(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测(答案解析)

一、选择题
1．函数()sin()(0||)2
，f x x π
ωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图
象先向右平移3
π
个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）
A ．()sin 21g x x =-
B ．()sin 21g x x =+
C ．()sin(2)13
g x x π
=-
- D ．()sin(2)13
g x x π
=-
+
2．函数()2cos 3⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（ ）
A ．20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．
2π,π3
3．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（ ）
A ．30sin 3012
2t π
π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
B ．30sin 3062t π
π⎛⎫-+
⎪⎝⎭ C ．30sin 326
2t π
π⎛⎫-+
⎪⎝⎭
D ．30sin 6
2t π
π⎛⎫-
⎪⎝⎭ 4．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin
2
b a < B ．()2
cos >cos 3a b -
C ．(
)
2
sin sin3a b +<
D ．2
3cos >sin 2b a ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积1
2
=
(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83
π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）(3 1.73≈)
A ．6平方米
B ．9平方米
C ．12平方米
D ．15平方米
6．已知函数()tan()0,02f x x π
ωϕϕω⎛⎫
=+<<
< ⎪⎝
⎭
最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则方程
()sin 2([0,])3f x x x π⎛
⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ） A ．
76
π
B ．
56
π C ．2π
D ．
3
π 7．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）
A ．()sin 2f x x x =
B ．()||sin 2f x x x =
C ．()cos 2f x x x =
D ．()||cos2f x x x =
8．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．1
B 151
+C ．
1916
D ．
34
9．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+≠<
⎪⎝
⎭
，点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫
⎪⎝
⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则ϕ=（ ） A ．
6
π B ．6
π-
C ．
3
π D ．3
π-
10．设函数()tan 3f x x π
=-
，()sin 3g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4
B ．5
C ．12
D ．13
11．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛
⎫⎛⎫
=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，现有命题：
①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2
x π=对称.
其中真命题的个数是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）
A ．图象关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称 B ．最小正周期是π C ．在0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 D ．在0,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
3二、填空题
13．若函数()sin (0)4
f x x π
ωωω⎛
⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
取得最值的点到y 轴的最近距离小于6
π，且
()f x 在711,2020ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，则ω的取值范围为_________. 14．已知函数()()π
sin (00)2
f x M x M ωϕωϕ=+>><
，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，则函数()f x =___________.
15．函数()2sin(2),0,32f x x x ππ⎡⎤
=-∈⎢⎥⎣⎦
的单调减区间___________ 16．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛
⎫
=++> ⎪⎝
⎭
同时满足下列三个条件：①T π=；
②3y f x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
是奇函数；③()06f f π⎛⎫
<
⎪⎝⎭
.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________. 17．将函数()4cos 2
f x x π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为(3，则125...PA PA PA +++=____.
18．函数()3sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确
结论的编号）. ①图象C 关于直线1112
π
=
x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度可以得到图象C . 19．已知M 是函数()()238sin f x x x x R π=--∈的所有零点之和.则M 的值为_____. 20．已知将函数()sin()(06,)2
2
f x x π
π
ωθωθ=+<<-
<<
的图象向右平移
3
π
个单位长度
得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，则ωθ⋅=________.
三、解答题
21．现给出以下三个条件：
①()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π； ②()f x 的图象上的一个最低点为2,23A π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； ③()01f =.
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题. 已知函数()()2sin 05,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+<<<< ⎪⎝
⎭
，满足________，________. （1）根据你所选的条件，求()f x 的解析式； （2）将()f x 的图象向左平移6
π
个单位长度，得到()g x 的图象求函数()()1y f x g x =-的单调递增区间. 22．已知函数()1tan ln
1tan x
f x x
-=+.
（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（2）若()()()1tan tan f x
a x g x e x
-=-
在,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围.
23．已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2
π
. （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；
（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6
π
个单位，最后将整个函数图像向上平移
3
2个单位后得到函数()g x 的图像，若263
x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.
24．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，
()
f x 的图象过点(，且在区间10,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值.
25．已知函数()sin 2sin 2233f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当π[0,]2
x ∈时，
（i ）求函数()f x 的单调递减区间；
（ii ）求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.
