高中数学人教A版(2019)必修一 第一章 第一节 集合的定义(基础)

高中数学人教A版（2019）必修一第一章第一节集合的定义（基础）一、单选题(共15题；共75分)
1．（5分）若a+2∈{1，3，a2}，则a的值为（）
A．-1或1或2B．-1或1C．-1或2D．2
2．（5分）下列四个结论：①∅⊆∅；②0∈∅；③{0}≠∅；④{0}=∅.其中正确结论的序号有几个（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（5分）已知集合A={x|x2=1}，则下列表述正确的是（）
A．1⊊A B．{0}∉A
C．{−1，1}=A D．{1}∈A
4．（5分）已知集合M={(x，y)|x，y∈N∗，x+y≤2}，则M中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．0
5．（5分）已知集合A={x|−1<x<2}，B={0，1}，则（）
A．B∈A B．A⫋B C．B⫋A D．A=B
6．（5分）集合A={x|−1≤x<2，x∈Z}中的元素个数有（）
A．1B．2C．3D．4
7．（5分）已知集合A={x|x≤2}，a=1，则a与集合A的关系是（）A．a∈A B．a∉A C．a=A D．{a}∈A
8．（5分）下列关系中正确的是（）
A．0∈∅B．{0}∈∅C．0∈N D．{0}∈N
9．（5分）设集合A={x|x>3}，则（）
A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A
10．（5分）若x∈{1，2，x2}，则x的可能值为（）
A．0，2B．0，1C．1，2D．0，1，2
11．（5分）若1∈{t，t2，t+1}，则t的值是（）
A．0B．1C．-1D．0或1或-1 12．（5分）下列关系式中，正确的是（）
A．∅∈{1，2，3}B．2∈{(1，2)}
C．π∈Q D．0∈N
13．（5分）判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③π的近似值；④不大于5的自然数（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
14．（5分）设A为集合，∅表示空集，则下列各选项中正确的是（）
A．∅⊆A B．∅⫋A C．∅∈A D．∅∉{∅}
15．（5分）若x∈{1，2，x2}，则x的可能值为（）
A．0B．0，1C．0，2D．0，1，2
二、填空题(共7题；共35分)
16．（5分）已知集合A={1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m=．
17．（5分）若−1∈{a，a2−a−3}，则a=．
18．（5分）若集合{x|ax2+x+2=0}有且只有一个元素，则实数a的取值集合
为．
19．（5分）已知集合A={−2，2−a2，a}，若1∈A，则实数a=.
20．（5分）已知集合A={2021，a，|a|}，1∈A，则a=.
21．（5分）已知集合A={x|x<√2+√5}，则2+√3A（填∈或∉）.
22．（5分）已知集合A= {a+2，2a2+a}，若3∈A，则实数a的值是.
三、解答题(共2题；共22分)
23．（10分）已知关于x的不等式(ax+1)(x−2a)<0的解集为M．
（1）（5分）a=−1时，求集合M；
（2）（5分）若1∈M，2∉M，求实数a的取值范围．
24．（12分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，若A中至多只有一个元素，求a取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为a+2∈{1，3，a2}，
所以a+2=1或3或a2，
当a+2=1时，即a=−1，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a+2=3时，即a=1，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a+2=a2时，解得a=2或a=−1（舍去），此时集合中元素为1，3，4，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据元素与集合的关系列出方程，求解，结合集合中元素的互异性检验，即可得出答案。

2．【答案】B
【解析】【解答】①∅⊆∅，正确；
②0∈∅，因为0∉∅，所以错误；
③{0}≠∅，正确；
④{0}=∅，因为{0}表示集合中有一个元素，是“0”，但是∅表示集合中一个元素也没有，所以错误.
故答案为：B
【分析】利用已知条件，结合集合与集合关系，元素与集合的关系即可判断。

3．【答案】C
【解析】【解答】由已知A={−1，1}，ABD关系符号全错，只有C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件将集合A化简，判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】集合M={(x，y)∣x，y∈N∗，x+y≤2}={(1，1)}，
M中只有1个元素.
故答案为：A
【分析】利用已知条件，将集合中的元素一一列举.
5．【答案】C
【解析】【解答】根据集合真子集的定义得：对任意的x∈B，均有x∈A，存在x0∈A，使得x0∉B，故B⫋A.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合之间的关系，结合已知条件即可得出答案。

6．【答案】C
【解析】【解答】∵A={x|−1≤x<2，x∈Z}={−1，0，1}，∴A中的元素个数为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意由集合的元素的性质，求解出x的取值，由此即可得出答案。

7．【答案】A
【解析】【解答】解：因为A={x|x≤2}，a=1
所以a∈A，{a}⊆A
故答案为：A
【分析】由已知条件结合元素与集合之间的关系即可得出答案。

8．【答案】C
【解析】【解答】易得0∉∅，∅⊆{0}，0∈N，{0}⊆N，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由元素与集合、集合与集合间的关系直接判断即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】由A={x|x>3}可知4∈A，D符合题意，A项表示不正确，0∉A，2∉A，ABC不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系，逐项进行判断可得答案。

10．【答案】A
【解析】【解答】因为x∈{1，2，x2}，
当x=1时，集合为{1，2，1}，不成立；
当x=2时，集合为{1，2，4}，成立；
当x=x2时，则x=1（舍去）或x=0，当x=0时，集合为{1，2，0}，成立；
∴x=0或x=2。

故答案为：A
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而利用元素的互异性，从而求出实数x可能的值。

