江苏省镇江市第一学期八年级数学期末试卷(含解析)

江苏省镇江市第一学期八年级数学期末试卷（含解析） 一、选择题 1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A ．2-与2
B ．2-与38-
C ．2-与12-
D ．2-与()22- 2．下列四个实数：
223,0.1010017π，3,，其中无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．下列四组线段a ，b ，c ，能组成直角三角形的是（ ）
A ．1a =，2b =，3c =
B ．1a =，2b =，3c =
C ．2a =，3b =，4c =
D ．4a =，5b =，6c = 5．分式
221x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．﹣2 D ．12
6．下列图形中的五边形ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．当12(1)a -+与13(2)a --的值相等时，则（ ）
A ．5a =-
B ．6a =-
C ．7a =-
D ．8a =- 8．已知一次函数y=kx+b ，函数值y 随自变置x 的增大而减小，且kb ＜0，则函数y=kx+b
的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
9．在下列各数中，无理数有（ ）
33224,3,
8,9,07π A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
二、填空题
11．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y 的方程组11
22
y k x b
y k x b
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P(﹣1
，a)在直线y＝2x+2与直线y＝2x+4之间，则a 的取值范围是_____．
13．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点
D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN.连接FN，并求FN的长__________．
14．若正实数,m n满足等式222
(1)(1)(1)
m n m n
+-=-+-，则m n⋅=__________．
15．如图，点P 为∠AOB 内任一点，E ，F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点．若∠AOB ＝30°，则∠E ＋∠F ＝_____°．
16．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点F ，过F 作//DE BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E .若3,5BD DE ==，则线段EC 的长为______．
17．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是_____．
18．若点P （3m ﹣1，2+m ）关于原点的对称点P ′在第四象限的取值范围是_____．
19．若一次函数y x a =-+与y x b =+的图像的交点坐标(,1010)m ，则
a b +=__________．
20．若分式2223
x x -+的值为零，则x 的值等于___． 三、解答题
21．已知：如图，点B ，D 在线段AE 上，AD=BE ，AC ∥EF ，∠C=∠H.求证：BC=DH.
22．如图，等边三角形ABC 的边长为8，点E 是边BC 上一动点(不与点,B C 重合)，以BE 为边在BC 的下方作等边三角形BDE ，连接,AE CD .
（1）在运动的过程中，AE与CD有何数量关系?请说明理由.
（2）当BE=4时，求BDC
∠的度数.
23．某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型价格进价/（元/
盏）
售价/（元/
盏）
A型3045
B型5070
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯进货数量的4倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，3）．
（1）求AB的长为____．
（2）在坐标轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．
（1）若点E 在线段CB 上．
①求证：AF ＝CE ．
②连接EF ，试用等式表示AF 、EB 、EF 这三条线段的数量关系，并说明理由．
（2）当EB ＝3时，求EF 的长．
四、压轴题
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象为直线1．
（1）观察与探究
已知点A 与A '，点B 与B '分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出()2,3C -关于线l 的对称点C '的位置，并写出C '的坐标______．
（2）归纳与发现
观察以上三组对称点的坐标，你会发现：
平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为______．
（3）运用与拓展
已知两点()2,3E -、()1,4F --，试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到E 、F 点的距离之和最小，并求出相应的最小值．
27．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．
28．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．
（1）如图1，
①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；
（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC 2a ，试写出此时BF 的值．
29．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．
（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？
30．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．
（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；
（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接
BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相反数的性质判断即可；
【详解】
A 中-2=2，不是互为相反数；
B 2=-，不是相反数；
C 中两数互为倒数；
D 中两数互为相反数；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了相反数的性质应用，准确分析是解题的关键．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数的定义解答即可.
【详解】
227
，0.101001是有理数；
3.