26．已知函数()21cos 2
f x x x =
-+. （1）当π02x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，时，求函数()f x 的取值范围； （2）将()f x 的图象向左平移
π
6
个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．
【详解】
根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<
的部分函数图象，
1274123
πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23
π
ϕπ⨯
+=，3
π
ϕ∴=
，()sin(2)3f x x π
=+．
将函数()f x 的图象先向右平移
3
π个单位长度，可得sin(2)3y x π
=-的图象．
然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13
g x x π
=-+，
故选：D 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.
2．C
解析：C 【分析】
先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】 令22223
+<+<+π
πk πx πk π(k ∈Z ) ∴
42233
+<<+ππk πx k π(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为4[2,2]3
3
π
π
k πk π++(k ∈Z )， 当1k =-时，5233
ππx -<<- 当0k =时，
43
3
x π
π
<<
又∵[]0,x π∈， 故选：C 【点睛】
方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
3．B
解析：B 【分析】
先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】
如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.
因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6
π
每分钟， 经过t 分钟之后，转过的角度为6
BOA t π
∠=
，
所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：
3230sin 30sin 32266
2y t t πππ
π⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 30626
2h t t πππ
π⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故选：B ． 【点睛】
建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.
4．D
解析：D 【分析】
对各个选项一一验证：
对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2
b
a <
，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2
b a <， 若22b a π<
<，有sin sin 2
b a <；若22b a π<<，有sin sin 2b
a >，故A 错； 对于B.有 23a
b <-，若2
32
a b π
<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；
对于C. 23a b +<，若232
a b π
<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；
对于D. 2
22333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-
=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
又因为b <3-2a <3，所以2
cos >cos(3)b a -
∵2
23
32a a π+-<
-∴()2
23cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-
⎪⎝⎭
∴(
)
2
2233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛
⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故D 对.
故选：D. 【点睛】
利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．
5．B
解析：B 【分析】
根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】
由题意可得：8
23=43
AOB π
π∠=，4OA =，
在Rt AOD 中，可得：3
AOD π
∠=，6
DAO π
∠=
，11
4222
OD AO =
=⨯=， 可得：矢422=-=，
由sin
43
AD AO π
===
可得：弦2AD ==
所以：弧田面积12
=（弦⨯矢+矢22
1)22)292=+=≈平方米．
故选：B 【点睛】
方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式1
2
S lr =及直角三角函数求解.
6．A
解析：A 【分析】
先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】
因为()f x 的最小正周期为2
π，所以2
2
π
ωπ==，
又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 所以
2,3
k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3π
ϕ=且此时1k =，
所以()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡
⎤⎛
⎫⎛
⎫+
+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 又因为tan 203x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，cos 213x π⎛
⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛
⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 当tan 2=03x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭时，23
x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π
=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭所有解的和为57366πππ+
=. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的情况. 7．B
解析：B 【分析】
利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】
由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足
()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇
函数，排除A ，选B ． 故选：B ．
【点睛】
思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：
(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.
8．C
解析：C 【分析】
由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 623
34x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2
22115
sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
21sin sin cos 32664
x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519
sin sin 3641616
x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-
⎪⎝⎭
，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．
9．A
解析：A 【分析】
由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T π
ω
=
求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】
由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为
2T ，得72263T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
.
则由1T π
ω
==得1ω=，即得1ω=±. 由2π
ϕ<
，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由
2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32
k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π
=ϕ或3π-，
当3
π
ϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，
由+
,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<<+
∈，得5,66
k x k k Z ππ
ππ-
<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛
⎫
-+∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3
π
ϕ=-不满足题意；
当6π=
ϕ时，()tan 6f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
由,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<+
∈，得2,3
3
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,3
3
k k k Z π
πππ⎛⎫
-+
∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪
⎝ ⎪⎝⎭
⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 所以6
π
=
ϕ满足题意； 综上可得：6
π
=ϕ满足题意. 故选：A.
【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意
正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，. 10．A
解析：A 【分析】
由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数
()tan 3
f x x π
=-
与()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】
令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，
所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3
f x x π
=-
与()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3
f x x π
=-
与()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象，
由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，
所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】
方法点睛：判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数
()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据
()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图
象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.
11．A
解析：A 【分析】
先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】
2
2
111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈， 所以函数的定义域关于原点对称.