11．【答案】C
【解析】【解答】由题意，1∈{t，t2，t+1}，
⑴若t=1，则集合为{1，1，2}，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
⑵若t2=1，则t=±1，由（1）t≠1，故t=−1，则集合为{−1，1，0}，成立；
⑶若t+1=1，则t=0，则集合为{0，0，1}，集合中有两个相同的元素，不满足互异性，不成立；
综上所述：t=−1。

故答案为：C
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而结合分类讨论的方法，进而求出实数t的值。

12．【答案】D
【解析】【解答】对于A，因为∅是集合，集合与集合间的关系是包含关系，不是属于关系，所以A不符合题意，
对于B，因为{(1，2)}表示的是点集，所以2∉{(1，2)}，所以B不符合题意，
对于C，因为π是无理数，所以π∉Q，所以C不符合题意，
对于D，因为0是自然数，所以0∈N，所以D符合题意。

故答案为：D
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，从而找出正确的选项。

13．【答案】C
【解析】【解答】①湖北省所有的好学校，不具有确定性，不能构成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以构成集合；
③π的近似值，不具有确定性，不能构成集合；
④不大于5的自然数时0，1，2，3，4，能构成集合.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合集合的定义和元素的确定性、互异性和无序性，从而找出能组成集合的序号选项。

14．【答案】A
【解析】【解答】对于A，空集是任何集合的子集，所以A符合题意；
对于B，当A=∅时，错误，所以B不符合题意；
对于C，“ ∈”用于元素和集合的关系，而不是集合与集合的关系，所以C不符合题意；
对于D，∵{∅}表示以∅作为元素的集合，∴∅∈{∅}，所以D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据题意由空集的性质，结合集合之间的关系以及元素和集合之间的关系，对选项逐一判断即可得出答案。

15．【答案】C
【解析】【解答】因为x∈{1，2，x2}，
当x=1时，集合为{1，2，1}，不成立；
当x=2时，集合为{1，2，4}，成立；
当x=x2时，则x=1（舍去）或x=0，
当x=0时，集合为{1，2，0}。

故答案为：C
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素得互异性，从而找出x的可能的值。

16．【答案】−3
2
【解析】【解答】由题意，集合A={1，m+2，2m2+m}，且3∈A，
若m+2=3时，可得m=1，此时2m2+m=3，不满足元素的互异性，舍去；
若2m2+m=3时，解得m=1或m=−3
2
，
当m=−3
2时，可得集合A={1，1
2
，3}，符合题意；
当m=1时，不符合题意，（舍去），
综上可得：m=−3
2。

故答案为：−3
2。

【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素的互异性，从而求出实数m的值。

17．【答案】2
【解析】【解答】解：因为−1∈{a，a2−a−3}，所以a=−1或a2−a−3=−1．
当a=−1时，a2−a−3=−1，不合题意；
当a2−a−3=−1时，a=2或-1（舍去），当a=2时，−1∈{2，−1}，符合题意．
故答案为：2.
【分析】由元素与集合之间的关系，计算出a的取值，再由元素的互异性即可得出满足题意的a的取值。

18．【答案】{0，1
8
}
【解析】【解答】当a=0时，则有{x|ax2+x+2=0}={x|x+2=0}={−2}，合乎题意；
当a≠0时，由题意可得Δ=1−8a=0，解得a=1
8
.
综上所述，实数a的取值集合为{0，1
8
}.
故答案为：{0，1
8
}.
【分析】由已知条件结合题意对a分情况讨论：当a=0时以及当a≠0时，结合一元二次方程的性质，计算出a的取值即可。

19．【答案】-1
【解析】【解答】解：由A={−2，2−a2，a}，1∈A，
若2−a2=1，解得：a=±1，
当a=−1时，A={−2，1，−1}，符合题意；
当a=1时，2−a2=a=1，不满足元素的互异性，故不符合题意；
所以实数a=−1.
故答案为：-1.
【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的性质可得a的值。

20．【答案】-1
【解析】【解答】若a=1，则|a|=1，不符合集合中元素的互异性，故a≠1，
所以|a|=1且a≠1，可得a=−1.
故答案为：-1
【分析】由已知条件即可得出a的取值，再由元素的互异性即可求出满足题意的a的取值。

21．【答案】∉
【解析】【解答】(√5+√2)2−(2+√3)2=7+2√10−(7+4√3)=√40−√48<0，
∴(√5+√2)2<(2+√3)2，即√5+√2<2+√3，
∴2+√3∉A。

故答案为：∉。

【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而得出√5+√2<2+√3，进而结合元素与集合的关系，推出2+√3∉A。

22．【答案】−3
2
【解析】【解答】由题可知：集合A={a+2，2a2+a}，3∈A
所以a+2=3或2a2+a=3，则a=1或a=−3
2
当a=1时，a+2=2a2+a，不符合集合元素的互异性，
当a=−3
2时，A={1
2
，3}，符合题意
所以a=−3
2
故答案为：−3
2
【分析】通过3是集合A的元素，直接利用a+2=3与2a2+a=3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可求出实数a的值。

23．【答案】（1）由题设，(x−1)(x+2)>0，解得x<−2或x>1，
∴M={x|x<−2或x>1}.
（2）由题设知：{(a+1)(1−2a)<0
(2a+1)(2−2a)≥0，解得1
2<a≤1
.
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集从而得出集合M。

(2)根据题意由集合与元素之间的关系即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。

24．【答案】当a=0时，A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}={x|2x+1=0}={−1
2
}，符合题意；
当a≠0时，若集合A中至多只有一个元素，
则方程ax2+2x+1=0无实数根或有两个相等实根，所以Δ=4−4a≤0即a≥1；
所以a取值范围为a≥1或a=0.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合一元二次方程求解集的方法，再结合分类讨论的方法，由A 中至多只有一个元素，从而结合判别式法求出实数a的取值范围。