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：
①π类，如2π，3
π等；②③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】
A．12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B．222
1+，能组成直角三角形，故此选项正确；
C．32+22≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D．42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
【详解】
解：∵分式
22 1
x x -
+
的值为0，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分式为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．6．D
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
详解：如图所示：直线l 即为各图形的对称轴．
，
故选：D ．
点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意列出等式，由负整数指数幂的运算法则将分式方程转化为一元一次方程求解即可.
【详解】
依题意，112(1)
3(2)a a --+=-，即3(1)2(2)a a +=-，解得7a =-，经检验7a =-是原分式方程的解，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂的运算及分式方程的解，熟练掌握相关运算知识及运算能力是解决本题的关键. 8．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据一次函数的性质得到k ＜0，而kb ＜0，则b ＞0，所以一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限，与y 轴的交点在x 轴是方．
解：∵一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小，
∴k ＜0，
∴一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限；
∵kb ＜0，
∴b ＞0，
∴图象与y 轴的交点在x 轴上方，
∴一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限．
故选A ．
考点：一次函数的图象．
9．B
【解析】
【分析】
先将能化简的进行化简，再根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】
，
∴这一组数中的无理数有：32个．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
二、填空题
11．．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
解析：
2
1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【解析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩
的解是21x y =⎧⎨=⎩． 故答案为21x y =⎧⎨
=⎩
． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 12．【解析】
【分析】
计算出当P 在直线上时a 的值，再计算出当P 在直线上时a 的值，即可得答案．
【详解】
解：当P 在直线上时，，
当P 在直线上时，，
则．
故答案为
【点睛】
此题主要考查了一次函数与
解析：0a 2<<
【解析】
【分析】
计算出当P 在直线y 2x 2=+上时a 的值，再计算出当P 在直线y 2x 4=+上时a 的值，即可得答案．
【详解】
解：当P 在直线y 2x 2=+上时，()a 212220=⨯-+=-+=，
当P 在直线y 2x 4=+上时，()a 214242=⨯-+=-+=，
则0a 2<<．
故答案为0a 2<<
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
13．【解析】
设，则，由翻折的性质可知，在Rt△ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt△ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．
【详解】
解析：89 【解析】
【分析】
设NC x =，则8DN x ，由翻折的性质可知8EN DN x ==-，在Rt △ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．
【详解】
解：如图所示，连接AN ，
设NC x =，则8DN
x ， 由翻折的性质可知：8EN DN x ==-，
在Rt ENC 中， 有222EN EC NC =+，()22284x x -=+，
解得：3x =，
即5DN cm ．
在Rt 三角形ADN 中， 2222
8589AN AD ND ， 由翻折的性质可知89FN
AN ．
【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x 的方程是解题的关键．
14．【解析】
【分析】
根据整式的完全平方公式将等式两边的式子进行化简，从而求得的值.
【详解】
∵
∴
∴
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握完全平方公式及整式的 解析：12
【解析】
【分析】
根据整式的完全平方公式将等式两边的式子进行化简，从而求得m n ⋅的值.
【详解】
∵2222
(1)()2()12221m n m n m n m mn n m n +-=+-++=++--+ 2222(1)(1)2121m n m m n n -+-=-++-+
∴222222212121m mn n m n m m n n ++--+=-++-+
∴21mn = ∴12
mn =， 故答案为：
12. 【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握完全平方公式及整式的化简是解决本题的关键. 15．150
【解析】
【分析】
连接OP ，根据轴对称的性质得到，再利用四边形的内角和是计算可得答案.
【详解】
解：如图，连接OP ，
E ，
F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点
故答案为：1
解析：150
【解析】
【分析】
连接OP ，根据轴对称的性质得到60EOF ∠=︒，,,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠再利用四边形的内角和是360︒计算可得答案.