又()()
()2
222
11
()sin sin sin sin f x x x f x x x
-=--
=-
=-，故()f x 为偶函数， 故②正确.
又()()
()2
21
()sin sin f x x f x x πππ+=+-
=+，
故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确. 又()()
()2
2
1()sin sin f x x f x x πππ-=--
=-，故()f x 的图象关于直线2
x π=对称，
故④正确.
令2sin t x =，则(]
0,1t ∈且()1f x t t
=-，
因为1y t t
=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据
()()f a x f x -=来讨论. 12．C
解析：C 【分析】
首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】
根据图象得到：2A =，311341264
T πππ
=-=，所以T π=， 所以
2π
πω
=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．
将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，
则
()23
2
k k Z π
π
ϕπ+=
+∈，得()26
k k Z π
ϕπ=
+∈，
又2
π
ϕ<
，所以6
π=
ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． 对于A ，20126ππ
⎛⎫⨯-
+= ⎪⎝⎭
，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22
T π
π==，故B 正确； 对于C ，当0,
6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，2,662x π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
则1sin 262x π⎡⎛
⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，
故()f x 在0,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D 正确．
故选：C ． 【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.
二、填空题
13．【分析】根据题意可得为的一个零点且且上有且只有一个最值点从而可得再由在单调递增可得解不等式组即可求解【详解】依题意为的一个零点且所以在上有且只有一个最值点可得化简得又则所以解得当时可得又所以故答案为
解析：65,53⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
根据题意可得,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 的一个零点，且45T π≥，且,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上有且只有一个最值
点，从而可得665ω<<，再由()f x 在711,2020ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可得2210
322
10k k π
πωπππωπ⎧-+≤⎪⎪⎨
⎪+≥⎪⎩，解不等式组即可求解. 【详解】 依题意,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 的一个零点且117420205T πππ≥-=， 所以在,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭上有且只有一个最值点， 可得
4
6
446T π
π
ππ-
<
<+，化简得6
65
ω<<， 又711,2020x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则3,41010x πωπωπω⎛
⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2210322
10k k π
πωπππω
π⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得5520203k k ω-+≤≤+，k Z ∈，
当0k =时，可得553ω-≤≤，又665ω<<，所以65
53
ω<≤. 故答案为：65,53⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是根据三角函数的最值得
665ω<<，以及函数的单调递增区间可得5
520203k k ω-+≤≤+，k Z ∈，考查了分析、计算能力.
14．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知
解析：π
π3sin 3
6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】
由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可
求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式． 【详解】
由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =， 由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭
， 23T ππω∴=
=，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫
∴=+
⎪⎝⎭
， 将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
，可得2sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，则
276
36π
ππϕ<
+<，232
ππϕ∴+=，解得6π
ϕ=-，()3sin 36x f x ππ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭ 【点睛】
本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
15．【解析】当时由得所以减区间为
解析：5,122ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】
当[0,]2x π∈时，ππ2π
2[,]333x -∈-，由22233x πππ≤-≤，得5122
x ππ≤≤，所以减区间为5[
,]122
ππ
． 16．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案
解析：511,612ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z π
ϕπ=
+∈，结合()06f f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由[)0,x t ∈可得2,2333x t π
π
π⎡⎫-
∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332
t πππ<-≤，即可得解. 【详解】 由T π=可得22T π
ω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
由3y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
中心对称， 所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫
⨯-
++=∈ ⎪⎝⎭
，即,3k k Z πϕπ=+∈，
又()06f f π⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以,3k k π
ϕπ=
+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛
⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
由[)0,x t ∈可得2,2333x t π
π
π⎡⎫-
∈--⎪⎢⎣⎭
， 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以
432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 故答案为：511,612ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.
17．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量
解析：10 【分析】
由函数()4cos 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】
由函数()4cos 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
与直线()1g x x =-的图象可知， 它们都关于点3(1,0)A 中心对称，
所以1253...5||5(010PA PA PA PA +++===. 【点睛】
本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.
18．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间
解析：①②③ 【分析】
利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】
由题：()3sin 23x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令2,3
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，5,122
k x k Z ππ=
+∈， 当1k =时，1112
π
=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3
x k k Z π
π-=∈，,6
2k x k Z π
π
=
+
∈，当1k =时，23
x π=， 所以2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内是增函数，所以③正确；
3sin 2y x =的图象向右平移
3π
个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
不相等，所以④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】
此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.
