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮
点，此一转化使得本题的求解变得较容易．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量，夹角为，且，，则______．
【答案】
【解析】解：向量，夹角为，且，．
，
化为，
化为，
，
解得．
故答案为：．
利用数量积的性质即可得出．
本题考查了数量积的性质，属于基础题．
14.已知“命题p：”是“命题q：”成立的必要不充分
条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方法先求出命题p，q成立的等价条件，利用p是q成立的必要不充分条件，建立不等关系，即可求实数m的取值范围．
【解答】
解：由：，解得，即或．所以p：或．
由，解得，即q：．
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以，不成立．
即满足或，解得
或．
所以实数m的取值范围为：．
故答案为：．
15.在正项等比数列中，，，则满足
的最大正整数n的值为______．
【答案】12
【解析】解：设正项等比数列首项为，公比为q，
由题意可得，解之可得：，，
故其通项公式为．
记，
．
由题意可得，即，
化简得：，即，
因此只须，，即，
解得，
由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．
故答案为：12
设正项等比数列首项为，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和及的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．
本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．
16.设点P在曲线上，点Q在曲线上，则最小值为______．【答案】
【解析】解：函数与函数互为反函数，图象关于対称，最小值为为函数上的点P到直线最小距离的2倍，
设，
则P到直线的距离，
恒成立，
设ℎ，
则ℎ，由ℎ得，可得，此时函数递增，
由ℎ得，可得，此时函数递减，
即当时，函数ℎ取得极小值，同时也是最小值ℎ，则d的最小值为，
则的最小值为，
故答案为：
根据函数与函数互为反函数，图象关于対称，则最小值为为函数上的点P到直线最小距离的2倍，利用点到直线的距离进行求解即
可．
本题主要考查函数最值的求解，结合互为反函数的对称性，转化为求点到直线的距离，结合导数与最值的关系是解决本题的关键综合性强，考查学生的运算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设p：实数x满足，q：实数x满足．
若，且为真，求实数x的取值范围；
若且￢是￢的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】解：由得
当时，，即p为真时实数x的取值范围是．
由，得，得
即q为真时实数x的取值范围是，
若为真，则p真且q真，
实数x的取值范围是．
由得，
若￢是￢的充分不必要条件，
则￢￢，且￢￢，
设￢，￢，则，
又￢或，
￢或，
则，且
实数a的取值范围是．
【解析】若，根据为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；
根据￢是￢的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．
18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求的值；
若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求的值．
【答案】解：，由正弦定理可得：，
又，
解得：．
，b，c成等差数列，且公差大于0，可得：，
由正弦定理以及第1问得：，
设，
，得，
又，，
所以，
故．
代入 式得．
因此．
【解析】由已知及正弦定理可得，进而可求的值．
由等差数列的性质可得：，结合及正弦定理得，设，可求，利用同角三角函数基本关系式求得
，进而计算得解．
本题主要考查了正弦定理，等差数列的性质，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.已知数列是正项数列，是等差数列，，，成等比数列，且，
．
求数列的通项公式；
设数列的前n项和为，证明．
【答案】解由，，成等比数列，得．
设的公差为d，
，，
，
，
解得：或．
或
由得：，
．
【解析】由，，成等比数列，得由已知得出，，解出，d；写出通项公式
由得：，求出并将其裂成，求出前n项和为，
即证明．
本题考查等差数列、等比数列通项公式的求法；考查数列求和的方法；错位相减及裂项求和是常考的求和方法．
20.已知，
Ⅰ最小正周期及对称轴方程；
Ⅱ已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值．
【答案】解：Ⅰ
，
，
令，即，
函数的对称轴方程为，
Ⅱ，
，即，
，
，
，
．
设BC边上的高为h，
则ℎ，即ℎ，ℎ，
，
，
，当且仅当时，等号成立．
，，此时，
，
，等号能成立．
此时ℎ．
ℎ的最大值为．
【解析】Ⅰ利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T，及对称轴．
Ⅱ利用三角形面积公式得到h和bc的关系式，进而利用余弦定理得到b和c的关系式，利用基本不等式的性质求得bc的最大值，进而求得h的最大值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，三角函数恒等变换的应用考查了基础的知识的综合运用．
21.设函数．
若，求的极值；
若在定义域上单调递增，求实数a的取值范围
【答案】解：定义域为，
当时，且．
令ℎ，则ℎ，
故ℎ在定义域上是减函数，注意到ℎ，
当时，ℎℎ，此时0'/>；
当时，ℎℎ，此时．
的极大值为，无极小值．
当时，，故，
令，，
由0'/>得，
由得，
故的最大值为，
，．
【解析】求出函数的定义域，代入a的值，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
求出函数的导数，问题转化为，令，求出函数的导数，根据
函数的单调性求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
22.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，
，点在函数的图象上，其中n为正整数．证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
设中“平方递推数列”的前n项之积为，即
，求数列的通项及关于n的表达式；
记，求数列的前n项和，并求使的n的最小值．【答案】证明：，，数列是“平方递推数列”．
由以上结论，
数列为首项是，公比为2的等比数列．
解：，
，．
5，
．
解：，
．
012， 012．
．
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【解析】由，，能证明数列是“平方递推数列”，由此能求出数列为首项是，公比为2的等比数列．
由已知得，由此能求出．
由，得由此能求出使
的n的最小值．
本题考查数列是“平方递推数列”，且为等比数列的证明，考查数列的通项及关于n的表达式的求法，考查使的n的最小值的求法，解题时要注意对数性质的合理运用．
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