【详解】
解：如图，连接OP ，
E ，
F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点
,,EOA POA POB FOB ∴∠=∠∠=∠
30EOA FOB POA POB ∴∠+∠=∠+∠=︒
60EOF ∴∠=︒
,,E EPO F FPO ∴∠=∠∠=∠
360E EPO F FPO EOF ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒
2()300E F ∴∠+∠=︒
150E F ∴∠+∠=︒
故答案为：150.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，四边形的内角和性质，证得60EOF ∠=︒，
,,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠解本题的关键.
16．2
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，等量代换可得∠DFB=∠DBF ，∠EFC=∠ECF ，根 解析：2
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，由平行线的性质可得
∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，等量代换可得∠DFB=∠DBF ，∠EFC=∠ECF ，根据等角对等边可得到DF=DB ，EF=EC ，再由ED=DF+EF 结合已知即可求得答案.
【详解】
∵BF 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，
∵DE ∥ BC ，
∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，
∴∠DFB=∠DBF ，∠EFC=∠ECF ，
∴DF=DB ，EF=EC ，
∵ED=DF+EF ，3,5BD DE ==，
∴EF=2，
∴EC=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了等腰角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
17．15
【解析】
【分析】
试题分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：过D 作DE ⊥BC 于E ，
∵∠A=90°，
∴DA ⊥AB ，
∵BD 平分
解析：15
【解析】
【分析】
试题分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：过D 作DE ⊥BC 于E ，
∵∠A=90°，
∴DA ⊥AB ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是:1
2×DE×BC=
1
2
×10×3=15，
故答案为15．
考点：角平分线的性质．
18．﹣2＜m＜
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出P′（﹣3m+1，﹣2﹣m），进而得出不等式组答案.
【详解】
∵点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m）
解析：﹣2＜m＜1 3
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出P′（﹣3m+1，﹣2﹣m），进而得出不等式组答案.【详解】
∵点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m）在第四象限，
∴
310 20
m
m
-+>
⎧
⎨
--<
⎩
，
解得：﹣2＜m＜1
3
，
故答案为：﹣2＜m＜1 3 .
【点睛】
此题主要考查根据对称性和象限的性质求点坐标参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 19．2020
【解析】
【分析】
把分别代入与，然后把两个式子相加即可求解.
【详解】
把分别代入与，得
-m+a=1010①，m+b=1010②，
①+②得
a+b=2020.
故答案为：2020.
解析：2020
【解析】
【分析】
把(,1010)m 分别代入y x a =-+与y x b =+，然后把两个式子相加即可求解.
【详解】
把(,1010)m 分别代入y x a =-+与y x b =+，得
-m+a=1010①，m+b=1010②，
①+②得
a+b=2020.
故答案为：2020.
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．
20．【解析】
【分析】
当分式的值为0时，分式的分子为0，分母不为0，由此求解即可.
【详解】
解：∵分式的值为零，且
∴x﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式值为0的
解析：【解析】
【分析】
当分式的值为0时，分式的分子为0，分母不为0，由此求解即可.
【详解】 解：∵分式
2223
x x -+的值为零，且2230x +≥ ∴x ﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，灵活利用分式值为0的条件是解题的关键.
三、解答题
21．证明见解析.
【解析】
【分析】
利用AAS 证明△ABC ≌△EDH ，再根据全等三角形的性质即可得.
【详解】
∵AD=BE ，
∴AD-BD=BE-BD ，
即AB=DE.
∵AC ∥EH ，
∴∠A=∠E ，
在△ABC 和△EDH 中
C H A E AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EDH(AAS)，
∴BC=DH.