19．【分析】根据和的函数图像的对称点和交点个数得出答案【详解】令可得作出和的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有个交点又两函数图像均关于直线对称的个零点之和为故答案为：【点睛】本题考查了函数零点之和 解析：12
【分析】
根据8sin y x π=和23y x =-的函数图像的对称点和交点个数得出答案. 【详解】
令()0f x =可得8sin 23x x π=-，
作出8sin y x π=和23y x =-的函数图像如图所示：
由图像可知两函数图像有8个交点， 又两函数图像均关于直线3
2
x =
对称， ∴()f x 的8个零点之和为3
24122
⨯⨯=.
故答案为：12 【点睛】
本题考查了函数零点之和，考查了转化与化归、数形结合的思想，属于基础题.
20．【分析】和的图象都关于对称所以①②由①②结合即可得到答案【详解】由题意因为和的图象都关于对称所以①②由①②得又所以将代入①得注意到所以所以故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质涉及到函数图象的平
解析：34
π- 【分析】
()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，所以
11,4
2
k k Z π
π
ωθπ+=+
∈①，
22,4
3
2
k k Z π
ππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,2
2
ππ
ωθ<<-<<即可得到答案.
【详解】
由题意，()()sin()3
3
g x f x x π
π
ωωθ=-=-
+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对
称，所以
11,4
2k k Z π
π
ωθπ+=+
∈①，22,432
k k Z πππ
ωωθπ-+=+∈②，由①②，得
12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得
11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4
πθ=-，所以3
4ωθπ⋅=-.
故答案为：3
4
π- 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
三、解答题
21．答案见解析. 【分析】
（1）选择①②：由①可得2ω=，再将2,23A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入()f x 得6π=ϕ；选择①③：
由①可得2ω=，又()02sin 1f ϕ==，所以6
π
=
ϕ；选择②③：由()02sin 1f ϕ==，所以6π=
ϕ，再将2,23A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入()f x 得2ω=；所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）根据平移可得函数()2cos2g x x =，故2sin 46y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据三角函数图象性质可得函数的单调递增区间. 【详解】
解：（1）选择①②：由已知得222
T π
π
πω
==⋅
=，所以2ω=，
从而()2sin(2)f x x ϕ=+， 将2,23A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭代入()f x 得，42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
， 解得26
k π
ϕπ=
+，k Z ∈，
又02πϕ<<，所以6
π
=ϕ，
所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
；
选择①③：由已知得222
T π
π
πω
=
=⨯
=，所以2ω=，
从而()2sin(2)f x x ϕ=+， 又()02sin 1f ϕ==， 因为02
π
ϕ<<
，所以6
π=
ϕ. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； 选择②③：由()02sin 1f ϕ==，又02
π
ϕ<<，所以6
π=
ϕ， 将2,23A π⎛⎫-
⎪⎝⎭代入()f x 得，22sin 23
6π
πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，
解得23k ω=+，k Z ∈， 又05ω<<，所以2ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
； （2）由已知得()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 故()()1y f x g x =-
4sin 2cos 216x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
22cos 22cos 21x x x =+-
4cos 4x x =+
2sin 46x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令242262k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
得62122
k k x ππππ
-+≤≤+，k Z ∈，
所以函数()()1y f x g x =-的单调递增区间为,62122k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. 【点睛】
求三角函数的解析式时，由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
22．（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞. 【分析】
（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论； （2）由,04x π⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x =
+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上的值域，由此可得出实数a 的取值范
围.
