高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合练习(含解析)(1)(2021年最新整理)

高考数学一轮复习第五章数列5.5 数列综合练习（含解析）(1)
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数列综合
时间:50分钟总分:70分
班级：姓名:
一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．在等比数列{a n}中,各项都是正数，且a1，错误!a3，2a2成等差数列，则错误!＝（）A．1＋ 2 B．1－错误!
C．3＋2错误!D．3－2错误!
【答案】C
【解析】设等比数列{a n｝的公比为q（q＞0),则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±错误!.又q＞0，因此有q＝1＋错误!，故错误!＝错误!＝
q2＝(1＋错误!）2＝3＋2错误!。

2．数列｛a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3,a7为等比数列｛b n}中连续的三项，则数列｛b n}的公比为（）
A.错误!B．4
C．2 D.错误!
【答案】C
【解析】设数列{a n｝的公差为d(d≠0），由a错误!＝a1a7得（a1＋2d)2＝a1（a1＋6d),解得a1＝2d，故数列｛b n｝的公比q＝错误!＝错误!＝错误!＝2。

3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织,日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计）,共织390尺布”,则每天比前一天多织布的尺数是（）
A。

1
2
B.错误!
C.错误!
D.错误!
【答案】D
【解析】由题意知,a1＝5，n＝30，S n＝390＝30×5＋错误!d⇒d＝错误!.
4．已知各项均不为0的等差数列{a n｝，满足2a3－a错误!＋2a11＝0，数列{b n｝是等比数列，且b
7
＝a7,则b6b8＝（）
A．2 B．4
C．8 D．16
【答案】D
【解析】 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7,所以已知等式可化为4a 7－a 错误!＝0,解得
a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{
b n ｝为等比数列，所以b 6b 8＝b 错误!＝a 错误!＝16.
5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f （n )＝错误!n （n ＋1)（2n ＋1）吨，但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是（ ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年
【答案】C
【解析】 令第n 年的年产量为a n ，则由题意可知第一年的产量a 1＝f （1)＝错误!×1×2×3＝
3(吨);第n （n ＝2,3，…)年的产量a n ＝f （n )－f （n －1)＝错误!n (n ＋1)（2n ＋1）－错误!(n －1）·n ·（2n －1）＝3n 2
（吨)．
令3n 2
≤150，则结合题意可得1≤n ≤5错误!.又n ∈N *
，所以1≤n ≤7，即生产期限最长为7年．
6．数列{a n }的通项a n ＝n 2
cos 2
错误!－sin 2
错误!，其前n 项和为S n ，则S 30为（ ）
A ．470
B ．490
C ．495
D ．510
【答案】A
【解析】 注意到a n ＝n 2cos 错误!，且函数y ＝cos 错误!的最小正周期是3，因此当n 是正整数
时，
a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－1
2
n 2－错误!（n ＋1)2＋(n ＋2）2＝3n ＋错误!，其中n ＝1，4,7,…， S 30＝（a 1＋a 2＋a 3）＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋（a 28＋a 29＋a 30)
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝3×错误!＋错误!×10＝470。

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．设曲线y ＝x n
（1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列错误!的前n 项和
S n 等于________．
【答案】 2
n ＋1
－2
【解析】 y ′＝nx n －1
－(n ＋1)x n ，∴y ′|x ＝2＝n ·2
n －1
－（n ＋1)·2n ＝－n ·2
n －1
－2n
.
∴切线方程为y ＋2n
＝(－n ·2
n －1
－2n
)（x －2），
令x＝0，得y＝（n＋1）·2n，即a n＝(n＋1)·2n。

∴错误!＝2n，∴S n＝2n＋1－2.
8．等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S1,2S2，3S3成等差数列，则等比数列｛a n}的公比为________．【答案】错误!
【解析】设等比数列{a n｝的公比为q（q≠0），由4S2＝S1＋3S3，得4（a1＋a1q）＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2），
即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝错误!。

9．（2015·全国卷Ⅱ）设S n是数列｛a n｝的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________。

【答案】－1 n
【解析】∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n S n＋1，∴S n＋1－S n＝S n S n＋1。

∵S n≠0，∴错误!－错误!＝1，即错误!－错误!＝－1。

又错误!＝－1，∴错误!是首项为－1,公差为－1的等差数列．∴错误!
＝－1＋（n－1)×(－1）＝－n，
∴S n＝－错误!。

10．设S n为数列{a n｝的前n项和，若错误!（n∈N*）是非零常数,则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n}是首项为2,公差为d（d≠0)的等差数列,且数列{c n｝是“和等比数列”，则d ＝________.
【答案】4
【解析】由题意可知，数列{c n｝的前n项和为S n＝错误!，前2n项和为S2n＝错误!，∴错误!＝错误!＝2＋错误!＝2＋错误!,∴当d＝4时，错误!＝4.
三、解答题（共2小题，每题10分,共20分)
11．(2015·山东高考)已知数列{a n｝是首项为正数的等差数列，数列错误!的前n项和为错误!.
(1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝(a n＋1）·2a n,求数列｛b n}的前n项和T n。

【答案】见解析
【解析】(1）设数列{a n｝的公差为d，令n＝1，得错误!＝错误!，所以a1a2＝3.①令n＝2,得错误!＋错误!＝错误!，所以a2a3＝15.②
由①②解得a1＝1,d＝2，所以a n＝2n－1.经检验，符合题意．
(2）由(1)知b n＝2n·22n－1＝n·4n,
所以T n＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，
所以4T n＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，
两式相减，得－3T n＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1
＝错误!－n·4n＋1＝错误!×4n＋1－错误!,所以T n＝错误!×4n＋1＋错误!＝错误!。

12。

已知数列{a n｝的首项为a1＝5，前n项和为S n,且S n＋1＝2S n＋n＋5（n∈N＊)．（1）证明:数列{a n＋1}是等比数列;
(2）令f（x)＝a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f′(x)是函数f(x)的导函数，令b n＝f′（1），求数列{b n｝的通项公式；
（3）若b n＜30成立,试求n的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明:数列{a n｝中，∵S n＋1＝2S n＋n＋5，∴S n＝2S n－1＋n＋4，∴S n＋1－S n＝2（S n－S n－1)＋1，即a n＋1＋1＝2（a n＋1）,
当n＝1时，a2＝2a1＋1＝11,∴a2＋1＝12，a1＋1＝6，
∴｛a n＋1｝是首项为6，公比为2的等比数列．
（2）由(1）得a n＋1＝(a1＋1）·2n－1＝6·2n－1＝3·2n，
∴a n＝3×2n－1，又∵f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋a n x n,∴f′（x）＝a1＋2a2x＋…＋na n x n－1，f′(1）＝a
＋2a2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1）＋…＋n(3×2n－1）
1
＝3（2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)－（1＋2＋3＋…＋n），
令S＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n,
则2S＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1,
作差得S＝（n－1）×2n＋1＋2,∴b n＝f′(1)＝3(n－1）×2n＋1－错误!＋6.
（3)∵当n∈N＊时，b n＋1－b n＝（n＋1）(3×2n＋1－1）＞0，
∴{b n｝为递增数列，又∵b1＝5,b2＝27，b3＝96,
∴使b n〈30成立，n的最大值为2.。