【点睛】
本题考查了全等三角形的送定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
22．（1）AE=CD ，理由见解析；（2）90°
【解析】
【分析】
（1）如图，证明△ABE ≌△CBD ，即可解决问题．
（2）证明AE ⊥BC ，证明∠BDC=∠AEB ，即可解决问题．
【详解】
解：（1）AE=CD ；理由如下：
∵△ABC 和△BDE 等边三角形
∴AB=BC ，BE=BD ，∠ABC=∠EBD=60°；
在△ABE 与△CBD 中，
AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△CBD （SAS ），
∴AE=CD ．
（2）∵BE=4，BC=8
∴E 为BC 的中点；
又∵等边三角形△ABC，
∴AE⊥BC；
由（1）知△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=90°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题关键是观察图形，准确找出图形中隐含的等量关系、全等关系．
23．（1）75盏；25盏（2）购进A型台灯20盏，B型台灯80盏；1900元
【解析】
【分析】
（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A 型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【详解】
解：（1）设购进A型台灯x盏，则购进B型台灯（100﹣x）盏，
由题意可得：30x+50（100﹣x）＝3500
∴x＝75
∴100﹣x＝25
答：购进A型台灯75盏，购进B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
y＝15x+20（100﹣x）＝﹣5x+2000
又∵100﹣x≤4x，
∴x≥20
∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值是1900．
答：购进A型台灯20盏，购进B型台灯80盏时获利最多，此时利润为1900元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．
24．（1）5；（2）（0，8），（0，-3），（0，-2），
7
0,
6
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，（9，0），（-1，0），
（-4，0），
7
,0
8
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据A、B两点坐标得出OA、OB的长，再根据勾股定理即可得出AB的长
（2）分三种情况，AB=AP，AB=BP，AP=BP，利用等腰三角形性质和两点之间距离公式，
求出点P 坐标． 【详解】 解：（1） ∵A （4，0）、B （0，3）．
∴OA=3，OB=4，
22435AB ∴=+=
（2）当点P 在y 轴上时
当AB=BP 时， 此时OP=3+5=8或OP=5-3=2，
∴P 点坐标为（0，8）或（0，-2）；
当AB=AP 时，此时OP=BO=3，
∴P 点坐标为；（0，-3）；
当AP=BP 时，设P(0，x)，∴2224(3)x x +=-
7
:6x =-；∴P 点坐标为70,6⎛⎫
- ⎪⎝⎭
当点P 在x 轴上时
当AB=AP 时， 此时OP=4+5=9或OP=5-4=1，
∴P 点坐标为（9，0）或（-1，0）；
当AB=BP 时，此时OP=AO=4，
∴P 点坐标为（-4，0）；
当AP=BP 时，设P(x ，0)，∴2223(4)x x +=-
:78x =；∴P 点坐标为7,08⎛
⎫
⎪⎝⎭
综上所述：符合条件的点的坐标为：（0，8），（0，-3），（
0，-2），70,6⎛⎫- ⎪⎝⎭，（9，
0），（-1，0），（-4，0），7,08⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质、两点之间距离公式和勾股定理，学生只要掌握这些知识点，解决此问题就会变得轻而易举，需要注意的是，在解题过程中不要出现漏解现象．
25．（1）①详见解析；②AF2+EB2＝EF2，理由详见解析；（2
【解析】
【分析】
(1)①证明△ADF≌△CDE(ASA)，即可得出AF=CE；
②由①得△ADF≌△CDE(ASA)，得出AF=CE；同理△CDF≌△BDE(ASA)，得出CF=BE，在Rt△CEF中，由勾股定理得222
CE CF EF
+=，即可得出结论；
(2)分两种情况：①点E在线段CB上时，求出CE=BC﹣BE=1，由(1)得AF=CE=1，
222
AF EB EF
+=，即可得出答案；
②点E在线段CB延长线上时，求出CE=BC+BE=7，同(1)得△ADF≌△CDE(ASA)，得出AF=CE，求出CF=BE=3，在Rt△EF中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】
(1)①∵△ABC中，∠ACB=90︒，AC=BC=4，D是AB的中点，
∴∠DCE=45︒=∠A，CD=1
2
AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=90︒，∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90︒，∴∠ADC=∠FDE，∴∠ADF=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
A DCE
AD CD
ADF CDE
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE；
②222
AF EB EF
+=，理由如下：由①得：△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE；
同理：△CDF≌△BDE(ASA)，
∴CF=BE，
在Rt△CEF中，
由勾股定理得：222CE CF EF +=，
∴222AF EB EF +=；
(2)分两种情况：
①点E 在线段CB 上时，
∵BE =3，BC =4，
∴CE =BC ﹣BE =1，
由(1)得：AF =CE =1，222AF EB EF +=， ∴EF 22221310AF EB =+=+=； ②点E 在线段CB 延长线上时，如图2所示：
∵BE =3，BC =4，
∴CE =BC +BE =7，
同(1)得：△ADF ≌△CDE (ASA )，
∴AF =CE=7，
∴CF =BE =3，
在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CE CF EF +=，
∴EF 22227358CE CF +=+=
综上所述，当EB =3时，EF 1058
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
四、压轴题
26．(1) （3，-2）；(2) （n ，m ）；(3)图见解析, 点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为210
【解析】
【分析】
（1）根据题意和图形可以写出C '的坐标；
（2）根据图形可以直接写出点P 关于直线l 的对称点的坐标；
（3）作点E 关于直线l 的对称点E '，连接E 'F ，根据最短路径问题解答.
【详解】
（1）如图，C '的坐标为（3，-2），
故答案为（3，-2）；
（2）平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为（n ，m ）， 故答案为（n ，m ）；