【详解】
（1）对于函数()1tan ln
1tan x f x x -=+，有
1tan 01tan x
x
->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<，
解得()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈，
所以，函数()f x 的定义域为(),4
4k k k π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
Z ， ()()
()()1
1tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫
-====-=- ⎪
+--++⎝⎭
， 所以，函数()f x 为奇函数； （2）
()()()()
1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x e x x x
---=-
=-
+， 04
x π
-
<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，
令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1
x x
a x x x +-=
=
=-<+++， 所以，实数a 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 23．（1）1
()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）()0,2. 【分析】
（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得1
()sin 262
f x x πω⎛⎫=-
- ⎪⎝
⎭，由222T ππω=
=，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππ
ππ-≤-≤+，化简即可得解； （2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在
26
3
x π
π
≤≤
范围内求出()g x 的最值即可得解. 【详解】
（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-
1
2(cos 21)22
x x ωω=
-+ 1sin 262x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
由222
T ππ
ω=
=，解得2ω= 所以，1
()sin 462
f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ ∵242262k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∴224233k x k ππ
ππ-≤≤+
∴
21226
k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+
因为当2,6
3x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()2()2g x m g x -<<+恒成立
所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值
当2,6
3x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()y g x =为单调减函数
所以max ()1126g x g π⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭，()min 21103
g x g π⎛⎫
==-+=
⎪⎝⎭
， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<
所以m 的取值范围是()0,2. 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量的理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化. 24．()2sin 3f x x ππ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）
296
【分析】
（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，
即
22π
ωπω
=⇒=，
()
02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，
3
π
ϕ∴=
或
23
π， 当3
π
ϕ=
时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，当10,
12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，满足条件； 当23ϕπ=
时，()22sin 3f x x ππ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，223,334x ππππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫
=+
+= ⎪⎝
⎭，得1sin 32x ππ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭， 72,3
6x k k Z π
πππ+
=
+∈，解得：5
2,6x k k Z =+∈， 或112,3
6x k k Z π
πππ+
=
+∈，解得：3
2,2
x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，
∴这四个零点应是56，32，176
，7
2，
那么b 的最大值应是第5个零点，即296
， 所以b 的最大值是296
. 【点睛】
关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意
()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.
25．（1）最小正周期为π；（2）（i ）ππ[
,]122；（ii ）当π
=12
x 时，()f x 取最大值为2；
当π
=
2x 时，()f x 取最小值为 【分析】
（1）利用和差公式展开合并，再利用辅助角公式计算可得()2sin (2+)3
f x x π
=，可得最
小正周期为π；（2）（i ）通过换元法令π
23
t x =+
，求出sin y t =的范围，然后再根据sin y t =的单调递减区间求解即可；（ii ）根据函数单调性求得最大值，然后计算端点值，
比较大小之后可得函数的最小值. 【详解】 解：（1）
πππ
()=sin(2+)sin(2)2=sin 22=2sin(2+)333
f x x x x x x x +-.
2π
=
=π
2
T ，∴()f x 的最小正周期为π. （2）（i ）
π[0,]2
x ∈，∴ππ4π2[,]333t x =+∈，
sin y t =，π4π[,]
33t ∈的单调递减区间是π4π
[,]23
t ∈，
且由
ππ4π2233x ≤+≤，得ππ
122
x ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为ππ
[,]122
. （ii ）由（i ）知，()f x 在ππ[,]122上单调递减，在π
[0,]12
上单调递增.
且π(0)=2sin 3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π
()=2sin 23
f =
所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π
=2
x 时，()f x 取最小值为 【点睛】
思路点睛：（1）关于三角函数解析式化简问题，首先利用和差公式或者诱导公式展开合并化为同角，然后再利用降幂公式进行降次，最后需要运用辅助角公式进行合一化简运算；（2）三角函数的单调区间以及最值求解，需要利用整体法计算，可通过换元利用sin y t =的单调区间以及最值求解.
26．（1）112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
；（2）ππππ36k k ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，，k Z ∈. 【分析】
（1）根据余弦的二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，得到()πsin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再利
用正弦函数的性质确定当π02x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，时，()f x 的取值范围； （2）根据图象的平移得到()πsin 26g x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再利用正弦函数的性质可求得()g x 得单调递增区间. 【详解】
（1）()211πcos cos2sin 222226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭，
π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，， π1sin 2162x ⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，.
∴函数()f x 的取值范围为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，. (2)由题意知：()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 令πππ
2π22π262
k x k -≤+≤+，k Z ∈， 解得ππ
π2π.36
k k k Z -
≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为ππππ3
6k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
，，k Z ∈. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质，根据二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，并求函数在区间上的最值，及函数的单调区间，考查学生的运算能力，属于中档题.。