最新初中数学向量的线性运算专项训练及答案

最新初中数学向量的线性运算专项训练及答案
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断．
【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r ，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )
A ．｜2｜＞｜-2｜
B ．｜2｜＜｜-2｜
C ．｜2｜＞｜2-｜
D ．｜2｜＜｜2-｜
【答案】A
【解析】
【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有
，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题.
【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，
故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令
， ，则， ∴且； 又BA+BC>AC ∴
∴
.
故选A.
【点睛】 本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.
3．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )
A ．()a a b b --=
B ．0a 0=
C ．如果1a b 2=，那么a //b
D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =- 【答案】C
【解析】
【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可；
【详解】 解：A 、()
a a
b b --=r r r r ，正确；
B 、0a 0⋅=r r ，正确；
C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线；
D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r ，正确； 故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =r r
B ．3a b =-r r
C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r .
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题．
【详解】 ∵1,3a b ==v v ，而且b v 和a v 的方向相反
∴3b a v v =-.
故选D ．
【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
5．已知3a →=，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b
→→=
B ．23a b →→=
C ．32a b →→=-
D ．23a b →→=- 【答案】D
【解析】
【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反
∴32
a b =-v v 故选D.
【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
6．点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r ，则m 的值等于（ ）． A ．23 B ．32 C ．23- D ．32
- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52
AB BC =-u u u r u u u r ，再代入35
AC AB =u u u r u u u r 中，即可求出m 的值. 【详解】
解：∵点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r ∴25
AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴5522
CB AB BC ==-u u u r u u u r u u u r ∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭
u u u r u u u r u u u r u u u
r 故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．
A ．()12a b -r r
B ．()12b a -r r
C ．()12a b +r r
D ．()12a b -+r r 【答案】C
【解析】
【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r r ，然后根据中线的定义可得：
()
12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r . 【详解】 解：∵AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线
∴()
1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r ∴()()
1122
AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r 故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键. 8．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r 表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b r r -
C ．12a b -+r r
D ．12
a b --r r 【答案】A
【解析】
试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，
＝12
a b +r r ．故选A ．
考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．
9．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形
B ．是梯形
C ．是平行四边形或梯形
D ．不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】
根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形.
故答案为：C.
【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r ，那么下列选项中，与向量()
12m n +u r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r 【答案】C
【解析】
【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r ，然后由三角形
法则，求得AC u u u r 与BD u u u r ，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD n ==u u u r u u u r r
， ∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r
， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u r r ，()11=22
OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u r ，()
11=22
OD BD n m =-u u u r u u u r r u r 故选：C ．
【点睛】 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
11．已知e →
为单位向量，a r =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →
B ．3a =r
C ．a r 与e →方向相同
D ．a r 与e →方向相反
【答案】C
【解析】
【分析】 由向量的方向直接判断即可.
【详解】
解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r
方向相反，所以C 错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.
12．下列说法不正确的是( )
A ．设e r 为单位向量，那么||1e =r
B ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r
C ．四边形ABC
D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r ，那么这个四边形一定是平行四边形
D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可．
【详解】
解：A. 设e r 为单位向量，那么||1e =r
，此选项说法正确； B. 已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r ，此选项说法正
确； C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r ，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
13．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r 表示正确的是（ ）
A ．34a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43
a -r 【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.
【详解】 ∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r ，
∴BA=
43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u r 方向相反，
∴BA u u u r =43
a -r ， 故选D.
【点睛】 本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
14．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v =（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
【答案】B
【解析】
根据向量的运算法则可得:
n v =故选B. 15．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r 的是（ ）
A ．a r //c r ，b r //c r
B ．1,22
a c
b
c ==r r r r C ．2a b =r r D ．a b =r r 【答案】D
【解析】
【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误； B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r ，故本选项错误. C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r ，故本选项错误；
D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键． 16．设e r 为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）
A ．2a e =r r
B ．a e a =r r r
C ．2a e =r r
D ．112a =±r 【答案】C
【解析】 【分析】 根据e r 为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.
【详解】 解：∵e r 为单位向量，
∴1e =r ,
A 中忽视了向量的方向性,错误
B 中忽视了向量的方向性,错误
C 中,∵2a =r ,1e =r ,
∴2a e =r r ,正确,
D 中忽视了向量的方向性,错误
故选C.
【点睛】
本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.
17．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r 可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r ＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r 互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r
＝（﹣3﹣1，1）
B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r ，1）
C ．OG u u u r 12
），OH u u u r ）2，8）
D ．OM u u u u r ），ON u u u r 2，2
） 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量互相垂直的定义作答．
【详解】 A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r 互相垂直，故本选项符合题意．
B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r 不垂直，故本选项不符
合题意．
C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．
D 2）×
2
＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．
故选：A ．
【点睛】 本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.
18．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r r 的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r r
C ．//a c r r ，//b c r r
D ．2,2a c b c ==-r r r r
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答
案．
【详解】 解：A 、||||a b =r r 只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;
B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
19．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r ，那么下列说法中，错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．a b =r r
C ．72B
D = D ．a r 与b r 方向相反
【答案】C
【解析】
【分析】 利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.
【详解】
解：已知2a c v v ＝，2b c -v v ＝，故a b v
v ，是长度相同，方向相反的相反向量，
故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误，
故选C.
【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.
20．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）． ①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r
②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n = A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可.
【详解】 ①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r ，正确；
②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立；
④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；
故选C.
【点睛】 本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．。