（3）点E 关于直线l 的对称点为E '（-3,2），连接E 'F 角直线l 于一点即为点Q ，此时点Q 到E 、F 点的距离之和最小，即为线段E 'F ，
∵E 'F ()[]2
21(3)2(4)210=---+--=⎡⎤⎣⎦， ∴点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为10
【点睛】
此题考查轴对称的知识，画关于直线的对称点，最短路径问题，勾股定理关键是找到点的对称点，由此解决问题.
27．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得
90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知
1452
QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．
【详解】
（1）AB ∥CD ，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，
∴∠AEF +∠CFE =180°，
∴AB ∥CD ；
（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．
又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，
∴1()902
FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=
∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．
∵GH ⊥EG ，
∴PF ∥GH ；
（3）∵∠PHK =∠HPK ，
∴∠PKG =2∠HPK ．
又∵GH ⊥EG ，
∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，
∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．
∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452
QPK EPK HPK ︒∠=
∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．
答：∠HPQ 的度数为45°．
【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
28．（1）①详见解析；②
12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a
【解析】
【分析】
（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；
（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，
∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；
（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF
【详解】
（1）①连接AD ，如图1．
∵点C 与点D 关于直线l 对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1
2
α
故答案为：1
2α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=1
2
α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，
，
F 是以AC 为直径的圆上一点，设AC 中点为O ，
∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ，
当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；
如图，过点O 作OH ⊥BC ，
∵∠BAC=90°，2a ， ∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC ， ∴2OC HC =
， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ， ∴2OC a =， ∴OH HC a ==，
∴BH=3a ， ∴10BO a =，
∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，
∴∠AFC=90°，
∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==
， ∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
29．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83
；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=4（cm ），
又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），
在BPD △和CQP 中
BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD △≌CQP （SAS ）
故答案为：全等．
（3）∵p Q V V ≠，
∴BP CQ ≠，
又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，
∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，
∴点,P Q 运动时间322
BP t ==（s ）， ∴48332
Q CQ V t
===（cm/s ）， 故答案为：83
； （4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，
∵2/p V cm s =，8/3
Q V cm s =
， ∴2t+8+8=8
3t ，
解得：t=24
此时点Q 走了824643⨯=（cm ），
∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），
∴6422220÷=，
∴20-8-8=4（cm ），
经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，
故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．
30．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；
（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
【详解】
解：（1）△ACD 与△CBE 全等．
理由如下：∵AD ⊥直线l ，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，
则CM=8-t ，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t ，
点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，
当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。